2017年-2019年浙江卷数学高考试题含答案

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)

数学

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部

分3至4页。满分150分。考试用时120分钟。

考生注意：

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题

卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，

在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：

若事件A,B互斥,则尸(A+8)=尸(A)+P(8)柱体的体积公式V=Sh

若事件4,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)其中S表示柱体的底面积，八表示柱体的

若事件4在一次试验中发生的概率是p,则n丘不

次独立重复试验中事件4恰好发生k次的概锥体的体积公式丫=」S/7

3

率P.(k)=C>*(1-p)'i(k=0,1,2,,n)其中5表示锥体的底面积，A表示锥体的

台体的体积公式丫=：3+£^+52)/?向

球的表面积公式

其中分别表示台体的上、下底面积，/?表

5=4成2

示台体的高

球的体积公式

4,

V=-7t/?3

3

其中K表示球的半径

选择题部分(共40分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.己知全集。={一1,0,1,2,3},集合A={(),1,2},B={-1,0,1},则①AB=

A.{-1}B.{0,1}，

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

2.渐近线方程为x土产0的双曲线的离心率是

A.也B.1

2

C.72D.2

x-3j+4>0

3.若实数x,y满足约束条件<3x-y-4<Q,则z=3x+2y的最大值是

x+y>0

A.-1B.I

C.10D.12

4.祖瞄是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的''基势既同，则积不容易”称为祖咂原理,

利用该原理可以得到柱体体积公式丫柱体=5从其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若

某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是

A.158B.162

C.182D.32

5.若〃>0,Z?>0,贝I」“〃+bW4”是的

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.在同一直角坐标系中，函数y=,，y=log〃(x+L),(〃>0且〃W0)的图像可能是

ax2

7.设0<aVl,则随机变量X的分布列是

X0□1

P工\

33

则当。在(0,1)内增大时

A.D(X)增大B.D(X)减小

C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大

8.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱侬上的点(不含端点)，记

直线尸8与直线AC所成角为a,直线尸8与平面ABC所成角为夕，二面角尸-AC力的平

面角为y，则

A.[i<y,a<yB.[)<a,p<y

C.p<a,y<aD.a</i,y<fi

x,x<0

9.已知函数/(x)=<若函数y=/(%)—以一人恰

§冗3-5(a+l)x"+cix^x20

有三个零点，则

A.a<-\,b<0B.a<-\,h>0

C.a>-l,h>0D.〃>-l,h<0

10.设。,Z?£R,数列｛斯｝中a〃=a,an+\=a,^+bf力wN*,则

A.当,6tio>lOB.当b=；,aio>lO

C.当b=-2,al0>10D.当b=4,a\o>10

非选择题部分(共110分)

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.复数z=」一（i为虚数单位），则|z|=.

1+i

12.已知圆C的圆心坐标是（0〃?），半径长是r.若直线2x—y+3=0与圆相切于点

A（-2,-l）,则,r=.

13.在二项式（、回+x）9的展开式中，常数项是,系数为有理数的项的个数是

14.在△ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,点。在线段AC上，若ZBOC=45°,

则BD=,cosZABD=.

15.已知椭圆工+义=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在无轴的上方，若线段PF的中

95

点在以原点。为圆心，|。耳为半径的圆上，则直线PF的斜率是.

2

16.已知aeR,函数/（x）=一%,若存在/6R,使得|/«+2）-/«）区］,则实数

a的最大值是一.

17.已知正方形A8CO的边长为1,当每个4（i=1,2,3,4,取遍±1时，

\A］AB+A?BC+A^D+AQA+AA（C+A即|的最小值是,最大值是

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本小题满分14分）设函数/（x）=sinx,xeR.

（1）已知。^［0,2兀）,函数/（x+6）是偶函数，求。的值；

（2）求函数y="（x+=）］2+"（x+：）］2的值域.

124

19.（本小题满分15分）如图，己知三棱柱ABC-44G,平面AAGC_L平面

ABC,ZABC=90°,ZR4C=3O°，AA=AC=AC,E,R分别是AC,A/i的中点.

