2023-2024学年人教版八年级下册数学期中复习试卷

-2024学年人教版八年级下册数学期中复习试卷一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝110°，则∠B的度数为（）A．125° B．135° C．145° D．155°2．如图，在平行四边形ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有（）A．4个 B．5个 C．8个 D．9个3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（）A． B． C． D．4．如图．在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AO＝5，∠AOB＝60°，则下列选项中图形的周长是有理数的是（）A．△ABC B．△BOC C．△COD D．矩形ABCD5．如图，在▱ABCD中，已知AD＝10cm，AB＝7cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A．2cm B．4cm C．3cm D．8cm6．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是（）A．26 B．32 C．34 D．367．关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 C．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形8．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，连接AC，∠ACD的平分线交AD于点E，在AB上截取AF＝DE，连接DF，分别交CE、CA于点G、H，P是线段GC上的动点，PQ⊥AC于Q，连接PH，则下列四个结论：①CE⊥DF；②DE+DC＝AC；③DF2﹣AH2＝1；④PH+PQ的最小值是；其中所有正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．49．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm10．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE，交AD于点F．若DG＝GE，AF＝8，BF＝4，△ADG的面积为10，则点F到直线BC的距离为（）A． B． C． D．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，作EF⊥AE交CD于F，若∠BAE＝45°，AE＝4，下列结论中：①∠EAF＝45°，②AF＝AB+CF，③CD＝2CF，④S△AEF＝8，正确的是．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是AC，BC上的点，AE＝16，BF＝12，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为．13．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝26厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝厘米．14．将长方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处D′，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤），则图⑤中∠α＝．15．已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与BC、CD相交于点E、F，且∠EAF＝60°，设CE＝x，△AEF的面积为y，则y关于x之间的函数解析式为．16．如图，菱形ABCD中，AB＝9，∠ABC＝60°，点E在AB边上，且BE＝2AE，动点P在BC边上，连接PE，将线段PE绕点P顺时针旋转60°至线段PF，连接AF，则线段AF长的最小值为．17．如图，在正方形ABCD中，AD＝2，点E是AD的中点，连接CE，则CE＝；点F在边AB上，将△BCF沿CF折叠，点B恰好落在CE上的点G处，连接EF，则S△CEF＝．18．如图，公园里长为20米宽为10米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是平方米．三．解答题（共7小题，满分56分）19．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且BE＝BC．（1）用直尺和圆规在BC上方作∠BCF，使得∠BCF＝∠ABE，CF交BE于点F．（2）求证：CF＝CD．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝．∴∠AEB＝．∵在△ABE与△FCB中，，∴△ABE≌△FCB．∴AB＝．∴CF＝CD．