2025版高考数学一轮总复习考点突破第6章数列高考大题规范解答-高考中数列问题的热点题型考点1等差等比数列的综合运算

等差、等比数列的综合运算(2023·新课标理)(12分)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝eq\f(n2＋n,an)，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和.(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.[解析](1)第1步：利用等差数列的通项公式得到首项与公差的关系式因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，第2步：得an与d的关系式所以an＝nd.(1分)第3步：利用bn与an的关系式得到bn与d的关系式因为bn＝eq\f(n2＋n,an)，所以bn＝eq\f(n2＋n,nd)＝eq\f(n＋1,d)，(2分)第4步：利用数列前n项和公式得到d的值所以S3＝eq\f(3a1＋a3,2)＝eq\f(3d＋3d,2)＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝eq\f(2,d)＋eq\f(3,d)＋eq\f(4,d)＝eq\f(9,d).(3分)因为S3＋T3＝21，所以6d＋eq\f(9,d)＝21，解得d＝3或d＝eq\f(1,2)，(4分)因为d>1，所以d＝3.第5步：得{an}的通项公式所以{an}的通项公式为an＝3n.(5分)(2)第1步：取等差数列{bn}的前3项，再利用bn＝eq\f(n2＋n,an)，得a1与d的关系式因为bn＝eq\f(n2＋n,an)，且{bn}为等差数列，所以2b2＝b1＋b3，即2×eq\f(6,a2)＝eq\f(2,a1)＋eq\f(12,a3)，所以eq\f(6,a1＋d)－eq\f(1,a1)＝eq\f(6,a1＋2d)，所以aeq\o\al(2,1)－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d.(7分)第2步：对a1＝d或a1＝2d分类讨论，求bn，利用S99－T99＝99，得到关于d的方程，解方程得到d的值①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝eq\f(n2＋n,an)＝eq\f(n2＋n,nd)＝eq\f(n＋1,d)，S99＝eq\f(99a1＋a99,2)＝eq\f(99d＋99d,2)＝99×50d，T99＝eq\f(99b1＋b99,2)＝eq\f(99\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,d)＋\f(100,d))),2)＝eq\f(99×51,d).(8分)因为S99－T99＝99，所以99×50d－eq\f(99×51,d)＝99，即50d2－d－51＝0，解得d＝eq\f(51,50)或d＝－1(舍去).(9分)②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝eq\f(n2＋n,an)＝eq\f(n2＋n,n＋1d)＝eq\f(n,d)，S99＝eq\f(99a1＋a99,2)＝eq\f(992d＋100d,2)＝99×51d，T99＝eq\f(99b1＋b99,2)＝eq\f(99\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,d)＋\f(99,d))),2)＝eq\f(99×50,d).(10分)因为S99－T99＝99，所以99×51d－eq\f(99×50,d)＝99，即51d2－d－50＝0，解得d＝－eq\f(50,51)(舍去)或d＝1(舍去).(11分)第3步：总结综上，d＝eq\f(51,50).(12分)名师点拨：解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据两数列的概念，设出相应的基本量，然后充分使用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量.解综合题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件.【变式训练】(2023·广东省七校联考)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝26，a1，a3，a11成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn＋n)))的前n项和为Tn，求Tn.[解析](1)由a1，a3，a11成等比数列，得a1a11＝aeq\o\al(2,3)，又S4＝26，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝26，,a1a1＋10d＝a1＋2d2，))又d≠0，所以a1＝2，d＝3.所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.(2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝2n＋eq\f(3nn－1,2)＝eq\f(3n2,2)＋eq\f(n,2)，eq\f(1,Sn＋n)＝eq\f(1,\f(3n2,2)＋\f(n,2)＋n)＝eq\f(2,3nn＋1)＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，Tn＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,