（1）证明：EF工BC；

（2）求直线E/与平面4BC所成角的余弦值.

20.（本小题满分15分）设等差数列｛4｝的前〃项和为Sn,q=4,4=S3，数列也J满

足：对每个n€N*,Sn+bn,Sn+l+bn,Sll+2+b„成等比数歹U.

（1）求数列｛/｝,｛d｝的通项公式;

(2)记C“今,〃eN*,证明：G+G++C<2〃,〃eN*.

21.（本小题满分15分）如图，己知点尸（1,0）为抛物线9=2座（p>0）,点F为焦点，过

点尸的直线交抛物线于A、8两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上,

直线AC交x轴于点。，且。在点F右侧.记AAFG,ACeG的面积为工,邑.

（1）求P的值及抛物线的标准方程；

（2）求出的最小值及此时点G的坐标.

22.（本小题满分15分）

已知实数QHO，设函数/（x）=671nx+«4，,x>0.

3

（1）当。二一一时，求函数一（光）的单调区间；

4

（2）对任意xe[4，+⑼均有求a的取值范围.

e-2a

注：e=2.71828…为自然对数的底数.

2019年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)

数学参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分40分。

1.A2.C3.C4.B5.A

6.D7.D8.B9.C10.A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.—12.-2,7513.16五,514.上电量1

2510

15.V1516.y17.0,2行

三、解答题：本大题共5小题，共74分。

18.本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

(I)因为f(x+e)=sin(x+6)是偶函数，所以，对任意实数x都有

sixx(y0=),

B|Jsinxcos0+cosxsin8=—sinxcos0+cosxsin8,

故2sinxcos9=0,

所以cos6=0.

TT37r

又，£[0,2兀)，因此6=5或万.

.兀+sin[x+：

=sm2x+—

I12

因此，函数的值域是口-争+当

19.本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空

间想象能力和运算求解能力。满分15分。

方法一：

(I)连接AiE,因为AiA=AC,E是AC的中点，所以AELAC.

又平面AACG1.平面ABC,4EU平面4ACG，

平面AiACC1n平面A8C=AC,

所以，4E_L平面ABC,则

又因为A尸〃A8,NA8C=90°,故BC_L4F.

所以BCL平面A|EF.

因此EF_LBC.

第19题图

(II)取BC中点G,连接EG,GF,则EGF4是平行四边形.

由于平面A8C,故AEiLEG,所以平行四边形EGFA为矩形.

由(I)得8CL平面EGFAi,则平面A|BC_L平面EGF4，

所以EF在平面4BC上的射影在直线4G上.

连接4G交所于。，则NEOG是直线EF与平面4BC所成的角(或其补角).

不妨设AC=4,则在RfzBiEG中，4万=2百，EG=^3-

由于。为AiG的中点，故七0=06=49=巫，

22

EO?+0G2-EG?3

所以cosNEOG=

2EOOG5

3

因此，直线E尸与平面ABC所成角的余弦值是

方法二:

连接A|E,因为4A=AC，E是4c的中点，所以A/J_AC.

又平面AiACG，平面ABC,4EU平面44CG，

平面AIACCICI平面A8C=4C,所以，4E_L平面ABC.

如图，以点E为原点，分别以射线EC,EAi为y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-x.yz.

不妨设AC=4,则

A(0,0,26)，B(百，1，0)，4(6,3,2强,,3,26)，C(0,2,

2

0).

因此，EF后,BC=(-6,1,0).

由EF-3C=0得EF1BC.

20.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算

求解能力和综合应用能力。满分15分。

(I)设数列｛4｝的公差为比由题意得

q+2d=4,at+3d-3q+3d,

解得q=0,d=2.

从而a“=2〃-2,〃wN*.

由S,+&S,川+bn,Sn+2+bn成等比数列得

(Se+d)2=(S,+d)(S,+2+a).

解得d=J(S；M-S“S"+2).

所以=I+〃,〃wN*.

/IT、l~^n~I2n-2In-1»

(II)c„=―3-=/--------=/--------,neN.

2bn2n(n+l)n(n+l)

我们用数学归纳法证明.

