奥数讲义 工程问题

I奥数专题第一讲工程问题(1)

【学习方法指导】

学习奥数能够锻炼孩子得思维能力。对于小升初得孩子们来说,奥数得学习还能增加升学得

筹码。

记笔记

这方法其实很普遍也很简单，但恰恰就是很多同学不容易做到得,记笔记有很多好处,一

就是可以把老师得精华记录下来方便复习，二就是练习学生得书写能力,三就是可以让学生

养成边听边写得学习能力，这对于提高学习效率就是非常有效得。

错题本

很多孩子都马虎,但有些马虎其实就是同学对知识点理解不清晰造成得,这类得题目一

定要记录下来。还有得就是出题者故意设计得陷阱,这也可以记录下来,定时复习，久了之后

很多马虎自然而然地就避免了。

题目分类本

与错题本一样,专门记录自己做过得试题,分类指得就是将自己做过得试题分为几大类,

一类就是极其简单，自己一瞧就会得。一类就是有一定难度，需要思考找到突破口得,还有一

类就就是难度很大,需要综合运用很多知识并进行推理才能解答得,后两类都应该就是我们

得记录重点。在对试题分类得过程中同学自然地就增强了对试题得进一步理解。

旧题新解

不定时得翻翻原来做过得试题,但就是重点就是思考有没有新得解题思路与解题技巧。

这样不断地增加思考有利于形成学生思考习惯得形成,也有利于学生发散思维得形成,多角

度考察问题得思路,并随时利用新学知识去解决问题。

学习讨论

定期地与我分享好试题,好方法,好技巧,好经验,学习到新得东西,提高学习效率,培养

合作精神，增强协调能力。

小学奥数工程问题试题专项练习(一)

【知识点】

工程问题:顾名思义，工程问题指得就是与工程建造有关得数学问题。其实,这类题

目得内容已不仅仅就是工程方面得问题，也括行路、水管注水等许多内容。

在分析解答工程问题时，一般常用得数量关系式就是：

工作量=工作效率义工作时间，

工作时间=工作量+工作效率，

工作效率=工作量4-工作时间。

工作量:指得就是工作得多少，它可以就是全部工作量，一般用数1表示，也可

以是部分工程量，常用分数表示。伊技比工程的一半表示成;，工程的三分

之一表示为g.

工作效率:指得就是干工作得快慢，其意义就是单位时间里所干得工作量。单位时

间得选取,根据题目需要，可以就是天，也可以就是时、分、秒等。工作效率得单位

就是一个复合单位,表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会

得情况下,一般不写工作效率得单位。

【典型例题】

例1单独干某项工程,甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50

天后，剩下得工程乙队干还需多少天？

分析与解:以全部工程量为单位lo甲队单独干需100天，甲得工作效

率是京；同理，乙队的工作效率是高。两队合干的工作效率是（++焉

由“工作量=工作效率X工作时间”，50天的工作量是

,11、M115

k100150，236

剩下的工作量是（1-由“工作时间=工作量+工作效率”，剩下的工

作量由乙队干还需（1-3+焉=25（天）。

例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙

两队合做,中途甲队退出转做新得工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问:甲

队干了多少天？

分析:将题目得条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面得工作甲、

乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。

解：（1弓、词+（£+$）

213

=^~5^20=5X20=12（天）。

答:甲队干了12天。

例3单独完成某工程,甲队需10天,乙队需15天,丙队需20天。开始三个队一起

干，因工作需要甲队中途撤走了,结果一共用了6天完成这一工程。问:甲队实际工

作了几天?

分析与解:乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天得工

作量，剩下得就是甲队干得，所以甲队实际工作了

【Y+力6产5=3（天）o

例4一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，

那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？

分析与解:这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要得时间，

L号+表为2（时）。

再求出每小时张比王多做的零件数，60-12=5（个）。

最后求出这批零件的，蟋，5+号-5=300（个）。

例5一水池装有一个放水管与一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满,单开排

水管7时可将满池水排完。如果一开始就是空池，打开放水管1时后又打开排水

管，那么再过多长时间池内将积有半池水？

分析与解：以满池水为单位1。1时放水管可使水增加，排水管可使水

减少;，同时开1时，可使水增加（g-6。放水管打开1时后，池内已经有:

的水，与半池水还差6-所以要达到半池水，还需

（时）o

例6甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。

出发后5分钟,甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。甲再出发后

多长时间两人相遇？

分析:这道题瞧起来像行程问题，但就是既没有路程又没有速度，所以

不能用时间、路程、速度三者得关系来解答。甲出发5分钟后返回，路上

耽误10分钟，再加上取东西得5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将题

目改述一下:完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟,乙先干15分钟后，

甲、乙合干还需多少时间？由此瞧此这道题应该用工程问题得解法来解

答。

膈（l'xl5）+启+%、+呆15（分）。

答:甲再出发后15分钟两人相遇。

小学奥数工程问题试题专项练习（一）

参考答案与试题解析

一、填空:

1.（3分）工程队6天完成一项工程得2照这样计算.完成全部工程要15天.

