现代通信原理答案(-罗新民)

第一章绪论1-1英文字母中e出现概率为0.105,c出现的概率为0.023,j出现的概率为0.001。试分别计算它们的信息量。解题思路：考查信息量的基本概念，用公式底数a一般采用2,这时信息量l.=-log₂P₄=-log₂0.023≈5.44bit,I,=-log₂P,=-log₂0.001≈9.97bir1-2有一组12个符号组成的消息，每个符号平均有四种电平，设四种电平发生的概率相等，试求这一组消息所包含的信息量。若每秒传输10组消息，则一分钟传输多少信息量?解题思路：考查平均信息量及信息量叠加的概念。每个符号有四种等概电平可能，因此先用计算其平均信息量。整个消息的总信息量是12个符号的各自平均信息量(相等)的和。解：(1)N=12,每个符号的平均信息量为比特/符号，则由12个符号组成的一组消息的信息量为I=N*I=24bit(2)每秒传输10组消息，则一分钟传输10×60组信息，因此信息传输速率为10×60×24比特/分钟=14400比特/分钟1-3消息序列是由4种符号0、1、2、3组成的，四种符号出现的概率分别为3/8、1/4、1/4、1/8,而且每个符号出现都是相互独立的，求下列长度为58个符号组成的消息序列“2010201303213001203210100321010023102002010312032100120210”的信息量和每个符号的平均信息量。解题思路：考查平均信息量的概念。可以先求出每个符号的信息量，根据消息序列中各符号出现的次数得到消息序列的总信息量，再用符号数平均从而得到符号平均信息量。也可以先直接求出这四种符号的平均信息量，再根据消息序列中符号个数得到消息序列的总平均信息量。解：方法一：0,1,2,3每符号各自携带的信息量分别为则这58个符号所带的总信息量为I=23×I₀+14×I₁+13×I₂+8×I₃=23×1.415+14×2+13×2+8×3;=110.545bit而每个符号的平均信息量I=58×H(x)=110.2bit1-4某气象员用明码报告气象状态，有四种可能的消息：晴、云、雨、雾。若每个消息是等概率的，则发送每个消息所需的最少二进制脉冲数是多少?若该4个消息出现的概率不等，且分别为1/4、1/8、1/8、1/2,试计算每个消息的平均信息量。解题思路：考查从工程角度对信息量的定义。传输两个相互等概的消息时，要区别这两种消息，至少需要1位二进制脉冲；若要传输4个独立等概的消息之一，则至少需要2位二进制解：(1)需log₂4=2个1-5设数字信源发送-1.0V和0.0V电平的概率均为0.15,发送+3.0V和+4.0V电平的概率均解题思路：考查信源平均信息量计算方法，采用=-(2×0.15×log,0.15+2×0.35×log₂0.35)1-6对二进制信源，证明当发送二进制码元1的概率和发送二进制码元0的概率相同时，信解题思路：设发“1”的概率和发“0”的概率分别为P和1-P,则信源熵可表达为P的函数H(P),问题转化为求H(P)的最值及取到最值时P的取值。(1)证明：设发“1”的概率为P,则发“0”的概率为1-P。这时信源熵为由此得到,求得即当发送二进制码元“1”的概率和发送二进制码元“0”的概率相同时，信源熵最大。(2)解：将1-7一个由字母A、B、C、D组成的信源，对传输的每一个字母用二进制脉冲编码：00代表A,01代表B,10代表C,11代表D。又知每个二进制脉冲的宽度为5ms。①不同字母等概率出现时，试计算传输的平均信息速率以及传输的符号速率；均信息传输速率。解题思路：考查信息传输速率和符号传输速率的概念及其关系。由每个脉冲的时间宽度可得每个字母(符号)的时间宽度，其倒数就是符号传输速率r。无论4个字母等概与否，符号传输速率是一定的。根据教材式(1.10)R=rH(x),分别计算出①、②中的字母(符号)平均信息量H(x),就可以得到平均信息传输速率R。