20．（7分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．21．（7分）如图1，点E是正方形ABCD边AB上一点，点G是CB延长线上一点，四边形BEFG是正方形，连接DF，点M是线段DF的中点，连接EM并延长与AD边交于点H，连接AM．（1）猜想AM和EM的数量关系和位置关系，直接写出结论，不必说明理由；（2）将图1中的正方形BEFG绕点B按顺时针方向旋转．①如图2，当点E恰好落在边AB的延长线上，连接DF，点M是DF的中点，连接EM，AM，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；②若AB＝2，BE＝2，在旋转过程中，当A，E，F三点在一条直线上时，请直接写出MF的长．22．（7分）已知：如图1，在平行四边形ABCD中，连结BD，∠DBC＝90°，点E，F分别为DC，BC的中点，连结EF并延长交AB的延长线于点G．（1）如图1，若BC＝3，BD＝4，求四边形BGED的周长；（2）如图2，连结BE，CG．求证：四边形BGCE是菱形．23．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（不与点B，点C重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．（1）若点D在线段BC上，如图1，请判断CD与GF的关系．（2）若点D在线段BC的延长线上，如图2，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，连接GE，若tan∠AFC＝，AB＝，求GE的长．24．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A出发，沿线段AB向终点B匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使点N落在射线PB上，设运动时间为t（单位：s）．（1）如图1，连接BQ，若BQ平分∠ABC，求CQ的长；（2）如图2，若△CMQ是等腰三角形，求t的值；（3）在整个运动过程中，点M的运动路径长是．25．（12分）如图1，在正方形ABCD中，E是DC边上一动点（与C，D不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，作GH⊥AG，交AE的延长线于点H，连接CH．（1）求证：CH平分∠DCM；（2）如图2，过点H作HP∥BC交EG于点P；在点E运动过程中，四边形CHPG能否为菱形？若能，请求出∠DAE的度数；若不能，无需证明．（3）连接CF，若AB＝1，请直接写出CF长度的最小值．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠A+∠C＝110°，∴∠A＝∠C＝55°，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣55°＝125°，故选：A．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AD∥EF，CD∥GH，∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴平行四边形有：▱ABCD，▱ABHG，▱CDGH，▱BCFE，▱ADFE，▱AGOE，▱BEOH，▱OFCH，▱OGDF共9个．即共有9个平行四边形，故选：D．3．解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝2，BD＝4，∴OA＝AC＝1，OB＝BD＝2，∵AB＝，∴AB2+OA2＝OB2，∴△AOB为直角三角形，且∠BAO＝90°，∴BC＝，∵S△ABC＝AC•AB＝BC•AE，∴2×＝AE，解得AE＝．故选：D．4．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC，AB＝CD，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝CO＝BO＝DO，∵AO＝5，∴AO＝CO＝BO＝DO＝5，AC＝10，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝5，由勾股定理得：BC＝＝＝5，∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝5+5+10＝15+5，是无理数，不是有理数，△BOC的周长是BC+BO+co＝5+5+5＝10+5，是无理数，不是有理数，△COD的周长是CD+DO+CO＝5+5+5＝15，是有理数，矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝5+5+5+5＝10+10，是无理数，不是有理数，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝10cm，AD∥BC∴∠ADE＝∠EDC∵DE平分∠ADC∴∠ADE＝∠CDE∴∠DEC＝∠EDC∴CD＝CE＝7cm∴BE＝BC﹣CE＝3cm故选：C．