2019年江苏省无锡市中考数学模拟考试试卷（三）（解析版）

2019年江苏省无锡市中考数学模拟试卷（三）

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1.-2的倒数是（）

A.2B.-2C.■—D.1

2~2

2.下列运算正确的是（）

A.2a2+a2=3a4B.(-2“2)3=8“6

C.a3-i-a2=aD.(a-h)2=a2-b1

3.将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果Na=43°,则的度数是（）

4.用一个圆心角为120。，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）

A.1B.2C.3D.6

f2x+7>4x+l

5.若关于x的不等式组/的解集为x<3,则幺的取值范围为（）

x-k<2

A.k>lB.k<\C.k^]D.ZW1

6.若一次函数当x的值减小1,y的值就减小2,则当x的值增加2时，y的值（）

A.增加4B.减小4C.增加2D.减小2

7.如图，在平行四边形ABCC中，E为CO上一点，DE：CE=3：4,连接AE交对角线8。于点F,

贝!ISADEF：S&4OF：等于（）

ZX._____/________yC

二

A.3：4：7B.9：16：49C.9：21：49D.3：7：49

8.已知关于x的一元二次方程x2+2x+a-1=0有两根为阳和12,且X，-可工2=0,则（1的值是（

A.a=\B.Q=1或〃=-2C.a=2D.。=1或〃=2

9.在平面直角坐标系中，已知点P（-2,-3）,点4关于点尸的对称点为B,

在坐标轴上找一点C,使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（）个.

A.5B.6C.7D.8

10.如图，在等边△ABC中，A8=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿E4方向运动，连接PC,

以PD为边,在PD右侧按如图方式作等边△DPF,当点P从点E运动到点A时，点尸运动的路

径长是（）

二.填空题（共8小题）

11.把多项式9x-*3分解因式的结果为.

12.一个正数a的平方根分别是2/n-1和-3/n+-1,则这个正数a为.

13.已知菱形ABCQ的边长为6,ZA=60°,如果点P是菱形内一点，且尸8=尸。=2詹，那么AP

的长为.

14.已知直线y=x-3与y=2r+2的交点为（-5,-8）,则方程组的解是.

l2x-/+2=0

15.如图，点E是。ABC。的边8A延长线上的一点，联结CE交AZ）于尸，交对角线BO于G,若

DF^2AF,那么EF：FG：GC=.

16.如图，在RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,。是BC的中点，将△48。沿40翻折,

点B落在点E处,连接CE,则CE的长为.

BDC

17.如图，在RtZXABC中，NACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△AEC,M是BC的

中点，N是AE的中点，连接MN,若8c=4,NABC=60。，则线段"N的最大值为

18.AB为半圆。的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B,

一条直角边交该半圆于点Q.若A8=6,则线段8Q的长为

三.解答题（共10小题）

19.（1）计算：（1+近）°+（点）1+2*cos30°-V12

,1-2x0

（2）求不等式组|x+1〉的整数解.

1¥<2

⑶化简：（磊啧-舌

（4）解方程：-^--4^=1

x-22-x

20.如图，在四边形ABCQ中，AB=DC,E、F分别是A。、BC的中点，G、”分别是对角线3D、

AC的中点.

（1）求证：四边形EGFH是菱形；

（2）若48=1,则当NABC+NOC8=90°时，求四边形EGF”的面积.

21.如图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每

个小正方形的顶点叫做格点.

(1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上，且/MON=90°：

(2)在图2中以格点为顶点画出一个正方形A8CD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角

三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角和一个

正方形，且正方形ABCD面积没有剩余(画出一种即可).

22.已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球.

(1)求从袋中随机摸出一个球是红球的概率.

(2)从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰

好颜色不同的概率.

(3)若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球.搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个

球，颜色是一白一黄的概率为半，求袋中有几个红球被换成了黄球.

23.已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE,连结AE交射线DC于点F,

将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点当处.

(1)如图1,若点E在线段8c上，求C尸的长；

(2)求sinNZMBi的值.