解：(1)每个脉冲宽5ms,则每个字母(符号)占时宽为2×5×10-³=10-²秒平均信息速率为R=rH(x)=2×100=200bit/s平均信息速率为1.9855×100=198.55bit/s1-8设数字键盘上有数字0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,发送任一数字的概率都相同。试问应以多快的速率发送数字，才能达到2b/s的信息速率?解题思路：仍然考查的是对R=rH(x)的理解。解：信源平均信息量为所以，至少应以0.603符号/秒的速率发送数字，才能达到2比特/秒的信息速率。1-9①假设计算机的终端键盘上有110个字符，每个字符用二进制码元来表示。问每个字符需要用几位二进制码元来表示?②在一条带宽为300Hz,信噪比(SNR)为20dB的电话线路上，能以多快的速度(字符/秒)发送字符?③如果以相同的概率发送每个字符，试求每个字符包含的信息量。解题思路：②考查信道容量的含义和香农公式的应用。信道容量表示信道的信息量传输速率上界。已知信道的信噪比和带宽，就可以由香农公式求出信道容量C=Rx。再求得每个字符的信息量，由R=rH(x)就可以求得符号传输速率r的上界。(2)信噪比每个字符用7位二进制码元表示。对于110个7位二进制码元，可以认为每个码元(“0”或“1”)是等概出现，因此每个二进制码元的信息量是1比特，所以每个符号的信息量是7比特，因此可以得到(3)等概率发送时，每个字符的出现概率是,因此每个字符包含的信息量是1-10什么是模拟通信?什么是数字通信?数字通信有哪些主要优点?你对今后“数字通信系统将取代模拟通信系统”有什么看法?解：传递连续消息(信号)的通信过程称为模拟通信。传递数字消息(信号)的通信过程称为数字通信。数字通信的优点是①抗干扰能力强，可靠性好；②体积小，功耗低，易于集成；③便于进行各种数字信号处理；④有利于实现综合业务传输；⑤便于加密。1-11数字通信系统模型中各主要组成部分的功能是什么?解：信源一把原始消息转化为电信号。发送设备一把信源发出的电信号转换为适于信道传输的信号形式。信道一传输信号的媒质。接受设备一把接收的信号恢复为原信号。信宿一把信号还原为原始消息。1-12由信道容量公式讨论C与B和之间的关系，并证明：当B→0时，信息传输速率达到信道容量极限，即R=C时，试证明码元能量与噪声功率谱密(分贝)是极限最小信噪比。证明：由教材(1.19)式，当B→o且R=C时，S表示信号(码元)平均功率，表示每比特码元的时宽T,则S/R=ST=E,表示每比特码元能量。并且R=C时R取到最大值，对应S/R=ST=E,取到最小值，是极限最小信噪比。1-13一个平均功率受限制的理想信道，带宽为1MHz,受高斯白噪声干扰，信噪比为10(倍),①信道容量；②若信噪比降为5(倍),在信道容量相同时的信道带宽；③若带宽降到0.5MHz,保持同样信道容量时的信噪比。解题思路：考查香农公式中带宽、信噪比和信道容量三个量之间的相互关系。(2)Blog₂(1+5)=3.46×101-14具有1MHz带宽的高斯信道，若信号功率与噪声的功率谱密度之比为解题思路：考查香农信道公式之外，还考查白噪声功率谱密度与带限噪声功率之间的计算关00系。高斯白噪声的功率谱在整个频域(-o到+o)上是常数，该常数通常用表示，称为双边功率谱密度。高斯白噪声通过带宽为B的理想带通滤波器后称为带限噪声。这种带1-15一个系统传输四脉冲组，每个脉冲宽度为1ms,高度分别为：0、1V、2V和3V,且等概率出现。每四个脉冲之后紧跟一个宽度为1ms的-1V脉冲(即不带信息的同步脉冲)把各组脉冲分开。试计算系统传输信息的平均速率。解题思路：考查平均信息传输速率的概念。包括同步脉冲在内的5个脉冲的时间宽度内传输了四脉冲组包含的总信息量。平均信息传输速率应为总信息量被传输这些信息量所花费的时间除。比特/脉冲，四脉冲组总信息量每组脉冲中，信息脉冲及同步脉冲共5个，占时5ms,传送8比特信息。