6．解：线段EF与AC交于点O且互相平分，得OA＝OC，OE＝OF，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴∠EAO＝∠FCO，∴AD∥BC，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝6，∴四边形ABCD的周长＝AB+CD+BC+AD＝10+6+6+10＝32；故选：B．7．解：∵▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A错误；∵▱ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，选项B正确；∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项C错误；∵▱ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误．故选：B．8．解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴CD＝AD＝1，AC＝，∠ADC＝∠DAF＝90°，∠ACD＝45°，AB∥CD，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠ADF＝∠DCE，∵∠DCE+∠DEG＝180°﹣∠CDE＝90°，∴∠ADF+∠DEG＝90°，∴∠DGE＝90°，即CE⊥DF，结论①正确；∵CE平分∠ACD，CE⊥DF，∴CH＝DC＝1，∴∠CDH＝∠CHD＝∠AHF，∵AB∥CD，∴∠CDH＝∠AFH，∴∠AFH＝∠AHF，∴AF＝AH，∵AF＝DE，∴DE+DC＝AF+CH＝AH+CH＝AC，结论②正确；∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝AC，在Rr△AFD和Rt△DEC中，，∴Rr△AFD≌Rt△DEC（HL），∴∠AFD＝∠CDF，∵∠AFD＝∠FDC，∴∠DEC＝∠GDC，∴∠DGC＝90°，∵CG是∠ACD的角平分线，∴CD＝CH，∴∠GDC＝∠GHC，∵∠GHC＝∠AHF，∴∠AHF＝∠AFH，∴AH＝AF，∴DF2﹣AF2＝DF2﹣AH2＝AD2＝AB2＝1，故结论③正确；如图，过点P作PM⊥CD于点M，连接HM，∵CE平分∠ACD，PM⊥CD，PQ⊥AC，∴PM＝PQ，∴PH+PQ＝PH+PM，由两点之间线段最短得：当点H，P，M共线时，PH+PM取得最小值HM，由垂线段最短得：当HM⊥CD时，HM取得最小值，此时在Rt△CHM中，HM＝CH•sin∠ACD＝sin45°＝，即PH+PQ的最小值是，结论④正确；综上，所有正确结论的序号是①②③④，故选：D．9．解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5根据折叠的性质可知：AE＝AB＝5∵AC＝4∴CE＝AE﹣AC＝1即CE的长为1故选：A．10．解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝10，∴S△ADE＝20，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝20，∠BFD＝90°，∴•（AF+DF）•BF＝20，∴•（8+DF）•4＝20，∴DF＝2，∴DB＝＝＝2，设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，∴2h＝4×2，∴h＝．故选：C．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．解：作EM∥AB交AF于M，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB∥EM∥CD，∴AM：FM＝BE：CE，∠AEM＝∠BAE＝45°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴AM＝FM，∴EM是梯形ABCF的中位线，∴AB+CF＝2EM，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴EM＝AF＝AM＝FM，∴∠EAF＝∠AEM＝45°，AF＝AB+CF，①②正确；∴△AEF是等腰直角三角形，∴FE＝AE＝4，∴S△AEF＝AE×FE＝×4×4＝8，④正确；∵∠BAF＝∠BAE+∠EAF＝90°，∴AF⊥AB，∵AB∥CD，∴AF⊥CD，当AD＝AC时，CF＝DF，则CD＝2CF，③不正确；故答案为：①②④．12．解：∵点P，D分别是AF，AB的中点，∴PD＝BF＝6，PD∥BF，∴∠ADP＝∠ABC，同理，DQ＝AE＝8，DQ∥AE，∴∠BDQ＝∠BAC，∴∠PDQ＝180°﹣（∠ADP+∠BDQ）＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°，由勾股定理得，PQ＝＝＝10，故答案为：10．13．