（1）当〃=1时，ci=0<2,不等式成立;

（2）假设〃=Z（keN*）时不等式成立，即q+C2++ch<2y[k.

那么，当“=%+1时,

c.+c++q+c,.<2,\[k+!----------------

2kk+l\(k+l)(k+2)

<2次+r=~产=2&+2（A/T+1—&）=2s[k+\.

y/k+l+ylk

即当〃=&+1时不等式也成立.

根据（1）和（2）,不等式G+C2++&<2场对任意〃6可成立.

21.本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算

求解能力和综合应用能力。满分15分。

（I）由题意得§=1,即p=2.

所以，抛物线的准线方程为--1.

（n）设为），可不，％），《玄重心•令以=2["/0,则

/_1

由于直线A8过F,故直线AB方程为x=-^-y+1,代入产;叔，得

心J一4"

t

2(121

故20"=-4,BPyB=—,所以3—,—I.

itJ

又由于%=3(/+4+%)，%;=：(”+%+”)及重心G在x轴上，故

所以，直线4c方程为y—2f=2《彳一/），得Q（产一l,o）.

由于。在焦点尸的右侧，故户>2.从而

工严1M3"T•闭2f2J

9/JF-K

令m=+—2,则m>0,

2=2_-T——=2-----\—..2——J=L=—=]+旦

S,m~+4m+3,3./3.2

2/〃+—+42,m--+4

惟Vm

当加=G时，』•取得最小值1+且，此时G(2,0).

S22

22.本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用

能力。满分15分。

33

(I)当。=——时，/(%)=-—lnx+A/l+x,x>0.

44

、31(717^-2)(271^+1)

4x2vl+x4Tl+x

所以，函数/(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+00).

(II)由/(1)4,，得0<”《也.

2a4

当0<。《正时，/(x)〈正等价于4—哀三-21nxN0.

42aa2a

令f=L,贝20.

a

设g«)=产6一2，Jl+x-21nx,贝ij

g(t)>g(20)=8«-4>/5jl+x-21nx.

(i)当XG1,+00^|时，Jl+^<2>/2,则

^(/)>^(2\/2)=8>/x-4>/2A/lTx-21nx.

记〃(x)=4G-20Jl+x-Inx,x2g,则

2J212>/xJx+1—yfZx—Jx+1

，(无)=r,——=.——

sjx，x+lxW%+1

故

£*)

X1(1,+°O)

7

p'(x)—0+

极小值

pg)

〃(x)单调递减单调递增

MD

所以，p(x)>p(l)=0.

因此，gQ)>g(2\/2)=2p(x)>0.

-26lnx-(x+l)

(ii)当天£

2\[x

lnx+2

令q(x)=2«lnx+(x+l),%£—,则q'(x)=+l>0,

e~7

故q(x)在4，-上单调递增,

所以夕(x),,q

e7

,(1A〈-乎〃⑴=0

由⑴得q—=

所以，q(x)<0.

I\

由⑴(ii)得对任意xw—,+oo,te[2>/2,+oo),g(t)..0,

l_e-)

即对任意xe[1，+8],均有/(x),，丑.

e)2a

综上所述，所求。的取值范围是0,

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)

数学

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部

分3至4页。满分150分。考试用时120分钟。

考生注意：

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题

卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答,

在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：

柱体的体积公式丫=5}1

若事件4B互斥,贝i」P(A+B)=P(A)+P(B)

其中费示柱体的底面积，h表示柱体的高

若事件43相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)

锥体的体积公式V="h

若事件A在一次试验中发生的概率是p,则n次3

独立重复试验中事件A恰好发生左次的概率其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

球的表面积公式

Pn(k)=C^l-p^Ck=0,1,2,-^)

S=4xR2

台体的体积公式V=g(Si+Js^+S2)h

球的体积公式

其中S],52分别表示台体的上、下底面积，h表示43

V=FR，

3

台体的高

其中R表示球的半径

选择题部分(共40分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集。={1,2,3,4,5},A={1,3},则dA=

A.0B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】c

【解析】分析:根据补集的定义可得结果.

