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文档简介
2021年江苏省连云港市中考数学试卷
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(3分)(2021•衢州)-3的相反数是()
A.3B.~3C.1D._l
33
2.(3分)(2021•连云港)下列运算正确的是()
A.2a+3b=5abB.5a-2a=3aC.a2*a3=a67D.(a+b)2=a2+b2
3.(3分)(2021•连云港)2021年连云港高票当选全国"十大幸福城市",在江苏十三个省辖
市中居第一位,居民人均可支配收入约18000元,其中"18000"用科学记数法表示为()
A.0oI8X105B.Io8xl03C.1。8xl04D.18xl03
4.(3分)(2021•连云造)某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛,选拔赛
中每名学生的平均成绩彳及其方差s2如表所示,如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参
赛,则应选择的学生是()
甲乙丙丁
x8998
s211lo2lo3
A.甲B.乙C.丙D.丁
5.(3分)(2021•连云港)已知四边形ABCD,下列说法正确的是()
A.当AD=BC,ABIIDC时,四边形ABCD是平行四边形
B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形
C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD,AC_LBD时,四边形ABCD是正方形
6.(3分)(2021•连云港)已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根,则k的
取值范围是()
A*k<lB"k>-1Ck<1且kwOD-k>-工且kxO
3333
7.(3分)(2021•连云港)如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),
顶点C在x轴的负半轴上,函数y=X(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为()
A.-12B.-27C.-32D.-36
8.(3分)(2021•连云港)如图是本地区一种产品30天的销售图象,图①是产品日销售量
y(单位:件)与时间t(单位;天)的函数关系,图②是一件产品的销售利润z(单位:元)
与时间t(单位:天)的函数关系,已知日销售利润=日销售量x一件产品的销售利润,下列
结论错误的是()
A.第24天的销售量为200件
B.第10天销售一件产品的利润是15元
C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D.第30天的日销售利润是750元
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.(3分)(2021•连云港)在数轴上,表示-2的点与原点的距离是.
10.(3分)(2021•连云港)代数式二^在实数范围内有意义,则x的取值范围
x-3
是.
11.(3分)(2021•连云港)已知m+n=mn,贝ij(m-1)(n-1)=.
12.(3分)(2021•连云港)如图,一个零件的横截面是六边形,这个六边形的内角和
为.
JF
QE
cD
13.(3分)(2021•连云港)己知一个函数,当x>0时,函数值y随着x的增大而减小,请
写出这个函数关系式(写出一个即可).
14.(3分)(2021•连云港)如图是一个几何体的三视图,其中主视图与左视图都是边长为4
的等边三角形,则这个几何体的侧面展开图的面积为
主视图左视图
俯视图
15.(3分)(2021•连云港)在小ABC中,AB=4,AC=3,AD是^ABC的角平分线,则AABD
与4ACD的面积之比是.
16.(3分)(2021•连云港)如图,在△ABC中,ZBAC=60°,ZABC=90°,直线hllbll13,
h与12之间距离是1,12与13之间距离是2,且11,12,13分别经过点A,B,C,则边AC的
长为.
三、解答题
17.(6分)(2021•连云港)计算:J3)2+(.1)-2021°.
12_A
18.(6分)(2021•连云港)化简:(1+」-)4-....
"1m2+in
'2x+l>5
19.(6分)(2021•连云港)解不等式组:
x+l>4(x-2)
20.(8分)(2021•连云港)随着我市社会经济的发展和交通状况的改善,我市的旅游业得
到了高速发展,某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了问卷调查,随机抽取部分员
工,记录每个人消费金额,并将调查数据适当调整,绘制成如图两幅尚不完整的表和图.
组别个人年消费金额x(元)频数(人数)频率
Ax<2000180o15
B2000<x<4000ab
C4000<x<6000
D6000<x<8000240o20
Ex>8000120o10
合计c1o00
根据以上信息回答下列问题:
(1)a=,b=,c=.并将条形统计图补充完整;
(2)这次调查中,个人年消费金额的中位数出现在组;
(3)若这个企业有3000多名员工,请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数.
21.(10分)(2021•连云港)九(1)班组织班级联欢会,最后进入抽奖环节,每名同学都
有一次抽奖机会,抽奖方案如下:将一副扑克牌中点数为"2","3","3","5","6"的五张牌
背面朝上洗匀,先从中抽出1张牌,再从余下的4张牌中抽出1张牌,记录两张牌点数后放
回,完成一次抽奖,记每次抽出两张牌点数之差为x,按表格要求确定奖项.
奖项一等奖二等奖三等奖
x|=4|x|=3l<|x|<3
(1)用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率;
(2)是否每次抽奖都会获奖,为什么?
22.(10分)(2021•连云港)如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠,折叠后点
C落在点F处,DF交AB于点E.
(1)求证;ZEDB=NEBD;
(2)判断AF与DB是否平行,并说明理由.
23.(10分)(2021•连云港)在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,
决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现
在只花费了4800元.
(1)求每张门票的原定票价;
(2)根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策,原定票价经过连续
二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率.
24.(10分)(2021•连云港)已知如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=5/泉-与x
轴、y轴分别交于A,B两点,P是直线AB上一动点,。P的半径为1.