24.某地质公园为了方便游客，计划修建一条栈道BC连接两条进入观景台OA的栈道AC和OB,

其中ACLBC,同时为减少对地质地貌的破坏，设立一个圆形保护区。例(如图所示),历是OA

上一点，与BC相切，观景台的两端4、。到OM上任意一点的距离均不小于80米.经测量,

d

04=60米，03=170米，tan—.

3

(1)求栈道8c的长度；

(2)当点M位于何处时，可以使该圆形保护区的面积最大？

•AMOJx

"•..y

25.已知：如图1,在平面直角坐标系中点A(2,0).B(0,1),以AB为顶点在第一象限内作

正方形ABC。.反比例函数月=&-(x>0)、y2—^~(x>0)分别经过C、。两点.

XX

(1)求点C的坐标并直接写出舟、心的值；

(2)如图2,过C、。两点分别作x、y轴的平行线得矩形CEQF,现将点。沿为=丝(、>。)

X

的图象向右运动，矩形CED/随之平移；

①试求当点E落在“=旦(x>0)的图象上时点。的坐标；

X

②设平移后点。的横坐标为小矩形的边CE与力=±L(x>0),>=丝(》>0)的图象均无

xx

公共点，请直接写出a的取值范围.

26.已知如图1,RtZ\ABC中，ZBCA=90°,A=30°,BC=2cm,射线CK平分/BCA,点。从

C出发，以6在/秒的速度沿射线CK运动，在运动过程中，过。作OOLAC,交AC边于D,

当。到4时，点。停止运动，以。为圆心，。。为半径画圆。.

(1)经过秒，。。过点A,经过秒。。与AB边相切；

(2)求经过几秒钟，点。运动到AB边上；

(3)如图2,当。。在RtZ\ABC内部时，在。出发的同一时刻，若有一点P从8出发，沿线段

BC以0.5cm/秒的速度向点C运动，过P作PQ〃/IB,交CD于。，问经过几秒时，线段PQ与。。

相切？

27.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、0c分别在x轴、y轴的正半轴上，。4=

8,。。=4.点P从点。出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点

A时停止运动，设点P运动的时间是♦秒.将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点

D,点£＞随点P的运动而运动，连接OP、DA.

(1)填空：当/=时，点。恰好落在A8上，即△OPA成为直角三角形；

(2)若以点。为圆心，QP为半径的圆与CB相切，求，的值；

(3)在点P从。向A运动的过程中，△QPA能否成为等腰三角形？若能，求,的值；若不能,

请说明理由；

(4)填空：在点P从点。向点A运动的过程中，点D运动路线的长为

备用图

28.如图，经过原点的抛物线y=-f+2〃a与x轴的另一个交点为A.点P在一次函数y=2x-2m

的图象上，轴于H,直线AP交y轴于点C,点尸的横坐标为1.(点C不与点O重合)

(1)如图1,当m=-l时，求点P的坐标.

如图2,当时，问〃［为何值时崇=2?

(2)

是否存在如使墨=2?若存在，求出所有满足要求的，〃的值，并定出相对应的点P坐标;

(3)

若不存在，请说明理由.

2019年江苏省无锡市中考数学模拟试卷（三）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1.【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数.

【解答】解：•••-2X（4）=1,

-2的倒数是-1

2

故选：D.

【点评】主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互

为倒数，属于基础题.

2.【分析】根据合并同类项，积的乘方等于乘方的积，同底数嘉的除法，完全平方公式，可得答案.

【解答】解：人系数相加字母及指数不变，故A不符合题意；

8、积的乘方等于乘方的积，故8不符合题意；

C、同底数基的除法底数不变指数相减，故C符合题意；

D、（iz-Z?）2=a2-2ah+h2,故£>不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了同底数嘉的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键.

3.【分析】如图，延长3c交刻度尺的一边于。点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角

与所求角转化到RtaCDE中，利用内角和定理求解.

【解答】解：如图，延长交刻度尺的一边于。点，

：.Z^=ZEDCf

又NCED=Na=43°,

ZECD=90Q,

.\Zp=ZEDC=90o-ZCED=90°-43°=47°,

故选:B.

【点评】本题考查了平行线的性质.关键是延长BC,构造两条平行线之间的截线，将问题转化

到直角三角形中求解.