故信息传输平均速率为1-16设一数字传输系统传输二进制码元，码元速率为2400Baud,试求该系统的信息传输速率。若该系统改为传输十六进制码元，码元速率为2400Baud,该系统的信息传输速率又为多少?解题思路：考查传信率和传码率之间的换算关系，即R,=R。log₂M1-17一个多进制数字通信系统每隔0.8ms向信道发送16种可能取的电平值中的一个。试问：①每个电平值所对应的比特数是多少?②符号率(波特)为多少?③比特率为多少?解题思路：①考查信息量的定义；②、③分别考查传码率和传信率的定义。解：(1)电平数L=16,当各电平等概出现时，每个电平值对应的信息量(平均信息量),即(2)每隔0.8ms向信道发送一个多进制符号，因此符号率为1-18计算机终端通过电话信道传输数据，设该终端输出128个符号，各符号相互独立。等概出现。已知电话信道带宽为3.4kHz,信道输出信噪比为20dB。试求①信道容量；②无误传输的最高符号速率。解题思路：将信噪比的dB值转化为比值倍数，代入香农公式，就可以求得信道容量；信道容量C是信道信息传输速率R的最大值，由R=rH(x)就可以求得对应无误传输的最高符解：(1)(2)每个符号的平均信息量为因此无误传输的最高符号速率为1-19一通信系统的接收机收到的信号功率为-134dBm,接收到的噪声功率谱密度为-164dBm/Hz,系统带宽为2000Hz,求系统无错误信息传送的最大速率。解题思路：将题目所给信号功率和噪声功率谱密度的dBm带宽B一起代入香农公式，就可以求得信道容量，也就是信息传输速率的最大值。解：信号功率：,由香农公式得到第二章确定信号分析①证明这些函数在区间(-4,4)内是相互正交的。③用(2)中的标准正交函数集将下面的波形展开为标准正交级数：④利用下式计算(3)中展开的标准正交级数的均方误差：⑤对下面的波形重复(3)和(4):⑥解：对③中的s(t),均方误差为0,图中所示的三个函数对s(t)组成完备正交函数集。对④中的s(t),均方误差不为0,图中所示的三个函数s(t)不构成完备正交函数集证明：①因为f(t)=f.(-t),fo(t)=-fo(-t)②阶越函数U(t):2-3证明一个偶周期性函数的指数傅立叶级数的系数是实数，而一个奇周期函数的指数傅立叶级数的系数是虚数。即,得证。f(t)F(o)a.twb.twc.twd.tww利用奇函数在(-0,+o)上的积分为0、偶函数在(-o,+o)上的积分是其在(0,+o)上的积∴由①中的(1)式可以得到由①中的(1)式可以得到2-6利用卷积性质，求下面波形的频谱：3[cos2πf₂t]=π[δ(o-2πf₂(Ⅱ(f/2B)表示高度为1,宽度为2B,关于纵轴对称的矩形)=2ABSa(2πBt)=2ABSinc(2验证：傅里叶变换的对偶性质为一般令t=2B,则应有而2-8求图E2.2所示的周期信号的傅里叶变换。其中，根据教材式(2.18),可以得到因此,信号周期T₀=8因此2-9证明下式成立：[提示：利用2-10确定下面的信号是能量信号还是功率信号，并计算相应的能量或功率。①o(t)=Ⅱ(t/T₀)②o(t)=I(t/T₀)coso₀¹解题思路：根据能量信号和功率信号的定义来判断和计算。解：①信号能量,所以该信号是能量信号。②信号能量,所以该信号是能量信号。,所以信号是功率信号，并且信号是周期信号，周期为。信号平均功率为2-11按如下分类方法对下列信号进行分类：(1)功率有限或能量有限，(2)周期或非周期。并且指出功率信号的功率，能量信号的能量，以及周期信号的周期。②exp(-10ltl)③I(t+1/2)-I(t-1/2)⑤cos120πt+cos377t解题思路：根据信号能量和信号功率的定义进行分类和计算。解：①由余弦信号和正弦信号的时间无限长的特性，可以知道该信号是能量无限信号。同时，该信号是周期信号。