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文档简介

2023-2024学年吉林省吉化第一中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若对于任意的,函数在内都有两个不同的零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a–1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是A. B.C. D.3.函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,要得到函数的图象,只需将的图象()A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位4.过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于,两点,,为的准线上的一点,则的面积为()A.1 B.2 C.4 D.85.已知i是虚数单位,则1+iiA.-12+32i6.已知,则“m⊥n”是“m⊥l”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.设等比数列的前项和为,则“”是“”的()A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要8.下列函数中,既是奇函数,又在上是增函数的是().A. B.C. D.9.设一个正三棱柱,每条棱长都相等,一只蚂蚁从上底面的某顶点出发,每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点,算一次爬行,若它选择三个方向爬行的概率相等,若蚂蚁爬行10次,仍然在上底面的概率为,则为()A. B.C. D.10.设a,b都是不等于1的正数,则“”是“”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件11.已知公差不为0的等差数列的前项的和为,,且成等比数列,则()A.56 B.72 C.88 D.4012.是的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线C:()的左、右焦点为,,为双曲线C上一点,且,若线段与双曲线C交于另一点A,则的面积为______.14.在中,角,,的对边分别是,,,若,,则的面积的最大值为______.15.近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电,那么他的车能够充电2500次的概率为______.16.设为等比数列的前项和,若,且,,成等差数列,则.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在中,已知,,,为线段的中点,是由绕直线旋转而成,记二面角的大小为.(1)当平面平面时,求的值;(2)当时,求二面角的余弦值.18.(12分)若函数为奇函数,且时有极小值.(1)求实数的值与实数的取值范围;(2)若恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),圆的方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求和的极坐标方程;(2)过且倾斜角为的直线与交于点,与交于另一点,若,求的取值范围.20.(12分)如图,已知椭圆C:x24+y2=1,F为其右焦点,直线l:y=kx+m(km<0)与椭圆交于P(x1(I)试用x1表示|PF|(II)证明:原点O到直线l的距离为定值.21.(12分)已知函数,.(1)当时,求不等式的解集;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)在极坐标系中,已知曲线C的方程为(),直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A,B两点,且,求r的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根,先求导,可判断时,,是增函数;当时,,是减函数.因此,再令,求导得,结合韦达定理可知,要满足题意,只能是存在零点,使得在有解,通过导数可判断当时,在上是增函数;当时,在上是减函数;则应满足,再结合,构造函数,求导即可求解;【详解】函数在内都有两个不同的零点,等价于方程在内都有两个不同的根.,所以当时,,是增函数;当时,,是减函数.因此.设,,若在无解,则在上是单调函数,不合题意;所以在有解,且易知只能有一个解.设其解为,当时,在上是增函数;当时,在上是减函数.因为,方程在内有两个不同的根,所以,且.由,即,解得.由,即,所以.因为,所以,代入,得.设,,所以在上是增函数,而,由可得,得.由在上是增函数,得.综上所述,故选:D.【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题,构造函数法,导数法研究函数增减性与最值关系,转化与化归能力,属于难题2、B【解析】

依照偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x),且定义域关于原点对称,a﹣1=﹣2a,即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称,且f(x)是定义在[a–1,2a]上的偶函数,得a–1=–2a,解得a=,又f(–x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.故选B.【点睛】本题考查偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x);奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称,定义域区间两个端点互为相反数.3、A【解析】依题意有的周期为.而,故应左移.4、C【解析】

设抛物线的解析式,得焦点为,对称轴为轴,准线为,这样可设点坐标为,代入抛物线方程可求得,而到直线的距离为,从而可求得三角形面积.【详解】设抛物线的解析式,则焦点为,对称轴为轴,准线为,∵直线经过抛物线的焦点,,是与的交点,又轴,∴可设点坐标为,代入,解得,又∵点在准线上,设过点的的垂线与交于点,,∴.故应选C.【点睛】本题考查抛物线的性质,解题时只要设出抛物线的标准方程,就能得出点坐标,从而求得参数的值.本题难度一般.5、D【解析】

利用复数的运算法则即可化简得出结果【详解】1+i故选D【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,属于基础题。6、B【解析】

构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α为面ADD1A1,底面ABCD为β,然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m,n即可进行判断.【详解】如图,取长方体ABCD﹣A1B1C1D1,令平面α为面ADD1A1,底面ABCD为β,直线=直线。若令AD1=m,AB=n,则m⊥n,但m不垂直于若m⊥,由平面平面可知,直线m垂直于平面β,所以m垂直于平面β内的任意一条直线∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考点有两个:①考查了充分必要条件的判断,在确定好大前提的条件下,从m⊥n⇒m⊥?和m⊥⇒m⊥n?两方面进行判断;②是空间的垂直关系,一般利用长方体为载体进行分析.7、A【解析】

