矩阵理论与方法的应用

关于矩阵理论与方法的应用12在经济活动中分析投入多少财力、物力、人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高低的主要标志。投入产出技术正是研究一个经济系统各部门间的“投入”与“产出”关系的数学模型，该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前比较成熟的经济分析方法。第2页,共45页，2024年2月25日，星期天3一、投入产出数学模型的概念投入～从事一项经济活动的消耗；产出～从事经济活动的结果；投入产出数学模型～通过编制投入产出表，运用线性代数工具建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之间的内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。按计量单位不同，该模型可分为价值型和实物型。第3页,共45页，2024年2月25日，星期天4流量产出投入消耗部门最终需求总产出消费累计出口合计生产部门新创价值工资纯收入合计总投入表7.1：投入产出表第4页,共45页，2024年2月25日，星期天5投入产出表描述了各经济部门在某个时期的投入产出情况。它的行表示某部门的产出；列表示某部门的投入。如表7.1中第一行x1表示部门1的总产出水平，x11为本部门的使用量，(j=1,2,…,n)为部门1提供给部门j的使用量，各部门的供给最终需求（包括居民消耗、政府使用、出口和社会储备等）为(j=1,2,…,n)。这几个方面投入的总和代表了这个时期的总产出水平。第5页,共45页，2024年2月25日，星期天6投入产出的基本平衡关系从左到右：中间需求＋最终需求＝总产出(7-9)从上到下：

中间消耗＋净产值＝总投入(7-10)由此得产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：(7-11)(7-12)第6页,共45页，2024年2月25日，星期天7需求平衡方程组：(7-13)投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：(7-15)(7-14)第7页,共45页，2024年2月25日，星期天8由(7-11)和(7-14)，可得(7-16)这表明就整个国民经济来讲，用于非生产的消费、积累、储备和出口等方面产品的总价值与整个国民经济净产值的总和相等。第8页,共45页，2024年2月25日，星期天9二、直接消耗系数定义7.2.1

第j部门生产单位价值所消耗第i部门的价值称为第j部门对第i部门的直接消耗系数，记作。由定义得(7-17)把投入产出表中的各个中间需求换成相应的后得到的数表称为直接消耗系数表，并称n阶矩阵为直接消耗系数矩阵。第9页,共45页，2024年2月25日，星期天10例1

已知某经济系统在一个生产周期内投入产出情况如表7.2，试求直接消耗系数矩阵。表7.2产出投入中间消耗最终需求总产出123中间投入1231002530805030402560400250300净产值总投入400250300第10页,共45页，2024年2月25日，星期天11解由直接消耗系数的定义，得直接消耗系数矩阵直接消耗系数具有下面重要性质：性质7.2.1

性质7.2.2

第11页,共45页，2024年2月25日，星期天12由直接消耗系数的定义，代入(7-17)，得(7-18)令，(7-18)式可表示为，或(7-19)称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。第12页,共45页，2024年2月25日，星期天13类似地把代入平衡方程(7-14)得到(7-20)写成矩阵形式为(7-21)其中第13页,共45页，2024年2月25日，星期天14定理7.2.1

列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。如果各部门的最终需求已知，则由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一解。例2

设某工厂有三个车间，在某一个生产周期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求如表7.3，求各车间的总产值。第14页,共45页，2024年2月25日，星期天15表7.3车间直耗系数车间ⅠⅡⅢ最终需求ⅠⅡⅢ0.250.10.10.20.20.10.10.10.2235125210解第15页,共45页，2024年2月25日，星期天16即三个车间的总产值分别为400，300，350。第16页,共45页，2024年2月25日，星期天17定理7.2.2

方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆的。证明因由性质7.2.2知，，故所以E-D可逆。第17页,共45页，2024年2月25日，星期天18三、完全消耗系数直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出如下定义。定义7.2.2

第j部门生产单位价值量直接和间接消耗的第i部门的价值量总和，称为第j部门对第i部门的完全消耗系数，记作。第18页,共45页，2024年2月25日，星期天19由构成的n阶方阵称为各部门间的完全消耗系数矩阵。定理7.2.3第j部门对第i部门的完全消耗系数满足方程定理7.2.4设n个部门的直接消耗系数矩阵为