解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴点O是AC、BD的中点，∵AC+BD＝26厘米，∴OB+0A＝13厘米，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB＝18﹣13＝5（厘米），∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴AB＝2EF，∴EF＝5÷2＝2.5（厘米），故答案为：2.5．14．解：根据题意得：如图③：四边形ABFE是正方形，∴∠AEB＝∠FEB＝45°，如图⑤：∵EG是折痕，∴∠BEG＝DEG，∵∠AEB＝45°，∠AEB+∠BEG+∠DEG＝180°，∴∠DEG＝67.5°，∴∠α＝90°﹣∠DEG＝22.5°．故答案为：22.5°．15．解：如图，连接AC，过点A作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝4，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∴∠BAE+∠EAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACF＝60°，∵∠EAF＝60°，即∠EAC+∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF为等边三角形，∵AB＝AC＝4，AH⊥BC，∴BH＝CH＝2，AH＝BH＝2，∵AE2＝AH2+HE2，∴AE2＝12+（2﹣x）2＝x2﹣4x+16，∴y＝AE2＝x2﹣x+4，故答案为：y＝x2﹣x+4．16．解：在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接EG，EF，作直线FG交AD于T，过点A作AH⊥GF于H．∵∠B＝60°，BE＝BG，∴△BEG是等边三角形，∴EB＝EG，∠BEG＝∠BGE＝60°，∵PE＝PF，∠EPF＝60°，∴△EPF是等边三角形，∴∠PEF＝60°，EF＝EP，∵∠BEG＝∠PEF，∴∠BEP＝∠GEF，∴△BEP≌△GEF（SAS），∴∠EGF＝∠B＝60°，∴∠BGF＝120°，∴点F在射线GF上运动，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，AF的值最小，∵AB＝9，BE＝2AE，∴BE＝6，AE＝3，∵∠BEG＝∠EGF＝60°，∴GT∥AB，∵BG∥AT，∴四边形ABGT是平行四边形，∴AT＝BG＝BE＝6，∠ATH＝∠B＝60°，∴AH＝AT•sin60°＝3，∴AF的最小值为3，解法二：如图．将线段AE绕点E顺时针旋转60°顶点EP′．连接PP′，EF，AP′．可证△AEF≌△P′EP，推出AF＝PP′，求出PP′的最小值，可得结论．故答案为：3．17．解：在正方形ABCD中，AB＝CD＝BC＝AD＝2，∠A＝∠B＝∠D＝90°，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE＝AD＝1，∴CE＝＝＝，由翻折可知：FG＝BF，CG＝BC＝2，∠B＝∠CGF＝∠EGF＝90°，设BF＝GF＝x，∴AF＝AB﹣BF＝2﹣x，EG＝CE﹣CG＝﹣2，∵AF2+AE2＝FG2+EG2，∴（2﹣x）2+12＝x2+（﹣2）2，∴x＝﹣1，∴GF＝﹣1，∴S△CEF＝CE•FG＝×（﹣1）＝．故答案为：，．18．解：由题意得：（20﹣2）×（10﹣1）＝18×9＝162（平方米），∴草地面积是162平方米，故答案为：162．三．解答题（共7小题，满分56分）19．（1）解：如图，∠BCF即为所求；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD．∴∠AEB＝∠EBC．在△ABE与△FCB中，，∴△ABE≌△FCB（ASA）．∴AB＝CF．∴CF＝CD．故答案为：CD，∠EBC，BC，CF．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE，∴∠BEA＝∠DFC，在△BEA和△DFC中，，∴△BEA≌△DFC（AAS），∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）∵△BEA≌△DFC，∴AE＝CF，∵AE＝EF，∴AE＝EF＝CF，∴S△ADE＝S△DEF＝S△CDF＝S△ABE＝S△BEF＝S△BCF＝S△ABC，∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S△ABC，∵S△ABC＝S平行四边形ABCD，∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S△ABC＝×S平行四边形ABCD，∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S平行四边形ABCD，∴图中所有面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形为△ADF，△DCE，△ABF，△BCE．