安徽省芜湖市安徽师大附中2023-2024学年高二下学期3月测试数学试题

安徽师范大学附属中学20232024学年第二学期测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数的单调性、一元二次不等式的解法，结合并集的定义进行求解即可.【详解】由，由，所以，故选：C2.在等差数列中，若，则公差A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】把用表示出来，根据题目条件列出方程组，即可求得本题答案.【详解】在等差数列中，因为，所以，求得.故选：B【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用，属于基础题.3.已知不重合的直线和平面，，，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】a⊥b可得两平面的法向量垂直，则两平面垂直α⊥β，平面垂直α⊥β可得两平面的法向量垂直a⊥b，故选C．4.已知数据，，…，的平均数和方差分别为4，10，那么数据，，…，的平均数和方差分别为（）A.， B.1， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】利用平均数与方差的运算性质求解即可．【详解】设数据，，…，的平均数和方差分别为和，则数据，，…，的平均数为，方差为，得，，故选：D．5.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律求出，在根据向量在向量上的投影向量为计算可得.【详解】因为，且，所以，即，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由和差角公式可得，从而得解.【详解】，所以，则故选：B7.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1，参考数据：）A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9【答案】B【解析】【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，得，，则，则给氧时间至少还需要小时故选：B8.已知定义在R上的连续可导函数及其导函数满足恒成立，且时，则下列式子不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用的单调性可得结果.【详解】设，因为，又，所以，即在R上为增函数，选项A：因为，即，化简得，故A成立；选项B：因为，即，化简得，故B成立；选项C：因为，即，化简得，故C成立；选项D：因为，即，化简得，而故D不一定成立；故选：D.【点睛】本题关键是构造函数，利用函数的单调性判断结果.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.给定数集，，满足方程，下列对应关系为函数的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，利用函数的定义，结合指数函数、对数函数的性质逐项判断即得.【详解】对于A，，，均有唯一确定，符合函数定义，A正确；对于B，，，均有唯一确定，符合函数定义，B正确；对于C，，取，，不符合函数定义，C错误；对于D，，，均有唯一确定，符合函数定义，D正确.故选：ABD10.已知为复数，设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出，，三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.【详解】设，，，，，，对于A，，故选项A正确；对于B，，，故选项B正确；对于C，，当时，，故选项C错误；对于D，，可以为零，也可以不为零，所以不一定平行于，故选项D错误.故选:AB.11.设定义在R上的可导函数和满足，，为奇函数，且.则下列选项中正确的有（

）A.为偶函数B.为周期函数C.存在最大值且最大值D.【答案】AD【解析】【分析】A选项，两边求导得到，故，故A正确；B选项，构造，求导得到，从而构造，求导得到，求出，，结合函数奇偶性和方程思想得到，，，，从而，B错误；C选项，利用基本不等式求出最小值为，D选项，计算出.【详解】A选项，由为奇函数，即，对方程两边同时求导，根据求导法则，得，即，从而为偶函数，所以A正确.B选项，由题意知，构造函数，，根据求导法则，得，即，于是，构造函数，，根据求导法则，得.从而，，即，，其中为待定常数.由为奇函数，得.再由，得，又，即，从而，.另由为奇函数，为偶函数知，，与联立，解得，，，.由于当时，，故不是周期函数，所以B不正确；C选项，由基本不等式知，，其中当且仅当时等号成立，即存在最小值且最小值为，所以C不正确；D选项，，D正确.故选：AD【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若，则构造，若，则构造，若，则构造，若，则构造.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12已知，则______．【答案】2【解析】【分析】利用基本初等函数的求导公式及加法运算法则计算即可.【详解】由，所以.故答案为：213.已知，，，若在圆（）上存在点满足，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】设，求出点的轨迹为，从而转化为两圆有公共点，利用圆与圆的位置关系从而可求解.【详解】设，将坐标代入式子，可得，即，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.依题意，两圆有公共点，则，解得.故答案为：.14.已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先得到圆心在上，半径为，故的最小值等于的最小值减去半径，由反函数可知，的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，求导得到在点处的切线与平行，求出到的距离最小值，得到答案.【详解】由题意得，即圆心在上，半径为，故的最小值等于的最小值减去半径，设，由于与关于对称，的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，由，可得，令，解得，故在点处的切线与平行，此时到的距离最小，最小值为，故的最小值为，则的最小值等于.故答案为：【点睛】方法点睛：两曲线上点的距离最值问题，处理思路如下：①设出两点的坐标，利用两点间距离公式表达出距离，结合基本不等式或求导，得到函数最值；②利用几何关系，找到取最小距离的位置或点的坐标，进行求解.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在区间上的最值．【答案】（1）答案见解析（2）最小值为，最大值为【解析】【分析】（1）根据条件得到，分，和三种情况讨论导函数的符号，即可得出结论；（2）求出函数的导函数，根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可求得函数在区间上的最值.【小问1详解】因为，所以，①当时，恒成立，此时在R上单调递增；②当时，由，解得或，由，得到，此时在，上单调递增，在上单调递减；③当时，由，解得或，由，得到，此时在，上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】当时，，则，由，得到或，所以在上单调递减，在上单调递增．又，，，所以当时，函数在上的最小值为0，最大值为5．16.已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求和的标准方程；（2）若和交于不同的两点，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）通过观察可得点在抛物线上，点在椭圆上，代入点的方程求解即可；（2）将和联立，求出交点横坐标，然后利用数量积的坐标运算求解.【小问1详解】设抛物线的标准方程为，则，结合表格数据，因为，所以点在抛物线上，且，解得，所以抛物线的标准方程为.将点代入椭圆的标准方程中，得，解得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】根据对称性，可设两点坐标分别为，联立方程组，消得，解得，，因，所以.所以.17.如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，.（1）求证：平面平面；（2）点为棱的中点，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可证平面，根据判定定理可证平面平面；（2）以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求线面角的正弦值.【小问1详解】证明：如图，取的中点，连接，∵为正三角形，，∴且.∵，为的中点，∴，又∵底面为直角梯形，即，故四边形为平行四边形，而，所以四边形为矩形，∴.平面，∴平面.∵平面，平面平面.【小问2详解】由（1）得，由（1）又可得，如图，以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，.设平面的法向量为，由，得，令，则，，设与平面所成的角为，则，∴与平面所成角的正弦值为18.设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）令，为数列的前项积，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由等差数列定义可得，由与的关系即可得；（2）由与可得，即可得，由，可得，借助等比数列求和公式计算即可得证.【小问1详解】由是首项为、公差为的等差数列，故，即，当时，，故，当时，，符合上式，故；【小问2详解】由，，故，则，由，故，则.19.已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.（1）试判断集合是否具有性质，并说明理由；（2）若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；（3）证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.【答案】（1）不具有，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断；（2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”；（3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明.【小问1详解】集合不具有性质，理由如下：（i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③（ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，，则有，即，不满足条件②，综上所述，可得集合不具有性质.小问2详解】证明：由是偶数，得实数是奇数，当时，由，得，即，不合题意，当时，由，得，即，或（舍），因为是偶数，所以集合，令，解得，显然，所以集合是集合的“期待子集”得证.【小问3详解】