4.【分析】易得扇形的弧长，除以27T即为圆锥的底面半径.

【解答】解：扇形的弧长=空空»=4皿，

180

，圆锥的底面半径为4TT4-2-IT=2.

故选：B.

【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长.

5.【分析】不等式整理后，由已知解集确定出Z的范围即可.

'x<3

【解答】解：不等式整理得：),

x<k+2

由不等式组的解集为x<3,

得到k的范围是

故选：C.

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

6.【分析】此题只需根据已知条件分析得到/的值，即可求解.

【解答】解：•••当x的值减小1,y的值就减小2,

-2=k(x-1)+b=kx-k+b,

y=kx-k+b+2.又y=kx+b,

-k+b+2=b,即-攵+2=0,

：.k=2.

当x的值增加2时，

；・y=(x+2)k+b=kx+/2k=kx+b+4,

当x的值增加2时，y的值增加4.

故选：A.

【点评】此题主要是能够根据已知条件正确分析得到k的值.

7.【分析】根据平行四边形的性质得到43=8,AB//CD,根据已知条件得到。氏CD=3：7,

根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【解答】解：・・•四边形A3CQ是平行四边形，

:.AB=CD,AB//CD,

VDE：CE=3：4,

：.DE：CD=3：7,

：.DE：AB=3：7,

.EF_」E_3

**AF^AB-Y5

3)2_9

S^DEF-S&ADF：=3:7,S&DEF：S\ABF=7)"49

:,SADEF：S^DF：SAABF等于9：21：49,

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定

和性质是解题的关键.

8.【分析】根据肛2-修尤2=0可以求得看=。或者与=X2,所以①把町=0代入原方程可以求得。

=1:②利用根的判别式等于0来求〃的值.

【解答】解：解X|2-X|X2=0,得

X|=0,或X|=X2，

①把町=0代入已知方程，得

a-1=0,

解得：4=1;

②当修=无2时，Z\=4-4(Q-1)=0,即8-4。=0,

解得：a=2.

综上所述，。=1或。=2.

故选：D.

【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义.解答该题的技巧性在于巧妙地

利用了根的判别式等于0来求。的另一值.

9.【分析】首先画出坐标系，然后再确定A、B、P的位置，以P为圆心，A8为直径画圆，与坐标

轴有3个交点，再以B为直角顶点AB为直角边，可确定2个C点位置，再以A为直角顶点，AB

为直角边，可确定2个C点位置，共确定7个C的位置.

【解答】解：如图所示：

故选：C.

【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是要分情况讨论，分别以A、3为直角顶点,

再以AB为直径画圆可得C的位置.

10.【分析】连结。E,作F，_L8C于4,如图，根据等边三角形的性质得NB=60°,过。点作

DE'LAB,则BE'=如。=2,则点E'与点E重合，所以NB£>E=30°,。《=仃虹=2我,

接着证明△QPEgZxFC”得到尸”=。£=2)5,于是可判断点F运动的路径为一条线段，此线段

到BC的距离为2我，当点P在£点时，作等边三角形。EF],则O%_LBC,当点。在4点时，

作等边三角形OAF2,作尸于Q,则△OFzQg^AQE，所以OQ=AE=8,所以吊尸2=。。

=8,于是得到当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8.

【解答】解：连结OE,作FHLBC于H,如图，

•••△4BC为等边三角形，

.\ZB=60°,

过。点作QE，则=畀。=2,

...点E'与点E重合，

:.NBDE=30°,DE=yf^E=2M，

•.♦△QPF为等边三角形，

；.NPDF=60°,DP=DF,

NEDP+NHDF=90°

■:NHDF+NDFH=90°,

NEDP=/DFH,

在△。尸E和△ED”中，

fZPED=ZDHF

-NEDP=NDFH，

,DP=FD

：./\DPE经AFDH,

:.FH=DE=20

...点P从点E运动到点A时，点/运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2如,

当点P在E点时，作等边三角形OEFi，ZBDF\=30°+60°=90°,则。Q_LBC,

当点P在A点时，作等边三角形DAF2,作F2QVBC于Q,则△O&Q之△相＞£,所以。。=4后

=10-2=8,

.•.尸1&=。2=8,

当点P从点E运动到点4时，点尸运动的路径长为8.

