2025版高考数学一轮总复习考点突破第6章数列高考大题规范解答-高考中数列问题的热点题型考点2数列与不等式的综合问题

数列与不等式的综合问题(2023·新课标Ⅱ，18)(12分)已知{an}为等差数列，bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－6，n为奇数，,2an，n为偶数，))记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.(1)求{an}的通项公式；(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.[解题思路](1)要求数列{an}的通项公式，就需求出首项与公差.观察已知条件知，可利用等差数列的通项公式与前n项和公式建立方程组求出.(2)由于数列{bn}的通项分n为奇数与n为偶数给出，为此在求Tn时，也需分n为奇数与n为偶数求解.而数列{bn}的奇数项与偶数项分别构成等差数列，故求和时选用分组法，然后利用作差法证明不等式.[解析](1)第1步：求出{bn}的前3项设等差数列{an}的公差为d.因为bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－6，n为奇数，,2an，n为偶数，))所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6.(提示：由于数列{bn}是一个奇偶项数列，因此求项时需“对号入座”)(2分)第2步：结合已知条件建立方程组求出a1与公差d因为S4＝32，T3＝16，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝32，,a1－6＋2a1＋2d＋a1＋2d－6＝16，))(方法技巧：求等差数列的基本量时，常根据已知条件建立方程组求解)整理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋3d＝16，,a1＋d＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,d＝2，))(题眼)(4分)第3步：求数列{an}的通项公式所以{an}的通项公式为an＝2n＋3.(提示：等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d)(5分)(2)证明：第1步：结合(1)求Sn由(1)知an＝2n＋3，所以Sn＝eq\f(n[5＋2n＋3],2)＝n2＋4n.(提示：等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝eq\f(na1＋an,2))(6分)第2步：证明n为奇数时所证不等式成立当n为奇数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝eq\f(\f(n＋1,2)－1＋2n－3,2)＋eq\f(\f(n－1,2)14＋4n＋2,2)＝eq\f(3n2＋5n－10,2).(方法技巧：如果数列的奇数项、偶数项构成等差或等比数列，则求其前n项和时可以使用分组求和方法，使具有相同结构的部分求和，然后将结果相加、化简即可)(8分)当n>5时，Tn－Sn＝eq\f(3n2＋5n－10,2)－(n2＋4n)＝eq\f(n2－3n－10,2)＝eq\f(n－5n＋2,2)>0，所以Tn>Sn.(9分)第3步：证明n为偶数时所证不等式成立，得结果当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝eq\f(\f(n,2)－1＋2n－5,2)＋eq\f(\f(n,2)14＋4n＋6,2)＝eq\f(3n2＋7n,2).(10分)当n>5时，Tn－Sn＝eq\f(3n2＋7n,2)－(n2＋4n)＝eq\f(n2－n,2)＝eq\f(nn－1,2)>0，所以Tn>Sn.(11分)综上可知，当n>5时，Tn>Sn.(12分)名师点拨：求解数列与不等式综合问题的步骤1.根据题目条件，求出数列的通项公式；2.根据数列项的特征，选择合适的方法(公式法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等)求和；3.利用2中所求得的数列的和，证明不等式或求参数的范围；4.反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.提醒：解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.【变式训练】(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前项和，已知a1＝1，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))是公差为eq\f(1,3)的等差数列.(1)求{an}的通项公式；(2)证明：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)<2.[解析](1)因为a1＝1，所以eq\f(S1,a1)＝1，又eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))是公差为eq\f(1,3)的等差数列，所以eq\f(Sn,an)＝1＋(n－1)×eq\f(1,3)＝eq\f(n＋2,3)，所以Sn＝eq\f(n＋2,3)an.因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋2,3)an－eq\f(n＋1,3)an－1，所以eq\f(n＋1,3)an－1＝eq\f(n－1,3)an(n≥2)，所以eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)(n≥2)，所以eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an,an－1)＝eq\f(3,1)×eq\f(4,2)×eq\f(5,3)×…·eq\f(n,n－2)·eq\f(n＋1,n－1)＝eq\f(nn＋1,2)(n≥2)，所以an＝eq\f(nn＋1,2)(n≥2)，又a1＝1也满足上式，所以an＝eq\f(nn＋1,2)(n∈N*).(2)证明：因为an＝eq\f(nn＋1,2)，所以eq\f(1,an)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，所以eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＝2eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋…＋\b\lc\