函数单调性与导数

关于函数单调性与导数函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，增函数减函数则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)二、复习引入:第2页,共18页，2024年2月25日，星期天2：常见函数的导数：C’=______;(xn)’=_____;(sinx)’=_____;(cosx)’=_____;(ax)’=______;(ex)’=______;(logax)’=_____;(lnx)’=_______.第3页,共18页，2024年2月25日，星期天观察:

下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.

运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO

①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,

②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1)(2)第4页,共18页，2024年2月25日，星期天第5页,共18页，2024年2月25日，星期天

设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数，如果在这个区间内f′(x)>0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f′(x)<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.

(1)函数y=f(x)在区间I内单调增f′(x)>0探究二:下列命题正确吗?(用I表示某个区间)(2)在区间I内f′(x)≥0函数y=f(x)在I内单调增

(1)函数y=f(x)在区间I内单调增f′(x)

≥0不能不能新知1函数的单调性与其导函数的正负关系：

如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数第6页,共18页，2024年2月25日，星期天新知2：如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为

函数f′(x)>0是f(x)为增函数的

条件；f′(x)≥0是f(x)为增函数的

条件．即若在某个区间上有有限个点使得f'(x)=0,而在其余的点恒有f'(x)>0(或f'(x)<0),则该函数在该区间上仍为增函数（减函数）第7页,共18页，2024年2月25日，星期天例2、已知导函数的下列信息：当1<x<4时，>0;当x>4,或x<1时，<0;当x=4,或x=1时，=0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。xyo14xyo14xyo14xyo14ABCDD导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关正负2．应用导数信息确定函数大致图像第8页,共18页，2024年2月25日，星期天试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）f(x)=x3+3x;（2）（3）．

(4)y=ex-x+1第9页,共18页，2024年2月25日，星期天(2)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4)当>0，即时，函数单调递增；第10页,共18页，2024年2月25日，星期天(3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解：=cosx-1<0从而函数f(x)=sinx-x

在x∈(0,

)单调递减，见右图。(4)判定函数y=ex-x+1的单调区间.递增区间为(0,+∞)递减区间为(-∞,0)第11页,共18页，2024年2月25日，星期天解题小结：如何用导数判断单调性、求单调区间？

用导数法确定函数的单调性时的步骤是：注：单调区间不以“并集”出现。（2）求出函数f(x)的导函数（3）在定义域内求解不等式f

′(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间（4）在定义域内求解不等式f′(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间（1）确定函数f(x)的定义域第12页,共18页，2024年2月25日，星期天例3

求证函数f(x)=x+（0，1）为单调减函数.3．用导数证明函数在某个区间上的单调性第13页,共18页，2024年2月25日，星期天例4：已知a>0,函数f(x)=x3-ax在x>=1时是单调递增函数。求a的取值范围分析：由题目可获得以下主要信息：4．已知函数单调性求参数的取值范围第14页,共18页，2024年2月25日，星期天1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)

3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是()单调递增函数单调递减函数(C)部分单调增，部分单调减(D)单调性不能确定AAB分层训练2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为()，则a的取值范围为()(A)a>0(B)–1<a<1(C)a>1(D)0<a<1第15页,共18页，2024年2月25日，星期天5.已知函数f(x)=2ax-x3(a>0),若f(x)在（0,1）上是增函数，求a的取值范围4．函数的单调递增区间是____

6.函数在区间和内单调递增，且在区间内单调递减，则常数a的值为

．第16页,共18页，2024年2月