故选：A.

【点评】本题考查了轨迹：点运动的路径叫点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规

律.也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质.

二.填空题(共8小题)

11.【分析】原式提取-x,再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=-x(x2-9)—~x(x+3)(x-3),

故答案为：-x(x+3)(x-3)

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关犍.

12.【分析】直接利用平方根的定义得出2机-1+(-3zn+-|)=0,进而求出机的值，即可得出答

案.

【解答】解：根据题意，得：2m-1+(-3/%+擀)=0,

解得：m=^

・,・正数a=(2X—-1)2=%

2

故答案为：4.

【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键.

13.【分析】根据题意得，应分产与A在80的同侧与异侧两种情况进行讨论.

【解答】解：当P与4在的异侧时：连接AP交BO于M,

DP=BP,

：.APLBD(到线段两端距离相等的点在垂直平分线上)，

在直角中，NBAM=30°,

：.AM=AB-cos30°=3炳，8M=AB・sin30°=3,

•,•™=VPB2-BM2=V3>

：.AP=AM+PM^4-/j；

当P与A在3。的同侧时：连接AP并延长AP交B。于点M

AP=AM-PM=2我；

当P与M重合时，PD=PB=3,与PB=PD=2相矛盾，舍去.

AP的长为4或2M.

故答案为4y或2a.

【点评】本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP_L8。，这是解决本题

的关键.

14.【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解.因此点P的横坐标与纵坐

x=-5

标的值均符合方程组中两个方程的要求，因此方程组的解应该是4

y=-8

【解答】解：直线y=x-3与y-2x+2的交点为(-5,-8),即x=-5,y=-8满足两个解析

式，

贝i二'是，=x-3即方程组卜力-3=0的解.

ly=-8ly=2x+2(2x-y+2=0

因此方程组［x"-3=°的解是尸=-5

I2x-y+2=0ly=-8

【点评】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值

也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.

15.【分析】设4F=x,则。f=2x,由四边形A8CD是平行四边形得BC=AD=4尸+。尸=3x,AD

//BC,证△OFGS^GBC、AAEF^ADFC,从而得出答案.

【解答】解：设AF=x,则£>F=2x,

'：^>ABCD,

：.EB//CD,AD//BC,AD=BC^AF+DF^3x

:.△AEFSDCF,△OFGS/^GBC,

.EF_AF_1DF_EG=2x_2

•♦而声法BC~GC

：.EF：FG：GC=5：4：6,

故答案为：5：4：6.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判

定和性质是解题的关键.

16.【分析】连接8E交AQ于。，作AHJ_8c于H.首先证明AO垂直平分线段BE,△BCE是直

角三角形，求出BC、BE,在RtZ^BCE中，利用勾股定理即可解决问题.

【解答】解：如图所示：连接8£交人。于。，作A”J_BC于凡

在Rt^ABC中，：AC=4,AB=3,

42+32=5,

,:CD=DB,

5

：.AD=DC=DB=—,

2

"：—'BC'AH=—'AB>AC,

22

5

•：AE^AB,

...点A在BE的垂直平分线上，

,:DE=DB=DC,

...点。在BE使得垂直平分线上，△8CE是直角三角形,

垂直平分线段BE,

'：—'AD'BO=—'BD'AH,

22

19

0B=—

5

94

；.BE=20B=与,

5

在中，2=

RtZ\BCECE=A/BC2_BE2=^52_(^.)工

5’

【点评】本题考查了翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是

学会利用面积法求高，属于中考常考题型.

17.【分析】连接CN.根据直角三角形斜边中线的性质求出CN=/A'B'=4,利用三角形的三

边关系即可解决问题.

【解答】解：连接CM

在RlZXABC中，VZACB=90°,BC=4NB=60°,

AZA=30°,

：.AB=ArB'=28C=8,

•:NB'=NA‘,

B'=4,

2

,:CM=BM=2,

：.MNWCN+CM=6,

的最大值为6,

故答案为6.