详解：因为全集U={12345},A={1,3}）所以根据补集的定义得CuA={2,4,5},

故选C.

点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定

义求解.

2

2.双曲线匚y2=l的焦点坐标是

3

A.(-板,0),(a,0)B.(-2,0),(2,0)

C.(0,_&),(0,3)D.(0,-2),(0,2)

【答案】B

【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据c2=a2+b?求焦点坐标.

2

详解：因为双曲线方程为±y2=],所以焦点坐标可设为（土c,0），

3

因为c2=a?+b2=3+1=4,c=2，所以焦点坐标为（±2,0）,选B.

22_______

点睛：由双曲线方程上口■=1值＞0上＞0）可得焦点坐标为（±30）8=必1楙），顶点坐标为

a2b2

（士a,0）,渐近线方程为y=士/

a

3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cn?）是

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.

详解:根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2,底面为直角梯形,上下底分别为1,2,

梯形的高为2,因此几何体的体积为:x(1+2)x2x2=6,选C.

点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等.

2

4.复数一(i为虚数单位)的共甄复数是

1-i

A.HiB.1-iC.-l+iD.-l-i

【答案】B

【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共物复数的定义确定结果.

详解：•.•二-=生土»=1+1,共糊复数为『I,选总

1-i2

点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算,

要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,dGR).其次要

熟悉复数的相关基本概念，如复数2+历6362的实部为2、虚部为b、模为必不、对应点

为(a,b)、共辄复数为a-bi.

5.函数y=2闵sin2x的图象可能是

【答案】D

7T

【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在q,兀)上的符号，即可判断选择.

详解：令f(x)=2冈sin2x，

因为x€R,f(-x)=2|-x|sin2(-x)=-2|x|sin2x=-f(x)>所以f(x)=2冈sin2x为奇函数，排除选项A,B;

因为x€(；兀)时，f(x)〈O，所以排除选项C,选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（I）由函数的定义域，判断图象

的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的

变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循

环往复.

6.已知平面a,直线〃i,"满足，“Ra,，？ua,则"m〃〃"是的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.

详解：因为m0a,nua,m//n,所以根据线面平行的判定定理得m//a

由m//a不能得出01与01内任一直线平行，所以m//n是m//a的充分不必要条件，

故选A.

点睛：充分、必要条件的三种判断方法：

（I）定义法:直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假.并注意和图示相结合，例如“p〉q”为真,

则p是q的充分条件.

（2）等价法：利用pnq与非q=非p,q=p与非p=非q，产（q与非qQ非p的等价关系，对于条

件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.

（3）集合法：若AUB则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若人=8,则A是B的充要条

件.

7.设0<p<l,随机变量4的分布列是

012

1

P1-PP

222

则当p在（0，1）内增大时，

A.D学）减小B.D（。）增大

C.D先减小后增大D.D4）先增大后减小

【答案】D

【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.

[-D]D1

详解：•••E©=0x—+1x-+2x-=p+

2222

二D©=7O-p-，+#p[)2+^(2-p-^)2=-p2+p+^.

...DC)先增后减,因此选D.

iinn

点睛：E©=ZxipQ©=Z（X「E©）2R=^x^Pj-E2©.

i=li=li=l

8.已知四棱锥S-A8c力的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段48上的点（不含端点）,

设SE与BC所成的角为仇，SE与平面A8CO所成的角为既二面角STB-C的平面角为仇,

则

A.4W6W仇B.电仇C.a学342D.分三仇学।

【答案】D

【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关

系确定角的大小关系.

详解：设。为正方形A8C。的中心，”为AB中点，过E作8c的平行线EF,交CO于尸，

过。作ON垂直EF于M连接SO,SN,OM,则SO垂直于底面ABCD,0M垂直于A8,

因此NSEN=OpZSEO=e2ZSMO=%,

，一SNSNSOSO

从而tanR=—=---,tan0=—,tan0>=--

1ENOM72EO3ONf

因为SN>SO.EO>OM,所以tan4?tan%>tan。》即4>93>02,选D.

点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.