令其周期为T,则可以得到信号功率为可以得到信号周期为T₀=1。所以信号是功率信号。②该信号是非周期信号。,所以信号是能量信号。③该信号是非周期信号。信号能量为所以信号是能量信号。(函数Ⅱ(t)是在[-1,+1]上幅度为恒1的门函数)。④该信号是非周期信号。信号能量所以信号是能量信号。⑤该信号是非周期信号，证明如下：cos120πt的最小周期假设和信号T·n=T₂·m=T₀也就是由余弦信号的时间无限长特性可以知道该信号是能量无限信号。信号功率为所以信号是功率信号。2-12试分别用相关定理及卷积定理推导帕斯瓦尔(Parseval)定理。f(r)*f(-t)→F(o)F(-o)=F(o)F°(o)=|F(o)²,以故可得即为Parseval定理。该截断信号可看做两个三角形函数的和：其中表示底宽为2r',高为1的等腰三角形函数：其傅里叶变换为因此，可以得到n≠0时周期信号傅里叶级数展开的系数为n=0时因此,=x(-t+T)+x(-t-T₀)自相关函数的波形如下图a所示：图bh(t)=δ(t-T₀12)+δ(t+T₀/4),,图c图d自相关函数的波形如下图e所示：中能得出什么样的结论?[提示：中能得出什么样的结论?[提示：解：由所以我们可以得出这样的结论：高斯函数的傅里叶变换仍为高斯型函数。解：(1)由自相关函数的定义有=A²T22-17设有两个正弦信号：(1=acos(o+@)及(a)=asin(o+6),试证明f(Z)同理可求得得证既然两者有相同的自相关函数，而功率谱密度函数是自相关函数的傅里叶变换，因此也有相同的功率谱密度函数。功率谱密度函数为平均功率为=25+72cosO₀t=25δ(f)+36[δ(f-10⁴)+δ(f+10③由于被积函数为奇函数，所以积分结果为0。②利用①中的结果求出所给信号f0的解析信号形式：③画出②中求出的解析信号的幅度谱图。③画出②中求出的解析信号的幅度谱图。②根据解析信号的定义，可以得到f(t)的解析信号形式为③由因此解析信号的幅度谱为如下图所示2-21分别求出下列两个脉冲信号的希尔伯特变换。2-21分别求出下列两个脉冲信号的希尔伯特变换。解题思路：根据两个脉冲信号的时域和频域特性的不同，对①选择先求出其希尔伯特变换式的频谱密度函数，再做傅里叶反变换求其时域希尔伯特变换式；对②选择直接在时域求出其F(o)=-jsgn(o)F(o)=-jπsgn(o)e,于是(2)由于③若满足窄带条件，写出其解析信号表达式。解：①可以用两种方法求f(t)的频谱密度函数。②由于向左右搬因此，只要中心频率③当f(t)满足窄带条件时，它的复信号形式就是其解析形式，即这时其解析信号的频谱密度函数为出信号的能量谱密度，并确定输入信号与输出信号能量之间的关系。解：由于所以输出信号的频谱为于是输出信号的能量谱密度为输入信号能量为输出信号能量为显然，输出信号的能量小于输入信号的能量。时，该系统输入、输出信号的功率谱密度及平均功率。及解：由于f(t)为周期为T的周期信号，,其一个周期为一底宽为T的三角形信号，因此可以得到其截断函数的傅立叶变换为因此，其傅里叶级数展开的系数为时，输入信号功率谱密度：平均输入功率：输出信号功率谱密度：平均输出功率：,,输入信号功率谱密度：平均输入功率：输出信号功率谱密度：P(o)=P(o)|H(o)²平均输出功率：输入信号功率谱密度：平均输入功率：输出信号功率谱密度：平均输出功率：P=0的傅里叶变换。信号和和(注：上面的证明用到了两个常用信号的傅里叶变换。信号和和波形分别如下，00其傅里叶变换分别是,对其进行傅里叶变换，则有再根据提示：对上式两边做傅里叶变换，即得证。件是什么?x(t)=e"cos1000πt=Re[e.e¹1000]a(t)=e-ltl。③g(t)=exp(-at)U(t)-exp(at)U(-t);解：①当r≥0时(2)当τ≥0时(3)当t≥0时(4)当O≤r≤T时当t≥T时R(t)=0第三章随机信号与噪声分析3-1设某微波中继站由5个站组成，每个站故障率为P,求该线路正常工作的概率及故障概解：每个站的正常工作概率为1-P,则5个站均正常工作即线路正常工作的概率为(1-P)⁵,线路故障概率为1-(1-P)⁵。