【点评】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

18.【分析】连接AQ,BQ,根据圆周角定理可得出NQA8=NP=45°,NAQB=90°,故448。

是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论.

【解答】解：连接AQ,BQ,

：/尸=45°,

二NQ48=/P=45°,NAQ8=90°,

.••△48。是等腰直角三角形.

：4B=6,

.•.28。2=36,

:.BQ=3瓜

故答案为：

A037

【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

三.解答题（共10小题）

19.【分析】（I）根据零指数幕，负整数指数第，特殊角的三角函数值，算术平方根分别求出每一

部分的值，再算加减即可；

（2）先求出不等式组的解集，再求出整数解即可；

（3）先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可；

（4）把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可.

【解答】解：（1）原式=l+2+2X与-2畲

=3-遥;

(l-2x<3①

(2)x+1/

竿<2②

LJ

•••解不等式①得：x>-b

解不等式②得：X<5,

.•.不等式组的解集为-1<XV5,

二不等式组的整数解是0,1,2,3,4；

(3)原式二组工

x+2x

一2x一(x+2)(x-2)

x+2x

—2(x-2)

—2x-4；

(4)原方程化为：--：-1+1j=

方程两边都乘以x-2得：3+1-x=x-2,

解得：x—3,

检验：当x=3时，x-2W0,

所以x=3是原方程的解，

即原方程的解为：x=3.

【点评】本题考查了解分式方程，分式的混合运算，零指数幕，负整数指数基，特殊角的三角函

数值，算术平方根，解一元一次不等式组和不等式组的整数解等知识点，能灵活运用知识点进行

计算和化简是解此题的关键.

20.【分析】(1)利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGF”的四边相等，即可证得；

(2)根据平行线的性质可以证得NGF〃=90°,得到菱形EGF”是正方形，利用三角形的中位

线定理求得GE的长，则正方形的面积可以求得.

【解答】(1)证明：；四边形ABCQ中，E、F、G、H分别是A。、BC、BD、AC的中点，

：.FG=^CDfHE=^CD9FH=^ABfGE=^-AB.

9：AB=CD,

:.FG=FH=HE=EG.

，四边形EGF/7是菱形.

(2)解：•..四边形ABCD中，G、F、H分别是80、BC、AC的中点,

：.GF//DC,HF//AB.

：.NGFB=ZDCB,4HFC=ZABC.

：.ZHFC+ZGFB=ZABC+ZDCB=90°.

：.ZGFH=90°.

...菱形EGF”是正方形.

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定以及正方形的判定，理解三角形的中位线

定理是关键.

21.【分析】（1）过点。向线段0仞作垂线，此直线与格点的交点为N,连接即可;

（2）根据勾股定理画出图形即可.

【解答】解：（1）如图1所示：NMON=90°；

（2）如图2、3所示;

【点评】本题考查的是作图-应用与设计作图，熟知勾股定理是解答此题的关键.

22.【分析】（1）直接利用概率公式计算可得：

（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得;

（3）设有x个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为年列出关于x的方程，解之可得.

【解答】解：（1）：袋中共有7个小球，其中红球有5个，

.♦.从袋中随机摸出一个球是红球的概率为半；

（2）列表如下:

白白红红红红红

白（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）

白（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）

红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）

红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）

红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）

红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）

红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）

由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果,

两次摸出的球恰好颜色不同的概率为丝;

49

（3）设有x个红球被换成了黄球.

根据题意，得：空”乌，

427

解得：x=3,

即袋中有3个红球被换成了黄球.

【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.【分析】(1)利用平行线性质以及线段比求出CF的值；

(2)根据平行线分线段成比例定理得到黑=理，根据勾股定理和三角函数的定义即可得到结

CEFC

论.

【解答】解：(1),JAB//DF,

.AB_BE

•年―记

•:BE=2CE,AB=3f

.3_2CE

"CF-"CT,

3

：.CF=—；

2

(2)若点E在边3c上，延长A3]交。。于“，NBAE=NB[AE=NDFE,

:・AH=FH,AE=^32+22=V13J

EF=CE=1

AE-BE-T

设DH=x,CH=3-x,

VCF=1,5,

9

：.AH=FH=--x,

2

122

\'AD+DH=AHf

.\32+?=(--x)2,

2

.一5

"X~T

：.DH=—,AH=—,

44

若点E在边BC的延长线上，如图，设直线ABI与CD延长线相交于点N

同理可得：AN=NF.