5

考点:简单得工程问题.

分析:首先求出一天完成这件工程得几分之几（工作效率），再求出全部完成需要得时间即可.

解答:解：1+（&6）,

5

=1』

15

=15（天）；

答:完成全部工程要15天.

故答案为:15.

点评:此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间得数量关系，解答时往往把工作

总量瞧作“1”,再利用它们得数量关系解答.

2.（3分）打一篇稿件，甲单独打要10小时，乙要12小时.甲乙工作时间得比就是5:6，工作效

率得比就是6:5.

考点:比得意义;简单得工程问题.

分析:⑴求甲乙工作时间得比，用甲得工作时间比乙得工作时间，化简即可;

（2）求工作效率得比,把这份稿件得总量瞧做单位“1”,根据题意，甲得工作效率为」■，乙

10

得工作效率为工二者相比即可.

12

解答:解:⑴10:12=5:6;

答:甲乙工作时间得比就是5:6.

⑵。:』6:5;

1012

答:工作效率得比就是6:5.

故答案为：5:6,6:5.

点评:由此,我们得出结论:甲乙工作效率得比等于她们工作时间比得反比.

3.（3分）做同样得零件，甲要工小时，乙要工小时，甲乙工作时间得比就是上匚,工作效率得比

68

就是3:4.

考点:简单得工程问题.

分析:甲乙工作时间得比就是工工根据比得化简方法化成最简整数比，把工作量瞧作单位

68

“1”.根据工作量+工作时间=工作效率，再求出甲乙得工作效率得比.

解答:解:甲乙工作时间得比就是：

—：A=(_Lx24):(▲x24)=4:3;

6868

甲乙工作效率得比就是：

(1T)：(l+4)=6:8=3:4;

故答案为43,3:4.

点评：此题主要根据工作量、工作效率、工作时间三者之间得关系,与比得化简方法解决问题.

4.(3分)加工一批零件，甲要12天，乙得工作效率就是甲得士甲乙同时加工一共要」2_天.

53

考点：简单得工程问题.

分析：把这批零件得数量瞧作单位“1”,甲12完成，那么甲每天完成这批零件得上，又知乙得工

12

作效率就是甲得士由此可以求出乙得工作效率工x生工再根据工作量+工作效率

512515

之与=共同用得工作时间，列式解答.

解答：解:甲12完成，那么甲每天完成这批零件得工

12125

=1+(工」_),

12飞

=i+2

60

答:甲乙同时加工一共要62天.

3

故答案为:62

3

点评：此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间得数量关系，解答时要注意从问

题出发，找出已知条件与所求问题之间得关系，再从已知条件回到问题即可解决问题.

5.(3分)甲乙同时加工一批零件要20天,已知甲乙工作效率得比就是5:4.乙单独加工要45

天.

考点：简单得工程问题.

分析：要求乙单独加工需要几天，必须先求出乙得工作效率，己知甲乙同时加工一批零件要20

天,已知甲乙工作效率得比就是5:4,把这批零件得数量瞧作单位“1”,甲乙得工作效率与

就是工，乙得工作效率就是再根据工作量+工作效率=工作时间解答.

20205+445

="(占x§；

209

=45（天）；

答:乙单独加工要45天.

故答案为：45.

点评：此题属于工程问题,工作量没有给出具体得数量，把工作量瞧作单位“1”,再根据工作量、

工作效率、工作时间三者之间得关系解答.

二、应用题

6.一项工程，甲单独做要12天，乙要10天，丙要15天.

①甲乙丙同时做要多少天？

②甲乙丙同时加工多少天能完成工程得一半？

③甲乙丙同时加工多少天这项工程还剩」?

4

④如果甲先做5天，乙丙接着做，还要多少天？

⑤如果甲丙合作做4天后，再由乙做，完成任务时一共用了多少天？

考点：简单得工程问题.

分析：①根据题意,把这项工作得总量瞧作单位“1”,那么甲、乙、丙得工作效率分别就是工、

12

工、工三人合做需要得时间为1+（上+」+马，计算即可；

1015121015

②要求甲乙丙同时加工多少天能完成工程得一半，用工除以三人效率之与即可；

2

③这项工程还剩工也就就是完成了W用口除以三人效率与即可；

444

④甲先做5天，做了这项工程得工＜5=且还剩工这时乙丙合做，求需要得时间,用工除

12121212

以乙丙效率与即可；

⑤甲丙合作做4天后，还剩1-（工+马x4=2这2由乙来做，需要得时间就是

121555

天）,再加上甲丙合作做得4天，共8天.

510

解答：解:①1+（工工上），

121015

=1/，

4

二4（天）；

答:甲乙丙同时做要4天.

吗F+需急

=2x4,

2

=2（天）;

答:甲乙丙同时加工2天能完成工程得一半.