X(t)=At+B①若B为常数，A在-1和+1之间均匀分布，画出一些样本函数。②若A为常数，B在0和2之间均匀分布，画出一些样本函数。解：①样本函数是一簇通过(0,B)点、均匀分布在图中虚线确定的区域I和Ⅱ内的直线。②样本函数是一簇斜率均为A、均匀分布在图中区域I内的平行直线解题思路：根据均值的定义可以证明第一问。证明第二问时，由于自相关函数定义为Z=Y(t,)Y(t₂)的分布。再根据均值的定义就可以求出Z的均值，即Y(t)的自相关函数。证明：由均值的定义可以得到E[Y(1)]=P(X(1)≤x)×1+P(X(1)>x)×0=P(X(t)≤x)由Y(t)的分布，可以得到因此所以可以得到Y(t)的自相关函数为=P(X(₁)≤xj,X(t₂)≤x₂)恰为X(t)的二维分布函数。得证。Y(t)=X(t+a)-X(t)=E[(X(t+a)-X(t)(X(t+a+t)-X(t+t))]=E[X(t+a)X(t+a+t)-X(t+a)X(t+t)-X()X(t+a+t)+X(t)X(t+t)]=R(t+a,t+a+t)-Rx(t+a,t+t)-Rx(t,t+a+t)+Rx(t,t+t)立的正态随机变量，而且E[A]=E[B]=0,E[A²]=E[B²]=σ²,试求X(t)的均值和自相关解：直接对X(t)求均值，可以得到将X(t)=Acosot+Bsinot代入其自相关函数表达式Rx(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)],可以得到Rx(t,t+t)=E[(Acosot+Bsinot)(Acoso(t+t)+Bsino(t+t))]=E[A²]cosotcoso(=E[A²]cosofcoso(t+t)+E[B²]sinorsino(t+t)3-6平稳随机过程X(t)的功率谱密度如图E3.1所示。试求④对X(t)进行抽样，若要求抽样值不相关时，最高抽样率为多少?这些抽样值是否统计独立?②直流功率为③交流功率为④若要抽样间隔为r的抽样值之间不相关，则应有此时，最小抽样间隔为所以最高抽样速率为fm。这些抽样值是否独立取决于随机过程X(t)的分布。若X(t)服从高斯分布，那么任意间隔r的抽样值均是高斯变量。当这些抽样值之间互不相关时，也是统计独立的。3-7设随机变量z服从均匀分布，其概率密度函数为现按下列关系构造两个新的随机变量X和Y:X=sinz,Y=cosz①试分别写出X和Y的概率密度函数；②试证明X和Y是两个互不相关的随机变量；解题思路：根据分布函数的定义求出X和Y的分布函数Fx(x)和F,(y),然后对其求导可以得到各自的概率密度函数；证明X和Y不相关只需运用互相关的定义即可；由于X和Y是随机变量z的函数，当O≤z≤2π时-1≤x≤1、-1≤y≤1,并且两者的关系是x>1或x<-1②由互相关的定义，可以得到=E[sinzcosz]-E[sinz]E[cosz]③由于X²+Y²=1因此由Z的概率密度函数可以得到X和Y的联合概率密度为所以X和Y不是相互统计独立。函数为解题思路：判断一个随机过程是否平稳，主要是看该随机过程的数学期望(均值)是否是常数，同时其自相关是否仅与时间间隔z有关而与t无关。E[X(t)]=E[sin2πFt]Rx(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)]X(t)=Acos(o₀t+θ)E[X(t)]是与t有关的量，因此随机过程X(t)是非平稳的。