2025版高考数学一轮总复习知识梳理第4章三角函数解三角形第5讲函数y＝Asinωx+φ的图象及应用

第五讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用知识梳理知识点一用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示．x－eq\f(φ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0知识点二函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下知识点三简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ归纳拓展1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．由函数y＝Asin(ωx＋φ1)的图象变换为函数y＝Asin(ωx＋φ2)的图象，是平移变换，当eq\f(φ2－φ1,ω)>0时，左移eq\f(φ2－φ1,ω)个单位，当eq\f(φ2－φ1,ω)<0时，右移eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ2－φ1,ω)))个单位．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的“长度”为eq\f(T,2).3．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sinx的图象是由y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq\f(π,4)个单位长度得到的．(√)(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(×)(3)将函数y＝sin2x的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象．(×)(4)函数y＝sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)，所得图象对应的函数解析式为y＝sineq\f(1,2)x.(×)(5)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq\f(T,2).(√)题组二走进教材2．(必修1P239T2改编)(1)把y＝sinx的图象向右平移eq\f(π,3)个单位，得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象．(2)把y＝sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍(横坐标不变)得y＝eq\f(1,2)sinx的图象．(3)把y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍(纵坐标不变)得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象．(4)把y＝sin2x的图象向右平移eq\f(π,6)个单位，得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象．3．(必修1P254T10改编)函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的振幅、频率和初相分别为(C)A．2，eq\f(1,π)，eq\f(π,4) B．2，eq\f(1,2π)，eq\f(π,4)C．2，eq\f(1,π)，－eq\f(π,4) D．2，eq\f(1,2π)，－eq\f(π,4)[解析]由题意得A＝2，T＝eq\f(2π,2)＝π，∴f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,π)，φ＝－eq\f(π,4).故选C．4．(必修1P241T4改编)函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上的简图是(A)[解析]令x＝0得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，排除B，D；由x＝－eq\f(π,3)时，y＝0，x＝eq\f(π,6)时，y＝0，排除C．故选A．题组三走向高考5．(2022·浙江卷)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))图象上所有的点(D)A．向左平移eq\f(π,5)个单位长度B．向右平移eq\f(π,5)个单位长度C．向左平移eq\f(π,15)个单位长度D．向右平移eq\f(π,15)个单位长度[解析]因为y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,15)))))，所以要得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,5)))的图象上所有的点向右平移eq\f(π,15)个单位长度．故选D．6．(2023·全国甲理，10,5分)函数y＝f(x)的图象由函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)的交点个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度得y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f