一二

——3."1,

44

=34,

4

=3(天);

答:甲乙丙同时加工3天这项工程还剩工

4

@(1-

=(1-

答:还要多少天工天.

2

@[1-(_1_+JL.)X4]4-A.+4,

121510

=[1-AX4]X10+4

20

=口-xl0+4,

=2x10+4,

5

=4+4,

=8（天）；

答:完成任务时一共用了8天.

点评：此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间得数量关系，解答时要注意从问

题出发，找出已知条件与所求问题之间得关系，选择正确得关系式解答.

7.一个水池安有甲乙两个水管，单开甲水管8小时可以把空池注满，单开乙水管12小时可以把

空池注满，同时打开两个水管，多少小时可以把空池注满？

考点：简单得工程问题.

分析：把这个水池得容积瞧成单位“1”,甲水管得工作效率就是工乙水管得工作效率就是」一

812

它们得与就是合作得工作效率,用工作量除以合作得工作效率就就是需要得工作时间.

解答：解:1+3

8

=1;二

24

=玛小时）；

5

答:出小时可以把空池注满.

5

点评：此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间得数量关系，解答时往往把工作

总量瞧做1,再利用它们得数量关系解答.

8.30立方米木料，单做桌子可以做50张，单做凳子可以做200把，如果同时做桌凳，可以做多少

套？（两种方法解）

考点：整数、小数复合应用题.

分析：方法一，根据除法得意义可知，做一张桌子需要30+50=0、6立方米木料,做一个凳子需

要30+200=0、15立方米得木料，则做一套桌凳需要0、6+0、15=0、75立方米木料，所

以果同时做桌凳,可以做30+（0、6+0、15）套.

方法二，将这些木料瞧做单位“1”,单做桌子可以做50张，单做凳子可以做200把,则做一

张桌子要用掉全总木料得工做一张凳子要用掉全部木料得」一则做一套桌凳需要用

50200

掉全部木料得工+」一所以同时做桌凳,可以做套.

5020050200

解答：解:方法一，

30+（30+50+30-200）

=30+（0、6+0、15）,

=30+0、75,

=40（套）.

答:可以做40套.

方法二，

1+（」+_1_）

50200

=14

40

=40（套）.

答:可以做40套.

点评：完成本题要注意第二种方法不用具体得数量解答，而就是把具体得数量瞧做单位“1”.

9.一项工程，甲单独做要20天，乙要30天，其间甲乙各休息了几天，结果16天才完成任务，已知

甲休息了3天，乙休息了几天？

考点：简单得工程问题.

分析：由题意可知，甲乙得工作效率分别为工，工;16天才完成任务，甲休息了3天，则实际甲工

2030

作了16-3=13天.则甲完成了总工作量得」。13=爸则乙完成了总工作量得1-

2020

生二L所以乙工作了上-^=10、5天厕乙休息了16-10>5=5、5天.

20202C30

解答：解:16-[1-AX（16-3）]一」

2030

=16-[1-2<13户工,

2030

=16-[1-赤x30,

=16--1x30,

20

=16-10、5,

=5、5(天).

答:乙休息了5、5天.

点评：明确这一过程中甲工作了13天，并根据工作效率x工作时间=工作量求出甲完成得工作

量就是完成本题得关键.

10.周五爸爸拿回了两份稿件回家,为了赶交稿件，兄妹二人决定利用星期六帮爸爸打完稿件，

具体情况如下:哥哥打甲稿件要3小时，打乙稿件要6小时;妹妹打甲稿件要8小时，打乙稿件

要4小时，问:如何巧妙安排能使打完稿件得时间最短？

考点：最优化问题.

分析：由题意可知，哥哥打甲稿件较快，妹妹打乙稿件较快.因此可分工让哥哥打甲稿件，妹妹

打乙稿件.由于哥哥打甲稿件3小时完成,妹妹打乙稿件4小时完成,则哥哥完成时，妹妹

还有』没有打完,则这』可与哥哥合打.由于妹妹每小时打全部得工哥哥每小时打全部

444

得!所以这工还需要打工(2+2)=心小时，所以共需3+13卫小时.

64446555

解答：解:根据题意，可分工让哥哥打甲稿件，妹妹打乙稿件.

哥哥完成后,再与妹妹合打乙稿件剩下得部分.

(1-lx3)^(l+l)+3

446

心鲁吉，

丝+3,

45

=2+3,

5

=3耳小时).

5

答:让哥哥打甲稿件，妹妹打乙稿件.哥哥完成后，再与妹妹合打乙稿件剩下得部分用时

最少，需要3马、时.

5

点评：完成本题得关键要注意哥哥打完后，要与妹妹合打剩下得部分，这样用时最少.

作业详解1、某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，她们合干多少天

才可完成工程得一半？

2、某工程甲队单独做需48天,乙队单独做需36天。甲队先干了6天

后转交给乙队干,后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。求

乙队在中间单独工作得天数。

3、一条水渠，甲、乙两队合挖需3