少少Rx(t)=2e(e'*+e-j)+cosP(o)=S₁(o)*S,(o)而②R,(t,t+t)=E{[A₀coso₀t+n(t)][A₀coso₀(t+t)+n(t+t)]}=A⁰coso,tcoso₀(t+t)+E[n(t)n(t+t)]+E[n(t)]+E[n(t+t)]R(t)=E[x(t)x(t+t)]=E{[m,+y(t)][m,+y(t+r)]}=m²+m,E[y(t+r)]+m,E[y()]+R,(t,t+r)R,(t,t+t)=R,(t)E[y(t)y(t+t)]=E[y(t)]·E[y(t+t)]=0③由X(t)=Acos(o₀t+θ)Rx(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)]3-15若x(t)是周期函数(或者含有周期成分),证明：R(t,t+t)=E{[x₁(t)+x₂(t)][x₁(t+t)x₂(t+t)]}=E[x;(t)x₁(t+t)+x;(t)x₂(t+t)+x;(t+r)x₂(t)+x₂(t)x₂(t+t)]=R(t)+R₂(t)+R₂₁(t)+R₂R₂₁(t)=E[x₂(t)x₁(t+t)]=E[x₂(t)x₁(t+t+T₀)]=R₂₁(t+T₀)①证明R,(r)=R,(t)+R,(r)+R(r)+R(r)R,(t,t+t)=E[r(t)r(r+t=E{[s(t)+n(t)][s(t+t)n(t+t)]}=E[s(t)s(t+t)+s(t)n(t+t)+n(t)s(t+t)n(t)n(t+t)]=R,(t)+R,(r)+R(r)+R(r)R(t)=E[s(t)n(t+t)]=E[s(t)]·E[n(t+t)]R(t)=E[n(t)s(t+t)]=E[n(t)]·E[s(t+t)]而n(t)均值为零，即E[n(t)]=因此得证。E3.2解题思路：该系统为线性系统。首先由系统的频响函数求得其脉冲响应函数。根据平稳随机对其做傅立叶反变换，得RC电路系统的脉冲响应函数为所以，输出过程Y(t)的自相关函数为其均方值为R,(t)=3'[P(o)]E[Z(t)]=E[X(t)Y(t)]=E[X(t)]·E[Y(t)]=mxm与时间t无关。R₂(t,t+t)=E[Z(t)Z(t+t)]=E[X(t)Y(t)X(t+t)Y(t+t)]=E[X(t)X(t+t)]·E[Y(t)Y(t+t)]得证。3-20证明若两随机过程x(t)和y(t)是相互独立的，则它们是互不相关的，即R(t)=E[x(t)y(t+t)]x(t)和y(t)的互B(t,t+t)=E{[x(t)-E(x(t))][y(t+t)-E(y(t+t))]}=E[x(t)y(t+t)]-E[x(t)]E[y(t+t)]=R(t,t+t)-E[x(t)]E[y(t+t)]R(t,t+)=E[x(1)y(t+t)]=E[x(I)]E[y(t+r)]=m,m,R(t)=E[x(t₁)y(t₂)]=10sin(2πt)B(t)=R(t)-E[x(t)]E[y=10sin(2πt)P(o)=2P(o)(1+cosot)。P3.12闻+大写解题思路：应用“平稳随机过程通过线性系过程的功率谱密度与网络函数模平方的乘积”证明。H(o)=1+e-jor=1+coswt-jsinwt其模平方为所以解题思路：利用求出输出过程的功率谱密度后，对其做傅里叶反变换，得到输出随机过程的自相关函数。此RL电路系统的频率响应函数为密度为P(f)=IH(f)²P(f)AR(r)=3'[P(f)]=N₀BSa(2πBt)E[y]=E[y(t₁)]=0,E[y₂]=E[y(t₂)]=0令有R,(t)=E[y;]E[y₂]=0R,(t)=3¹[P(f)]=N₀BSa(2πBt)P(f)=IH(f)²Px(f)电流功率为P=P(o)·2B=2BI₀q=1.6×10-17WI=√P=4×10°A环境绝对温度T=273+27=300K。由式(3.84),均方根电压为：≈1.29×10-⁶VU₁=√P≈4×10⁵V3-27由一电阻源产生的有效噪声功率为P=kTW,其中k=1.38×10-23J/K是波尔兹曼常数，T为热力学温度。