数学-广东省2024届高三下学期4月二模考试试题和答案

.启用前注意保密2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试!二"数学参考答案评分标准$1.本解答给出了一种或几种解法供参考%如果考生的解法与本解答不同%可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则&2.对计算题%当考生的解答在某一步出现错误时%如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度%可视影响的程度决定后继部分的给分%但不得超过该部分正确解答应得分数的一半.如果后继部分的解答有较严重的错误%就不再给分&3.解答右端所注分数%表示考生正确做到这一步应得的累加分数&有一项是符合题目要求的&题号12345678答案CCBADBAD符合题目要求&全部选对的得6分%部分选对的得部分分%有选错的得0分&题号9答案ABDACACD四#解答题$本题共5小题%共77分&解答应写出文2 所以双曲线C的方程为-y2=1.………………6分数学模拟测试!二"参考答案第1页!共7页"(2)①当直线AB过原点时，y=x过AB的中点恒成立，因为直线AB与双曲线相!.……………8分(x1-x2)(x1+x2)-两式相减得3(y1-y2)(y1+y2)=0，…(x1-x2)(x1+x2)-16.(1)证明：如图1，记A1B与AB1的交点为点O，连接B1D，因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以"A1AB="DCA="B1C1D=90。.………………2分因为AA1=AB，所以四边形AA1B1B是正方形，故AB1#A1B.………………3分图1因为AC=BC，BC=B1C1，所以AC=B1C1.又因为D是CC1的图1因为四边形AA1B1B是正方形，所以点O是AB1的中点，所以AB1#OD.……………………5分又因为A1B，OD$平面A1BD，A1B%OD=O，…………………6分所以AB1#平面A1BD.……………7分 (2)解：因为BC#AC，AB=AA1=2，所以AC=BC=槡2.……8分方法一：如图2，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，Z轴建立空间直角坐标系，则A(槡2，0，0)，'&'&'&'&'&'&'&因为AB1#平面A1BD，所以平面A1BD的法向量为AB1='&设平面ABD的法向量为n=(x，y，Z)，'&解得'&解得图2数学模拟测试(二)参考答案第2页(共7页)#"#"得n=(1,1,槡2).………设平面A1BD与平面ABD的夹角为θ,nn.AB1AB ……………所以平面A1BD与平面ABD的夹角的余弦值为.……………15分方法二：如图3,平面A1BD与平面ABD的交线为BD,过点O作OE!BD,垂足为点E,连接AE.由(1)知AO!平面A1BD,因为BD$平面A1BD,所以AO!BD.又因为OE,AO$平面AOE,OE%AO=O,所以BD!平面AOE.……9分因为AE$平面AOE,所以BD!AE.图3所以&AEO是平面A1BD与平面ABD的夹角.…………………10分在'ADB中,AD=BD=槡3,由'ADB的面积可得x2x槡(槡3)2-12=x槡3xAE,槡3因为OE$平面A1BD,所以AO!OE.……………………12分在Rt'AOE中,sin&AEO=…………………槡3所以cos&AEO=,……………14分所以平面A1BD与平面ABD的夹角的余弦值为.……………15分17.解：(1)由题得函数f(x)的定义域为(0,+),………………1分求导得f,(x)=ax+1-2a-=(x-2)(ax+1)x,……由f,(x)>0,得x>2；由f,(x)<0,得0<x<2,……………6分所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增.…7分数学模拟测试(二)参考答案第3页(共7页) 2(2)由题得 2……x2-x1=a(x2-x1)(x2+x1)+(1-2a)(x2-x1)-2lnx2+2lnx1x2-x1由题得f(x)的图象在x0=处的切线斜率为f,(x0)=f,=a+假设KAB=f,(x0)，2t+1，t+1记g(t)=lnt-2(t-1)即g(t)=lnt+4-t+1，t+1所以g(t)在(0，1)，(1，+)上单调递增，…………………14分因为g(1)=0，所以g(t)丰0在t=(0，1)U(1，+)上恒成立，所以不存在这样的两点A，B.…………………15分=-(an-bn)，………………………1分1-……………………2分数学模拟测试(二)参考答案第4页(共7页)所以{an-bn}是以a1-b1为首项，-为公比的等比数列.…3分n+1n+1n+1c=(an+bn-2c).……………5分1所以{an+bn-2c}是以a1+b1-2c为首项，为公比的等比数列.…………7分(2)因为a1>b1，由(1)得{an-bn}是等比数列，所以an-bn丰0，即a由(1)得an+1+bn+1-2c=(an+bn-2c-2c=0，所以{an+bn-2c}为常值数列0，故an+bn=2c.………nnnn………9分n，所以等号不成立，故coscn>.………………10分…(3)由(1)可知an-bn=(a1-b1)(-n-1，由(2)可知an+bn=2c，………13分n随着n的增大而增大，nn所以coscn随着n的增大而减小，所以{coscn}是递减数列，0所以{sincn}是递增数列，所以是递减数列，数学模拟测试(二)参考答案第5页(共7页)…………6分所以{sn}是递减数列.……………17分19.解：(1)当n=2时,集合M中共有9个点,C363,C369,C366, CC CC 所以X的分布列为X1槡22槡5P 3 9 6 9 (2)(i)由题意得,集合M中任取两个不同的点之间的不同距离的总数可以转化成边长为i(i=1,2,3,…,n)的正方形边界上任取两个不同的点之间的不同距离的个数的总和,……………………8分在边长为1的正方形中,有2个不同的距离,在边长为2的正方形中,有3个不同的距离,……在边长为n的正方形中,有n+1个不同的距离,………………9分由各正方形大小不同,距离大小各不相同,得X的所有可能取值的个数为2+3+4+…+(n+1)==.…………………10分(ii)由对立事件,不妨考虑X=槡2(n-1)的情况,①当X=槡2(n-1)时,取出的两点为边长为n-1的正方形的顶点,此时,这种正方形共有4个,每个正方形中距离等于槡2(n-1)的情形有2种, 所以,事件{X=槡2(n-1)}包含的样本点个数为4x2=8；…11分②当X>槡2(n-1)时,不妨设X=槡n2+d2,d三n且d=N*,>n2-4n+2=(n-2)2-2,因为n=4,所以(n-2)2-2>(n-3)2,数学模拟测试(二)参考答案第6页(共7页)a)当d=n-2,即X=槡n2+(n-2)2时,取出的两点为边长分别为n,n-2的矩形的顶点,此时,这种矩形共有6个,每个矩形中距离等于槡n2+(n-2)2的情形有2种,所以,事件{X=槡n2+(n-2)2}包含的样本点个数为6x2=12；…………13分b)当d=n-1,即X=槡n2+(n-1)2时,取出的两点为边长分别为n,n-1的矩形的顶点,此时,这种矩形共有4个,每个矩形中距离等于槡n2+(n-1)2的情形有2种,所以,事件{X=槡n2+(n-1)2}包含的样本点个数为4x2=8；……………14分c)当d=n,即X=槡2n时,取出的两点为边长为n的正