空间点线面位置关系

8.2

空间点、线、面的位置关系@高三文科数学一轮复习一、平面的基本性质（平面三公理）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.“线面关系”“确定平面”••ABα••C•BαAαβlp•α点A、B、C不共线A、B、C可以确定一个平面“面面相交”公理2有三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面。推论2：经过两条相交直线，可以确定一个平面。推论3：经过两条平行直线，可以确定一个平面。•αA••BCα•••ABC•••ABCα公理2及其推论主要用于确定平面；证明点线共面二、直线与直线的位置关系1、位置关系：平行

相交

异面αabαab•P共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点αb•Pa“两者必居其一，或三者必居其一”2、平行直线的性质（平面→空间）（1）公理4：（平行线的传递性）（2）等角定理注意区别：平面几何是在同一个平面内，空几是在不同平面内相等或互补3、异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内，没有公共点；既不相交也不平行（2）图形：（平面衬托）（3）判断或论证异面直线（用图形法判断，用反证法论证）（4）异面直线所成的角定义：求法：按定义平移→相交→归面（解三角形求角）

αβ

αabb•abaPab•Pα异面直线所成角的范围：异面直线所成角不可能为零，否则就不异面了三、直线与平面的位置关系直线a在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行αaαaαa•A无数个公共点一个公共点没有公共点注意：直线与平面平行不包含直线在平面内，直线与平面平行和直线在平面内是两种不同的位置关系四、平面与平面的位置关系两平面平行两平面相交αβαβl0个公共点无数个公共点（均在交线l上）——

疑难辨析

——1．平面的基本性质(1)空间中不同三点确定一个平面．()(2)空间中两两相交的三条直线确定一个平面．()(3)一条直线和一个点能确定一个平面．()(4)梯形一定是平面图形．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[解析]

(1)空间中不共线的三点确定一个平面．

(2)空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面．

(3)经过直线和直线外一点确定一个平面．

(4)梯形一定是平面图形显然成立，故正确．

2．空间直线关系(1)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)若a与b相交，b与c相交，则a与c相交．()(4)若a，b与c成等角，则a∥b.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×[解析](1)由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，因为若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.(2)由平行公理知正确．(3)当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故(3)不正确．(4)当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故(4)不正确．例1

(1)[2012·兰州一模]正方体

中，P，Q，R分别是AB，AD，

的中点，那么，正方体的过P，Q，R的截面图形是()

A．三角形

B．四边形

C．五边形

D．六边形(2)如图1，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(

)图1A．点A

B．点B

C．点C但不过点M

D．点C和点M

答案：∴截面为六边形PQFGRE.变式题

(1)不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面；若相交于两点，最多能确定________个平面；若相交于三点，最多能确定________个平面．

(2)如图2所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．