请计算在室温时(T=290K)由电阻产生的有效功率谱密度(每赫解：电阻热噪声的频率范围为O<f<10¹³Hz,噪声功率在该范围内近似均匀分布，所以=2×10-34W/Hz3-28测得某线性系统输出噪声的均方根电压值为2mV,噪声为高斯型起伏噪声，试求噪声电压在-4mV～+4mV之间变化的概率为多少?解：设噪声均值为0。噪声电压在-4mV～+4mV之间变化的概率为=①(2)-①(-2)=2φ(2)-1=0.9544随机变量x具有以下不同的概率密度函数，试分别求出相应的输出电压y的概率密度函数，①f(x)=10<x<1;②f(x)=e*x>0:解题思路：由概率知识：若随机变量X的函数为Y=g(X),X的概率密度函数为fx(x),函f₁(y)=fx[h(y)]lh(y)l。由此可以解出a、c。b、d中y不是x的单调函数。因此采用其他方法：利用概率分布函数与概率密度函数之间的导数关系，先求出Y的分布函数(用X的分布函数表示),然后求导得到Y的概率密度函数。(a)y=g(x)=ax+b是单调函数，所以也是单调函数。(为简化计算，假设即②fx(x)=e*0<x<1:x>0:b<y<a+b。y>bb)y=ax²F,(y)=P(Y<y)00c)y=g(x)=kx①f(x)=10<x<1:x>0:y>a.同样由图分析可以得到3④证明：该瑞利分布的随机变量的均值为F(x)=P(X≤x)②③欲找到f(x)的最值点，令得到④根据得证。解：由教材式(3.99)得到R(r)=R,(r)coso₀T+R(t)sinoot即R(r)=2R₇(r)coso₀r|LP对上式做傅里叶变换，有因此所以①试证明该噪声的均方根电压值约为0.45V;①电压功率为②R,(t)=3¹(P,(f))=0.2Sa(2π×10⁵t)③=1-0.841345=0.158655=1-0.97725=0.02275④×n,(t)2cos2πft=[n(t)cos2πft-n,(t)sin2π两者均通过理想低通滤波器后得到的和输出为η(t)=1.5+n.(t)③=φ(-1)==1-φ(1)=1-0.8413=0.1587④P(η(t)<0)=F₇(n<0)=①(-1.5)=1-φ(1.5)=1-0.9332=0.06683-34设理想低通滤波器的输入是功率谱密度为W/Hz的白噪声，理想低通滤波器的带宽为BHz,传输函数的幅度为A,试求：3-35功率谱密度均值为零的高斯白噪声，通过一个中心频率为fo、带宽为2B的理想带通滤波器，求输出自相关函数。解：输出过程的功率谱密度为的傅里叶反变换为2BSa(2πBt),因此输出过程的自相关函数为R₀(t)=3¹[P(f)]①=2ABSa(2πBt)el²πhr+2ABSa②③R,(r)=R(r)coso₀t-R(r)sino₀rR,(r)=R,(t)coso₀t+R(t)sinot3[R(r)]=3[R,(t)]=P(f-f₀)+P(f+f₀)/LPE[x²(t)]=E[y²(t)]=R(0)=R,(0)=4AB第五章幅度调制系统准幅度调制，试其中n=0,±1,±2,…。②取方波信号一个周期的截断信号,求得其傅里叶变换为则根据式(2.17)可以得到方波信号的傅里叶变换为所以已调信号的傅里叶变换为设o₀=62,试分别画出S₁(t)和S₂(t)的波形图和频谱图。(频率较高，快变化)、一个为基带调制信号(频率较低，慢变化),均可以将慢变化基带信号看作包络，快变化载频看做高频振荡载波，以此作图。F(f)=I(f120)②调制指数为0.5的AM调制；②由于f(t)=3'[F(f)]=20Sa(20πt)因此A₀=405-4已知调制信号f(t)=Acos2πFt,载波c(t)=A.cos2nft,实现DSB调制，试画出该解：设调制载波为c₀(t)=cos(o₀t),存在相位误差的解调载波为cSpsμ(t)=f(t)cos(o₀t)Spsp(t)·c(t)/LPF=f(t)coso,tcos(o,t+△θ)/LP(t)是数字信号时影响解调；包络检波器的输入端。