21．解：（1）AM＝EM，AM⊥EM，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴EF∥GB，EF＝BE，AD∥BC，AD＝BA，∴AD∥EF，∴∠ADM＝∠EFM，∵点M是线段DF的中点，∴FM＝DM，又∵∠DMH＝∠EMF，∴△DMH≌△FME（ASA），∴EF＝DH，MH＝EM，∴BE＝DH，∴AH＝AE，又∵∠BAD＝90°，∴△AHE是等腰直角三角形，又∵ME＝MH，∴AM＝ME，AM⊥ME；（2）仍然成立，理由如下：如图2，延长EM交AD的延长线于H，∵四边形ABCD是正方形，∴EF∥GB，EF＝BE，AD∥BC，AD＝BA，∴AD∥EF，∴∠H＝∠MEF，∵点M是线段DF的中点，∴FM＝DM，又∵∠DMH＝∠EMF，∴△DMH≌△FME（ASA），∴EF＝DH，MH＝EM，∴BE＝DH，∴AH＝AE，又∵∠BAD＝90°，∴△AHE是等腰直角三角形，又∵ME＝MH，∴AM＝ME，AM⊥ME；②如图3，当点E在线段AF上时，过点F作FN⊥EM，交ME的延长线于点N，由①可知：AM＝ME，AM⊥ME，∴AE＝EM，∠AEM＝∠EAM＝45°，又∵AE＝＝＝6，∴EM＝3，∵FN⊥EN，∠AEM＝∠FEN＝45°，∴∠EFN＝∠FEN＝45°，∴NE＝NF，EF＝NE＝2，∴NE＝＝NF，∴FM＝＝＝，当点F在AE上时，过点M作MP⊥AE于P，同理可求AE＝6，AM＝ME，AM⊥ME，∵PM⊥AE，∴MP＝AP＝PE＝3，∴PF＝1，∴MF＝＝＝，综上所述：MF＝或．22．（1）解：∵点E，F分别为DC，BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF∥BD，在▱ABCD中，∵DE∥AB，∴四边形BGED是平行四边形，∵BD＝4，BC＝3，∠DBC＝90°，∴CD＝＝5，∴ED＝＝2.5，∴▱BGED的周长＝2×（ED+DB）＝2×（4+2.5）＝13；（2）证明：∵四边形BGED是平行四边形，∴DE⊥BG，∵E是CD中点，∠DBC＝90°，∴CE＝DE＝BE，∴CE＝BG，∴四边形CEBG是平行四边形，又∵CE＝BE，∴四边形CEBG是菱形．23．解：（1）CD＝GF，CD⊥GF，理由如下：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠CAF＝90°﹣∠CAD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠ACF＝∠B＝45°，∴∠ACG＝90°，∴BC⊥CG，∠G＝90°﹣∠B＝45°＝∠B，∴BC＝BG，∴△BCG是等腰直角三角形，∴∠AGF＝45°＝∠ACD，∵AC⊥AB，∴△ACG是等腰直角三角形，AC＝AG，∴CD⊥GF，∵∠CAG＝∠DAF＝90°，∴∠DAC＝∠FAG，在△ACD和△AGF中，，∴△ACD≌△AGF（SAS），∴CD＝GF；（2）（1）中的结论还成立，理由如下：同（1）得：△BCG是等腰直角三角形，∵AC⊥AB，∴△ACG是等腰直角三角形，∠BCG＝90°，AC＝AG，∴CD⊥GF，∵∠CAG＝∠DAF＝90°，∴∠DAC＝∠FAG，在△ACD和△AGF中，，∴△ACD≌△AGF（SAS），∴CD＝GF；（3）由（2）可得BD＝CF，BC＝CG，BC⊥CG，∠AFC＝∠ADB，∵AB＝，∴CG＝BC＝AB＝2，过点A作AM⊥BD于M，如图2所示：∴AM＝BC＝BM＝CM＝1，∵tan∠AFC＝＝tan∠ADB＝，∴DM＝3，∴FG＝CD＝2，AD＝＝＝，过点E作EN⊥FG于N，则∠FEN＝∠AFC＝∠ADM，在△AMD与△FNE中，，∴△AMD≌△FNE（AAS），∴FN＝AM＝1，∴FG＝2FN＝2，∴NE为FG的垂直平分线，∴GE＝FE＝AD＝．24．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴AB＝＝＝10（cm），∵四边形PQMN是正方形，∴∠QPN＝90°，∵QP⊥BA，QC⊥BC，QB平分∠ABC，∴QP＝QC，∵∠A＝∠A，∠APQ＝∠C，∴△APQ∽△ACB，∴＝＝，∵AP＝4t，∴PQ＝3t，AQ＝5t，∴QC＝8﹣5t，∴8﹣5t＝3t，∴t＝1，∴CQ＝3（cm）．（2）①如图2中，当MQ＝MC时，作MF⊥CQ于F．∵QM∥AB，∴∠A＝∠FQM，∴cos∠A＝cos∠FQM，∴＝，∴t＝经检验t＝是分式方程的解．②如图3中，当QC＝QM时，则有8﹣5t＝3t，解得t＝1s．③如图4中．当CQ＝CM时，作CF⊥MQ于F．∵cos∠CQF＝，∴＝，∴t＝，经检验，t＝是分式方程的解，④如图5中，当QC＝QM时，连接AQ，则△AQC≌△AQP，∴AP＝AC，∴4t＝8，∴t＝2，综上所述，当t＝或1或或2时，△MCQ是等腰三角形．（3）如图5﹣1中，当点Q在线段AC上时，过点P作PJ⊥AC于J，过点M作MH⊥AC于H．∵∠PJQ＝∠PQM＝∠QHM＝90°，∴∠PQJ+∠MQH＝90°，∠MQH+∠QMH＝90°，∴∠PQJ＝∠QMH，∵PQ＝Q