A，完全消耗系数矩阵为B，则有第19页,共45页，2024年2月25日，星期天20证明由定理7.2.3知，将个等式用矩阵表示为由定理7.2.1知(E-A)可逆，故第20页,共45页，2024年2月25日，星期天21例3

假设某公司三个生产部门间的报告价值型投入产出表如表7.4，产出投入中间消耗最终需求总产出123中间投入123150006000610600250152536004001840625250030506000表7.4求各部门间的完全消耗系数矩阵。第21页,共45页，2024年2月25日，星期天22解依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中各列，得到直接消耗系数矩阵为第22页,共45页，2024年2月25日，星期天23故所求完全消耗系数矩阵为由此例可知，完全消耗系数矩阵的值比直接消耗系数矩阵的值要大的多。第23页,共45页，2024年2月25日，星期天24定理7.2.5如果第j部门最终需求增加，而其他部门的最终需求不变，那么部门总产出

X的增量为其中为单位坐标向量。证明由定理7.2.4知，将此关系代入方程(7-19)，得第24页,共45页，2024年2月25日，星期天25由定理假设，部门最终需求增量于是第25页,共45页，2024年2月25日，星期天26定理7.2.5表明，由第j部门最终需求的增加（其他部门的最终需求不变），引起了各部门总产值的增加。从数量上表示了各部门的增加量。如果没有这些追加，第j部门要完成增加最终需求的任务就不能实现。如果定理7.2.5的结论用分量表示第26页,共45页，2024年2月25日，星期天27特别取，则有上式的经济意义是，当第j部门的最终需求增加一个单位，而其他部门最终需求不变时，第i部门总产值的增加量为，当第i部门的最终需求增加一个单位而其他部门的最终需求不变时，第i部门总产值的增加量为。第27页,共45页，2024年2月25日，星期天28若令用矩阵表示为将代入上式，则第28页,共45页，2024年2月25日，星期天29例4

利用例1中的数据，求完全消耗系数矩阵B。解由例1知直接消耗系数矩阵于是有第29页,共45页，2024年2月25日，星期天30最后得完全消耗系数矩阵第30页,共45页，2024年2月25日，星期天31四、投入产出实现模型的简单应用

投入产出法来源于一个经济系统各部门生产和消耗的实际统计资料。它同时描述了当时各部门之间的投入与产出协调关系，反映了产品供应与需求的平衡关系，因而在实际中有广泛应用。在经济分析方面可以用于结构分析，还可以用于编制经济计划和进行经济调整等。第31页,共45页，2024年2月25日，星期天32

编制计划的一种作法是先规定各部门计划期的总产量，然后计算出各部门的最终需求；另一种作法是确定计划期各部门的最终需求，然后再计算出各部门的总产出。后一种作法符合以社会需求决定社会产品的原则，同时也有利于调整各部门产品的结构比例，是一种较合理的作法。第32页,共45页，2024年2月25日，星期天33例5

给定价值型投入产出表7.5，预先确定计划期各部门最终需求如表7.6。根据投入产出表中的数据，算出报告期的直接消耗系数矩阵A。假定计划期同报告期的直接消耗系数是相同的，因此把A作为计划期的直接消耗系数矩阵。再按公式算出总产出向量X。第33页,共45页，2024年2月25日，星期天34表7.5

（单位：万元）中间需求消费积累合计总产出123456中间投入123456201035515500650010302090101510101025555101525555520155551104015060258522580305155201782510515240160480809070表7.6

（单位：万元）部门

123456消费积累1156224015181150281007106合计16590340222817第34页,共45页，2024年2月25日，星期天35解通过数值计算得到第35页,共45页，2024年2月25日，星期天36由得出总产出向量第36页,共45页，2024年2月25日，星期天37这样得到各部门在计划期的总产出依次是(万元)：如果各部都能完成计划期的上述总产出值，那么就能保证完成各部门最终需求的计划任务。在求出了各部门总产出之后，根据公式可计算各部门间应提多少中间需求。具体数值表如表7.7。第37页,共45页，2024年2月25日，星期天38部门123456合计123456合计表7.7第38页,共45页，2024年2月25日，星期天39

例6

某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一条铁路，开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费;生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费;创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电费，在某一周内煤矿接到外地金额50000元定货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界对地方铁路没有需求。第39页,共45页，2024年2月25日，星期天40解