试确定检波器的输出波形，并说明输出波形是否产生失真?若产生失真原因何在?怎么才能作到不失真检出?f(t)t息还包含在已调信号相位上。当采用包络检波时，,只得到了部分幅度信息，因此有失真。要想无失真，应对DSB-SC信号插入同频大载波A,cosot,Ao≥1f(1)l。5-7用双音测试信号计算一个50kW(未调制时)的AM广播发射机。发射机外接50Ω负载，②确定90%调制(调幅指数m=90%)下的A₁值③确定90%调制时通过502负载的电流峰值和电流有效值。解：①未调制载波信号为c(t)=A₀coso₀t,在外接50Ω负载的情况下信号功率为A₀≈2236VSm(t)=[A₀+m(t)]coso₀t因此AM信号包络为2236+A②根据定义，调幅指数可表示为因此A₁=0.45A₀=1006V③通过502负载的峰值电压为A₀+2A,=1.9A₀=4248.4V,因此电流峰值为载波5-8对基带信号m(t)进行DSB调制，m(t)=cosw₁t+2cos2o₁t,w₁=2πfj,fi=500HZ,载波幅度为1。试：①写出该DSB信号的表达式，画出该波形；②计算并画出该DSB信号的频谱；③确定已调信号的平均功率。解：①DSB信号的表达式为②该DSB信号的频谱为+δ(o+0₀-0)+δ(w+O₀+0)+2δ(o+o₀③已调信号的平均功率为5-9设SSB发射机被一正弦信号m(t)调制，m(t)=5cosw₁t,w₁=2πfj,f₁=500Hz,载波幅度为1。试：①计算m(t)的希尔伯特变换m^(t);②确定下边带SSB信号的表达式；③确定SSB信号的均方根(rms)值；⑤确定SSB信号的平均功率。解：①m(t)=5cosw₁t,其傅里叶变换为M(o)=5π[δ(o-o₁)+δ(o+o)]其希尔伯特变换的频谱为m(t)=H[m(t)]=5sinot=√5cos(as-a)f⑤SSB信号平均功率为f(t)=cos(2π×1000t)+cos(2π×2000t)载波信号为c(t)=2cos(2π×100×10³则DSB信号为=2cos(2π×1000r)cos(2π×100×10³t)+2cos(2π×2000r)cos(2π×100×10³t)=cos(2π×101×10³t)+cos(2π×99×10³t)+cos(2π×102×10³t)+cos(2π×98×10³t)滤去下边带，得Susg(t)=cos(202π×10³t)+cos(204π×10³t);滤去上边带，得Susg(I)=cos(196π×10³t)+cos(198π×10³t)Sus(f)=π[δ(o-202π×10²)+δ(o+202π×10²)]+π[δ(o-204π×10³)+δ(o+204π×10³)]Ssg(f)=π[δ(o-196π×10²)+6(o+196π×10²)]+π[δ(o-198π×10³)+δ(o+198π×10²)]S,sg(1)=cos(202π×105-11设调制系统如图E5.2所示，为了在输出端分别得到f₁(t)和f₂(t),试确定接收端的2coso₀[f(t)coso₀t+f₂(t)sin=f₂(t)(1-cos2o,t)+f(t)5-12设调制信号为f(t)=A,coso,t,载波为C(t)=A₀cosoot,用该调制信号对载波进解：已知标准振幅调制信号为其中，载波功率为,边带功率;2ooAm=0时，调制信号为0,因此已调信号就是载波，PB=0,Po=PAM。5-13调幅发射机在500Ω无感电阻上的未调制功率为100W,而当以5V峰值的单音调制信号进行幅度调制时，测得输出端的平均功率增加了50%,设已调信号可表示为试求①每个边带分量的输出平均功率；S(1)解题思路：本题应注意，β并不是表示对单音调制信号f(t),已调信号可表示为Sm(1)=A,[1+βAcosO,I]cosot。解：①由AM已调信号表达式可知载波为因此