,:BE=2CE,

：.BC=CE=-AD.

'：AD//BE,

.AD_DF

•♦瓦一而‘

3

DF=FC=±,

2

设ON=x,则4V=NF=x+±.

2

在RtZ\4Z)N中，AD2+DNi=AN2,

A32+?=(x+—)2,

2

...x——9.

4

q1R

：.DN=—,AN=—,

44

旷

【点评】本题考查正方形的性质，线段比以及勾股定理等相关知识的综合运用，注意两种情况的

分析探讨.

24.【分析】(1)过C点作CELOB于E,过A作AFLCE于尸，设出AF,然后通过解直角三角

形求得CE,进一步得到BE,然后由勾股定理得出答案；

(2)设8c与OM相切于。，延长交直线8。于P,设。M=x,把尸从PQ用含有x的代数

式不是，再结合观景台的两端4、。到。”上任意一点的距离均不小于80米列式求得x的范围，

得到X取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大.

【解答】解：（1）如图1,过。点作CEJ_05于£,过A作AFLCE于F,

VZACB=90°ZBEC=90°,

・•・ZACF=ZCBEf

4

tanZACF=tanZOBC=—,

3

设A尸=4x,则CF=3x,

VZAOE=ZAFE=ZOEF=W°，

：.0E=AF=4xfEF=OA=60f

：.CE=3x+60,

4

VtanZOBC=—.

3

3q

・・・BE=^-CE=—x^45,

44

9

・•・OB=OE+BE=4x+—x+45,

4

9

・・・4x+m+45=170,

4

解得：x=20,

ACE=120（米）,BE=90（米）,

=2

ABCVBE+CE2=150（米）・

（2）如图2,设3C与OM相切于Q,延长QM交直线30于P,

9：ZPOM=ZPQB=90°,

:・/PMO=/CBO,

4

：.tanZOBC=—.

3

4

AtanZPA/O=—.

3

dR

设OM=x,则OP=—x,PM=—x

33f

4

：.PB=—x+UO,

3

在RTZXPQB中，tan/PBQ=^=❷

BQ3

.PQ_1

PB5

：-PQ=—4(-4Av+170)=—16+136,

5315

设OM的半径为/?,

,'.R=MQ--^-x+\36-2=136-—x,

1535

「A、O到(DM上任意一点的距离均不小于80米,

.•.R-AM280,R-OM280,

.•.1363-4-(60-%)280,3136-2r-x280,

55

解得：10WxW35,

/.当且仅当x=10时R取最大值，

米时，保护区的面积最大.

【点评】本题考查了圆的切线，考查了直线和圆的位置关系，解题的关键在于对题意的理解.

25.【分析】(1)如图1中，作。轴于利用全等三角形的性质求出点。坐标，点C坐标

即可解决问题；

(2)①设平移后点力坐标为(处—),则E5-2,—),由题意：5-2)•旦=3,解方

ininm

程即可；

②设平移后点。坐标为(而，6)，则C(m-2,2+1),当点C在尸旦上时，(加-2)(J1)

ininxin

=6,解得加=1+JF或1-S京（舍弃），观察图象可得结论;

【解答】解：（1）如图1中，作£>MJ_式轴于M.

・・,四边形"CD是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=90°,

VZAOB=ZAMD=90°,

二.NOA8+N。8A=90°，NOA8+NZMM=90°,

ZABO=ZDAM,

：./\OAB^AMDA(A4S),

：.AM=OB=lfDM=OA=2,

：.D(3,2),

,,k9,

・二点。在y=_4上，

x

••3==6，

同法可得C(1,3),

•.•点C在y='L上，

X

.•.南=3.

（2）①设平移后点。坐标为（机，—）,则E（m-2,—）,

min

由题意：（zn-意•旦=3,

10

解得m=4,

3

：.D（4,—）.