首先根据等比数列分别求出满足,的基本量,根据基本量的范围即可确定答案.【详解】为等比数列,若成立,有,因为恒成立,故可以推出且,若成立,当时,有,当时,有,因为恒成立,所以有,故可以推出,,所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解,充分必要条件的集合关系,属于基础题.8、B【解析】

奇函数满足定义域关于原点对称且,在上即可.【详解】A:因为定义域为,所以不可能时奇函数,错误;B:定义域关于原点对称,且满足奇函数,又,所以在上,正确;C:定义域关于原点对称,且满足奇函数,,在上,因为,所以在上不是增函数,错误;D:定义域关于原点对称,且,满足奇函数,在上很明显存在变号零点,所以在上不是增函数,错误;故选:B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性,注意奇偶性的前提定义域关于原点对称,属于简单题目.9、D【解析】

由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,可得,根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,∴,即,∴,∴数列是以为公比的等比数列,而,所以,∴当时,,故选:D.【点睛】本题考查几何体中的概率问题,关键在于运用递推的知识,得出相邻的项的关系,这是常用的方法,属于难度题.10、C【解析】

根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围,再利用充分必要条件的定义判断即可.【详解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分条件,故选C.【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法,考查指数,对数不等式的解法,是基础题.11、B【解析】

,将代入,求得公差d,再利用等差数列的前n项和公式计算即可.【详解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故选:B.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式,考查等差数列基本量的计算,是一道容易题.12、B【解析】

利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系,即可得出。【详解】设对应的集合是,由解得且对应的集合是,所以,故是的必要不充分条件,故选B。【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。设,如果,则是的充分条件;如果B则是的充分不必要条件;如果,则是的必要条件;如果,则是的必要不充分条件。二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由已知得即,,可解得,由在双曲线C上,代入即可求得双曲线方程,然后求得直线的方程与双曲线方程联立求得点A坐标,借助,即可解得所求.【详解】由已知得,又,,所以,解得或,由在双曲线C上,所以或,所以或(舍去),因此双曲线C的方程为.又,所以线段的方程为,与双曲线C的方程联立消去x整理得,所以,,所以点A坐标为,所以.【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线方程的求解,考查求三角形面积,考查学生的计算能力,难度较难.14、【解析】

化简得到,,根据余弦定理和均值不等式得到,根据面积公式计算得到答案.【详解】,即,,故.根据余弦定理:,即.当时等号成立,故.故答案为:.【点睛】本题考查了三角恒等变换,余弦定理,均值不等式,面积公式,意在考查学生的综合应用能力和计算能力.15、【解析】

记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A,“他的车能够充电2500次”为事件B,即求条件概率:,由条件概率公式即得解.【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A,“他的车能够充电2500次”为事件B,即求条件概率:故答案为:【点睛】本题考查了条件概率的应用,考查了学生概念理解,数学应用,数学运算的能力,属于基础题.16、.【解析】试题分析:∵,,成等差数列,∴,又∵等比数列,∴.考点:等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质,属于容易题,在解题过程中,需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解,考查学生等价转化的思想与方程思想.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】

(1)平面平面,建立坐标系,根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角.【详解】(1)如图,以为原点,在平面内垂直于的直线为轴所在的直线分别为轴,轴,建立空间直角坐标系,则,设为平面的一个法向量,由得,取,则因为平面的一个法向量为由平面平面,得所以即.(2)设二面角的大小为,当平面的一个法向量为,综上,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,难度一般.18、(1),;(2)【解析】

(1)由奇函数可知在定义域上恒成立,由此建立方程,即可求出实数的值;对函数进行求导,,通过导数求出,若,则恒成立不符合题意,当,可证明,此时时有极小值.(2)可知,进而得到,令,通过导数可知在上为单调减函数,由可得,从而可求实数的取值范围.【详解】(1)由函数为奇函数,得在定义域上恒成立,所以,化简可得,所以.则,令,则.故当时,;当时,,故在上递减,在上递增,若,则恒成立,单调递增,无极值点;所以,解得,取,则又函数的图象在区间上连续不间断,故由函数零点存在性定理知在区间上,存在为函数的零点,为极小值,所以,的取值范围是.(2)由满足,代入,消去可得.构造函数,所以,当时,,即恒成立,故在上为单调减函数,其中.则可转化为,故,由,设,可得当时,则在上递增,故.综上,的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了奇函数的定义,考查了转化的思想.对于恒成立的问题,常转化为求的最小值,使;对于恒成立的问题,常转化为求的最大值,使.19、(1);(2)【解析】

(1)直接利用转换公式,把参数方程,直角坐标方程与极坐标方程进行转化;(2)利用极坐标方程将转化为三角函数求解即可.【详解】(1)因为,所以的普通方程为,又,,,的极坐标方程为,的方程即为,

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