Jr

9.已知a,6,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量Q与e的夹角为-，向量。满足

3

b2-4eb+3=Q,则|aH|的最小值是

A.柠1B.而+1C.2D.2-而

【答案】A

【解析】分析:先确定向量a,b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆

的位置关系求最小值.

详解：设2=(x,y),e=(1,0),b=(m,n).

贝由(a,e)=-e=|a|­|e|cos-x=-y/x2+y2,二y=±布x,

由b?-4e-b+3=(>f^m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,

因此|a-b|的最小值为圆心(2,0)到直线y=±亚的距离]=由减去半径1,为4T.选A.

点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程

等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数

值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.

10.已知2那2声3羯成等比数列，Jia,+a2+a3+a4=ln(a,+a2+a3).若a/1,则

A.a,<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a,<a3,a2>D.a,>a3,a2>a4

【答案】B

【解析】分析:先证不等式xNlnx+L再确定公比的取值范围，进而作出判断.

详解：令f(x)=x-lnxT,则f(x)=1—，令f'(x)=(X得x=1,所以当x>1时，f'(x)>0,当0<x<l

X

时，f(x)<0，因此f(x)2f(l)=0,・・・x2lnx+1，

若公比q>0,则a[+a2+a3+a4>a1+a2+>ln(a]+a2+a»,不合题意；

2

若公比qW-1,则a1+a2+a3+a4=a#+q)(l+q)<0,

2

但ln(a]+a2+a3)=Infall+q+q)]>1啊>0,

即a1+32+83+344。vln(a]+a2+a。不合题意；

因此—1vqvO,q2£((U)，

2

••・a1>a[q2=a3,a2<a2q=a4<0,选B.

点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如x21nx+l,

ex>x+1,ex>x2+l(x>0).

非选择题部分(共110分)

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，

值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，

,x+y+z=100,

鸡雏个数分别为x,y,z,则<,，上1当z=81时，

，px+3y+-z=100,

x=>y=•

【答案】(1).8(2).11

【解析】分析:将z代入解方程组可得x,y值.

详解•％=81.•/x+y=19.(X=8

”册.z01,(5x+3y=73'ly=ll

点睛：实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类

问题的突破口.

(x-y>0,

12.若％y满足约束条件12x+ys6,则z=x+3y的最小值是_________，最大值是

Ix+y>2,

【答案】(1).-2(2).8

【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.

详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线z=x+3y过点42,2)时z取最大值8,过点

8(4,-2)时z取最小值-2.

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一,

准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时;要注意与约束条件中的直线的斜

率进行比较，避免出错；三，•般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边

界处取得.

13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=币,b=2,A=60。，贝Usin

B=,c=.

【答案】(1).—(2).3

7

【解析】分析:根据正弦定理得sinB,根据余弦定理解出c.

详解：由正弦定理得3=为史，所以sinB=xsin-=上二，

bsinB木37

由余弦定理得a?=b?+c2-2bccosA,•**7=4+c~-2c,c=3(负值舍去).

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵

活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

14.二项式(衣+&8的展开式的常数项是.

2x

【答案】7

【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r,

代入即得结果.

8-4r

详解：二项式(版+')8的展开式的通项公式为1点(悯8r3,

2xr+2x2r

8-4r，1

令——=0得「=2,故所求的常数项为C/7=7.

3r

点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出r值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第r+1项，

由特定项得出r值，最后求出特定项的系数.

15.己知/eR,函数於)=(，>缺]入，当丈=2时，不等式段)<0的解集是___________.若

(X-4x+3,x<X

函数犬犬)恰有2个零点，则4的取值范围是.

【答案】(1).(1,4)(2).(1,3]U(4,+oo)

【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函

数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数力的取值范围.

X

详解：由题意得If?n或I，:,所以2Wx<4或1<XV2,即l<x<4,不等式

(x-4<0(x-4x+3<0

段)<0的解集是(1,4),

当人>4时，f(x)=x-4>0,此时f(x)=X2-4X+3=0,x=1,3■即在(-8,入)上有两个零点；当

入04时，f(x)=x-4=0,x=4,由f(x)=X2-4X+3在(-8,入)上只能有一个零点得1<A<3.