2

②设平移后点。坐标为（相，-）,则COn-2,2+1）,

mm

当点C在y=旦上时，（m-2）（aH）=6,

XID

解得〃?=1+JF或1--s/13（舍弃），

kk

观察图象可知：矩形的边CE与乃=_L（x>0）,（x>0）的图象均无公共点，

XX

则〃的取值范围为：4<«<1+^/13，

【点评】本题考查反比例函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解

决问题，属于中考压轴题.

26.【分析】（1）①根据题意画出图形，证明△C。。是等腰直角三角形，求出C。的长度，再除

以运动速度即可；

②根据题意画出图形，证明四边形HC。。是正方形，设。。半径为广，根据切线长定理列出关于

r的等量关系，即可求出r的值，进一步坟出CO的长度及运动时间；

（2）根据题意画出图形，在等腰Rt^OCQ及直角三角形OOQ中通过三角函数即可求出OC的

长度，然后求出运动时间；

（3）设运动时间为f,将线段8P,CP,DQ,2P等线段分别用含f的代数式表示，再通过三角

函数及切线长定理构造等量关系，即可求出f的值.

【解答】解：（1）①如图1,

VZJ5CA=90°,射线CK平分N8CA,

.,.ZOCD=45°,

又；OO_LAC,

.•.△C。。是等腰直角三角形,

OC=7^4C,

在RlAABC中，

A=30°,BC=2,48=4,

：.AC=2yfs>

：.OC=©C=2瓜

•嚏二2辰

经过2/舜少，。。过点A；

②如图2,当。。与AB边相切于点N时,

过点。作OH,8c于点”，

：0K是NBCA的平分线，OE>_LAC,

/.OH=OD,

：.BC,AC均与0。相切，

NOHC=NHCD=NCDO=90°,

四边形“CDO是矩形，

又

二矩形HCQO是正方形，

设OH=HC=CD=OD=r,

：.BH=BN=2-r,AZ)=AN=2炳-r,

(2-r)+-r)=4,

解得，「=依-1,

；OC=&r,

经过«-1)秒OO与AB边相切；

(2)如图3,当点O运动到4B边上时,

由（1）知，ZXC。。是等腰直角三角形，OO=CO=r,

在Rt/\ODA中，

VZA=30°,

'•AD=\J"^,OD—,

：.什口=2后

；.r=3-73，

'：CO=yp2T，

经过（3-e）秒，点。运动到AB边上；

D图3”

(3)如图4,设点。运动时间为f秒时,线段尸。与。。相切,

则CO=-/2f,HC=CD=t,

'：PQ,PC,C。都是OO的切线，

3

：.PH=PN=2-—t,

2

在RtZ\PCQ中，

NPQC=NA=30°,

%

•,•℃=轿0=仃(2-/)=2后y---1，

2

QN=QD=2y[z-冬7,

:.PQ=PN+NQ=2y/^2---1/,

'：PQ=2PC,

，2后2-亨爷=2(2*

812

解得，/=^~

3

【点评】本题考查「锐角三角函数，切线长定理等，解题的关键是能够根据题意画出图形.

27.【分析】（1）根据题意证明△COPs^PA。，利用相似三角形的性质，求出f；

（2）利用圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆相切，过点。作。轴，垂足为E,延

长ED交CB于F,根据QF=QP,列出方程，求出?；

（3）分三种情况进行讨论，求出*

（4）根据点P在点。时，点。的位置和点P在点A时，点。的位置，求出两点间的距离即可.

图1

VZCOP=90°,ZCPD=90°,ZPAD=90°,

：.ACOP^APAD,

CPrn

...匕=半pc=2PD,OC=4

PDPA

：.PA=2,

2f+2=8,

解得f=3；

（2）如图2,过点。作。ELv轴，垂足为E,延长EC交CB于F,则£>FJ_C8,F为切点

图2

则△PE/".”，

.PE_DE

,,OC-PO'

：.PE=2,DE=t,

,:DF=DP即力产=。户,

得出』+2?=(4-f)2,

(3)△OPA是等腰三角形，有下列3种