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题型三通过数值构造具体函数1.已知a=eq\f(ln2,2),b=eq\f(1,e),c=eq\f(2ln3,9),则a,b,c的大小关系为_c<a<b__.[解析]令f(x)=eq\f(lnx,x),则f′(x)=eq\f(1-lnx,x2),当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.a=eq\f(ln2,2)=eq\f(2ln2,4)=eq\f(ln4,4)=f(4),b=eq\f(1,e)=eq\f(lne,e)=f(e),c=eq\f(2ln3,9)=eq\f(ln9,9)=f(9),f(e)>f(4)>f(9),即c<a<b.2.(2021·全国乙卷改编)设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=eq\r(1.04)-1,则a,b,c,的大小关系为_b<c<a__.[解析]b-c=ln1.02-eq\r(1.04)+1,设f(x)=ln(x+1)-eq\r(1+2x)+1,则b-c=f(0.02),f′(x)=eq\f(1,x+1)-eq\f(2,2\r(1+2x))=eq\f(\r(1+2x)-x+1,x+1\r(1+2x)),当x≥0时,x+1=eq\r(x+12)≥eq\r(1+2x),f′(x)≤0,f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以f(0.02)<f(0)=0,即b<c.a-c=2ln1.01-eq\r(1.04)+1,设g(x)=2ln(x+1)-eq\r(1+4x)+1,则a-c=g(0.01),g′(x)=eq\f(2,x+1)-eq\f(4,2\r(1+4x))=eq\f(2[\r(1+4x)-x+1],x+1\r(1+4x)),当0≤x<2时,eq\r(4x+1)=eq\r(2x+2x+1)≥eq\r(x2+2x+1)=eq\r(x+12)=x+1,故当0≤x<2时,g′(x)≥0,所以g(x)在[0,2)上单调递增,所以g(0.01)>g(0)=0,故c<a,从而有b<c<a.名师点拨:当要比较的各数为某些函数的函数值时,要仔细观察这些数值的共同之处,构造一个或两个函数,使要比较的数成为该函数的函数值,然后利用函数的单调性比较大小.【变式训练1】1.设a=eq\f(1,50),b=2lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(1,100)+cos\f(1,100))),c=eq\f(6,5)lneq\f(51,50),则a,b,c的大小关系为_c>a>b__.[解析]因为a=lneeq\s\up10(\f(1,50))=lne0.02,b=lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(1,100)+cos\f(1,100)))2,c=lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(51,50)))eq\s\up10(\f(6,5)),所以只要比较x=e0.02,y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(1,100)+cos\f(1,100)))2=1+sineq\f(1,50)=1+sin0.02,z=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(51,50)))eq\s\up10(\f(6,5))=(1+0.02)1.2大小即可,令f(x)=ex-(1+sinx)(x>0),则f′(x)=ex-cosx>0,所以f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(x)>f(0),所以ex>1+sinx,所以e0.02>1+sin0.02,即x>y>1,令g(x)=(1+x)1.2-ex,则g′(x)=1.2(1+x)0.2-ex,g″(x)=0.24(1+x)-0.8-ex,因为g″(x)在(0,+∞)上为减函数,且g″(0)=0.24-1<0,所以当x>0时,g″(x)<0,所以g′(x)在(0,+∞)上为减函数.因为g′(0)=1.2-1>0,g′(0.2)=1.2×1.20.2-e0.2=1.21.2-e0.2,要比较1.21.2与e0.2的大小只要比较ln1.21.2=1.2ln1.2与lne0.2=0.2的大小,令h(x)=(1+x)ln(1+x)-x(x>0),则h′(x)=ln(1+x)+1-1=ln(1+x)>0,所以h(x)在(0,+∞)上递增,所以h(x)>h(0)=0,所以当x∈(0,+∞)时(1+x)ln(1+x)>x,所以1.2ln1.2>0.2,所以1.21.2>e0.2,所以g′(0.2)=1.2×1.20.2-e0.2=1.21.2-e0.2>0,所以当x∈(0,0.2)时,g′(x)>0,所以g(x)在(0,0.2)上递增,所以g(x)>g(0)-0,所以(1+x)1.2>ex,所以(1+0.02)1.2>e0.02,所以z>x,所以z>x>y,所以c>a>b.【变式训练2】1.(2022·新高考Ⅰ卷改编)设a=0.1e0.1,b=eq\f(1,9),c=-ln0.9,则a,b,c的大小关系为_c<a<b__.[解析]设u(x)=xex(0<x≤0.1),v(x)=eq\f(x,1-x)(0<x≤0.1),w(x)=-ln(1-x)(0<x≤0.1),则当0<x≤0.1时,u(x)>0,v(x)>0,w(x)>0.①设f(x)=ln[u(x)]-ln[v(x)]=lnx+x-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)(0<x≤0.1),则f′(x)=1-eq\f(1,1-x)=eq\f(x,x-1)<0在(0,0.1]上恒成立,所以f(x)在(0,0.1]上单调递减,所以f(0.1)<f(0)=0+ln(1-0)=0,即ln[u(0.1)]-ln[v(0.1)]<0,所以ln[u(0.1)]<ln[v(0.1)].又函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增,所以u(0.1)<v(0.1),即0.1e0.1<eq\f(1,9),所以a<b.②设g(x)=u(x)-w(x)=xex+ln(1-x)(0<x≤0.1),则g′(x)=(x+1)ex-eq\f(1,1-x)=eq\f(1-x2ex-1,1-x)(0<x≤0.1).设h(x)=(1-x2)ex-1(0<x≤0.1),则h′(x)=(1-2x-x2)ex>0在(0,0.1]上恒成立,所以h(x)在(0,0.1]上单调递增,所以h(x)>h(0)=(1-02)·e0-1=0,即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立,所以g(x)在(0,0.1]上单调递增,所以g(0.1)>g(0)=0·e0+ln(1-0)=0,即g(0.1)=u(0.1)-w(0.1)>0,所以0.1e0.1>-ln0.9,即a>c.综上,c<a<b.2.实数e3,3π,π3的大小关系为_e3<π3<3π__.[解析]设f(x)=eq\f(lnx,x),则f′(x)=eq\f(1-lnx
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