综上.人的取值范围为(L31U(4,+co).

学

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形

结合求解.

16.从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成

个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

【答案】1260

【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理

计数.

详解：若不取零，则排列数为C；C：A：,若取零，则排列数为C；C；A；A；,

因此一共有C：C；A：+C；C；A；A；=1260个没有重复数字的四位数.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺

序限制的排列问题一一“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题一

间接法.

2

17.已知点P(0,1),椭圆++y=皿加>1)上两点A,8满足庭=2而，则当，"=时，

4

点B横坐标的绝对值最大.

【答案】5

【解析】分析:先根据条件得到人8坐标间的关系，代入椭圆方程解得8的纵坐标，即得8

的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.

详解：设A(X],yJB(X2，y2),由6=2而得和=女“】'=2仇-1),」•f=2y2-3,

22

因为八方在椭圆上所以:+^力羊+丫〜，

x2

4x222232m

—+(2y2-3)-=m,+(y2--)-=->

x23+m]

与_L+y：=m对应相减得丫2=一~—,Xj=-^(m2-10in+9)<4,当且仅当m=5时取最大值.

点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题

的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者

多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.已知角Q的顶点与原点0重合，始边与X轴的非负半轴重合，它的终边过点

(I)求sin(a+jc)的值;

（II）若角夕满足sin（a+夕）=（，求cos夕的值.

（答案】（1）一，（II）----或-一

56565

【解析】分析：（I）先根据三角函数定义得sma,再根据诱导公式得结果，（II）先根据三

角函数定义得cosa,再根据同角三角函数关系得cosQ+P）,最后根据。=（a+p）-a,利用两角

差的余弦公式求结果.

344

详解：（I）由角a的终边过点得sina=-

所以sin（a+兀）=・sina=

343

（II）由角01的终边过点P（---《）得cosa=-

5m12

由sin（a+P）=得cos（a+P）=±—.

由p=（a+0）・a得cos0=cos（a+p）cosa+sin（a+p）sina,

56—16

所以cos。=--SXcosB="-.

6565

点睛：三角函数求值的两种类型：

（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

19.如图，已知多面体A3CA8G，AiA,BiB,CC均垂直于平面

ABC,ZABC=120°,41A=4,CiC=l,AB=BC二B\B=2.

（I）证明:AB|_L平面48G；

（ID求直线AG与平面AB8所成的角的正弦值.

【答案】（1）见解析

（H）避

13

【解析】分析:方法-：（I）通过计算，根据勾股定理得AB】1^©,再根据线

面垂直的判定定理得结论，（II）找出直线AG与平面AB©所成的角，再在直角三角形中求

解.

方法二：（I）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出

AB】•LAFrAB]lAgi，再根据线面垂宜的判定定理得结论，（II）根据方程组解出平面ABB1

的一个法向量,然后利用A4i与平面ABB】法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互

余关系求解.

详解：方法一：

（I）由AB=2,AA1=4,BB]=2,AAj1AB,BB11AB得AB1=A]B】=2应，

所以A1B；+AB；=AA*

故AB11AjBp

由BC=2.BB]=2,CC]=1,BBi_LBC,CC11BC得Bg1=4，

由AB=BC=2/ABC=120。得AC=2由，

由CglAC,得AC]=7H,所以AB；+B]C；=AC；,故ABJBIC].

因此AB】J•平面AFig.

（II）如图，过点C[作C]D_LA]Bi，交直线AR】于点D,连结AD.

由AB】J"平面AFig得平面A[B]C]1平面ABB1,

由C]D_LAiBi得Cp"!•平面ABB1

所以NgAD是AC1与平面ABB1所成的角.

由B]C]=^5,A|Bj=2^2,AJCJ=得cosNC[A]B]=^=.sin^CJA1BJ=~^=,

lC]DJ39

所以C]D=，3,故siMgAD=-----=-----.

।13

屈

因此，直线AC】与平面ABB1所成的角的正弦值是匕.

13

方法二:

（I）如图，以AC的中点0为原点，分别以射线OB，0C为x,），轴的正半轴，建立空间

由题意知各点坐标如下：

A（0