数列的概念（导学案）（原卷版）高二数学（人教A版2019选择性）

4.1.1数列的概念导学案学习目标1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．重点难点重点：数列的有关概念与数列的表示方法、数列的通项公式.难点：数列的函数特征，用数列的前n项和与通项的关系求通项公式课前预习自主梳理知识点一数列及其有关概念1．一般地，我们把按照排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第项，用a2表示……，第个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做．2.数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为．思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？答案不是．顺序不一样．知识点二数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数的数列无穷数列项数的数列知识点三函数与数列的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第n项，记为an＝f(n)．知识点四数列的单调性递增数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列常数列各项都的数列知识点五通项公式1．如果数列{an}的第n项an与它的之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的．2．通项公式就是数列的，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．思考既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？答案还可以用列表法、图象法．自主检测1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．1,1,1,1是一个数列．()数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．()如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．()an与{an}表达不同的含义．()数列中的项互换次序后还是原来的数列．()所有的数列可分为递增数列和递减数列两类．(){an}与an的意义一样，都表示数列．()2.设数列满足，则（

）A．0 B．4 C．5 D．83.在数列中，，，则（

）A． B． C． D．4.数列的项数为（

）A． B． C． D．5.已知数列、、、、，那么在此数列中的项数是（

）A． B． C． D．新课导学学习探究环节一创设情境，引入课题 (一)章引言的教学引导语：这一阶段我们将学习一个新的内容——数列，请大家跟随老师的问题来了解数列的内容与学习方法.在生活中，常有按顺序记录数据来研究事物变化规律的事例.例如，一棵树在某一时刻的高度为2m,如果在每年的同一时刻都记录下这棵树的高度，并按时间的先后顺序排列起来，就得到一列数.通过对记录下来的这列数的分析，可以研究树的生长规律.将某个学生某一学科的历次考试成绩按考试时间顺序逐个记录，据此可研究该学生这科成绩的变化情况.问题1：你能举出几个类似的用按顺序排成一列的数来研究变化规律的事例吗？问题2：对数列的研究，既有实际需求，也有数学本身的需求.章头图沙滩上的图形，显示了古希腊毕达哥拉斯学派用小石子摆出的三角形数、正方形数和五边形数.你能分别将表示三角形数、正方形数和五边形数的点数按顺序排成一列写下来吗？你能用一个式子表示这些数吗？问题3：上述树的高度、小石子的个数问题是否能用函数关系来刻画？为什么？对数列的研究源于现实生产、生活的需要．例如，一棵树在某一时刻的高度是2m，如果在每年的同一时刻都记录下这棵树的高度，并按先后顺序排列起来，就得到一列数．人们常用这样的一列数有序地表达一类事物，或者记录一个过程．像这样按照确定的顺序排列的一列数称为数列．如果用正整数表示事物发展过程的先后顺序，并且把这样的正整数看作自变量的取值，把事物的对应数值看作相应的函数值，那么数列就是定义在正整数集（或正整数集的有限子集）上的一类离散函数．数列无论在理论研究还是在实际应用中都非常重要．环节二观察分析，感知概念先看教科书上的两个例子：在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象．例如：1．王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高．将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．①记王芳第岁时的身高为，那么，，，．我们发现，中的反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第17位的数，它们之间不能交换位置．所以，①是具有确定顺序的一列数．2．在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数①：①把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示．5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240．②问题4：根据上述两个例子回答下列问题：（1）例（1）中的第3,8个数的实际意义是什么？（2）例（2）中哪一天的月亮可见部分数为128?（3）按顺序排列实际上确定了怎样的一种关系？问题5：我们能否引入一个符号，表示上述问题中的数？记第天月亮可见部分的数为，那么，，…，．这里，中的反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第位的数，它们之间不能交换位置．所以，②也是具有确定顺序的一列数．追问1:的值分别是多少?追问2:怎样用符号来表示例（2）中这列数中的每一个数?追问3:按这样的表述,的实际意义是什么?问题6:我们再来看下面一个例子:3．的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：③思考你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？问题7:上面三个例子的共同特征是什么?环节三抽象概括，形成概念一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列(sequenceofnumber)，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示．其中第1项也叫做首项．①是按年龄从小到大的顺序排列的，②是按每月的日期从小到大的顺序排列的，③是按幂指数从小到大的顺序排列的，它们都是从第1项开始的．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．数列的一般形式是，，…，，…，简记为．问题8:若将上面的次幂所得的数列记作,则的值各为多少?由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系：所以数列是从正整数集(或它的有限子集)到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…，就是数列．另一方面，对于函数，如果有意义，那么，，…，，…，构成了一个数列．以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．环节四辨析理解，深化概念问题9:我们已经归纳出了数列的概念,从给出的具体例子中你能发现数列与函数的联系吗?你能从函数的角度解释一下这三个数列的特点吗?例如,它们是不是函数?如果是,那么它们的对应关系、定义域分别是什么?与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示．例如，数列①可以表示为表．表n1234567891011121314151617758796103110116120128138145153158160162163165168它的图象如图所示．问题10:一般地,数列能否看作是一个函数?如果能,数列的定义域又有怎样的特点?从表和图中，你能发现数列①中的项随序号的变化呈现出的特点吗？问题11:分别写出一个递减的无穷数列和一个递增的有穷数列的通项公式.与函数类似，我们可以定义数列的单调性．从第２项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第２项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．特别地，各项都相等的数列叫做常数列．如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．例如，数列③的通项公式为．显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项．环节五概念应用，巩固内化例1根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．（1）；（2）．例2根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：（1）；（2）．练习:教科书第5页练习第4题.环节六归纳总结,反思提升问题12:回顾章引言,概述本章的主要内容.问题13:回顾数列的概念及其表示方法的学习过程,说说其中运用了怎样的思想方法.环节七