(1)判断原点o与OP的位置关系,并说明理由;
(2)当。P过点B时,求OP被y轴所截得的劣弧的长;
(3)当。P与x轴相切时,求出切点的坐标.
25.(10分)(2021•连云港)如图,在△ABC中,NABC=90。,BC=3,D为AC延长线上
一点,AC=3CD,过点D作DHIIAB,交BC的延长线于点H.
(1)求BD・cosNHBD的值;
(2)若NCBD=NA,求AB的长.
26.(12分)(2021•连云港)在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2
的正方形ABCD与边长为2&的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,
AB与AG在同一直线上.
(1)小明发现DGLBE,请你帮他说明理由.
(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请
你帮他求出此时BE的长.
(3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,
交点为H,写出aGHE与ABHD面积之和的最大值,并简要说明理由.
27.(14分)(2021•连云港)如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y=L?交于A,
B两点,其中点A的横坐标是-2.
(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标.
(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标,若不
存在,请说明理由.
(3)过线段AB上一点P,作PMIIx轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N(0,
1),当点M的横坐标为何值时,MN+3Mp的长度最大?最大值是多少?
2021年江苏省连云港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(3分)(2021•衢州)-3的相反数是()
A.3B.-3C.1D.1
33
考点:相反数.
专题:常规题型.
分析:根据相反数的概念解答即可.
解答:解:-3的相反数是3,
故选:A.
点评:本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上号;一个正数
的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.
2.(3分)(2021•连云港)下列运算正确的是()
A.2a+3b=5abB.5a-2a=3aC.a2»a3=a6D.(a+b)2=a2+b2
考点:同底数基的乘法;合并同类项;完全平方公式.
分析:根据同类项、同底数基的乘法和完全平方公式计算即可.
解答:解:A、2a与3b不能合并,错误;
B、5a-2a=3a,正确;
C、a2*a3=a5,错误;
D、(a+b)2=a2+2ab+b2,错误;
故选B.
点评:此题考查同类项、同底数塞的乘法和完全平方公式,关键是根据法则进行计算.
3.(3分)(2021•连云港)2021年连云港高票当选全国“十大幸福城市",在江苏十三个省辖
市中居第一位,居民人均可支配收入约18000元,其中“18000"用科学记数法表示为()
A.0。18xl05B.1。8xlO3C.1。8xl04D.18xlO3
考点:科学记数法一表示较大的数.
分析:科学记数法的表示形式为axl0n的形式,其中他同<10,n为整数.确定n的值时,
要看把原数变成a时-,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当
原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答:解:将18000用科学记数法表示为1。8xl04.
故选C.
点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式,其中[gal
<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.(3分)(2021•连云港)某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播"大赛,选拔赛
中每名学生的平均成绩彳及其方差s2如表所示,如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参
赛,则应选择的学生是()
甲乙丙丁
X8998
2
S11lo2lo3
A.甲B.乙C.丙D.丁
考点:方差;算术平均数.
分析:从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好,从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定,综合
两个方面可选出乙.
解答:解:根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好,根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳
定,
因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛,因选择乙,
故选:B.
点评:此题主要考查了方差和平均数,关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量,
方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差
越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳
定.
5.(3分)(2021•连云港)已知四边形ABCD,下列说法正确的是()
A.当AD=BC,ABIIDC时,四边形ABCD是平行四边形
B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形
C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD,AC_LBD时,四边形ABCD是正方形
考点:平行四边形的判定;矩形的判定;正方形的判定.
分析:由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确;由矩形和正方形的判定方法得出C、
D不正确.
解答:解:】•一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,
A不正确;
・•,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,
B正确;
V对角线互相平分且相等的四边形是矩形,
C不正确;
•••对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,
D不正确;
故选:B.
点评:本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定;熟练掌握平行四边形、
矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键.
6.(3分)(2021•连云港)已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根,则k的
取值范围是()
A.k<lB-k>-1Ck<1且kwOD-k>-工且kxO
3333
考点:根的判别式.
专题:计算题.
分析:根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式大于0,即可求出k的范围.
解答:解:;方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根,
A=4-12k>0,
解得:k<l
3
故选A.
点评:此题考查了根的判别式,熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.
7.(3分)(2021•连云港)如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),
顶点C在x轴的负半轴上,函数y=X(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为()
A.-12B.-27C.-32D.-36
考点:菱形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征.
分析:根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标,然后利用待定系数法求出k的值
即可.
解答:解:C(-3,4),
OC={§2+4'5,
・•.CB=OC=5,
则点B的横坐标为-3-5=-8,
故B的坐标为:(-8,4),
将点B的坐标代入y=X得,4=上,
x-8
解得:k=-32.
故选C.
点评:本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式,解答本题的关键是
根据菱形的性质求出点B的坐标.
8.(3分)(2021•连云港)如图是本地区一种产品30天的销售图象,图①是产品日销售量
y(单位:件)与时间t(单位;天)的函数关系,图②是一件产品的销售利润z(单位:元)
与时间t(单位:天)的函数关系,已知日销售利润=日销售量X一件产品的销售利润,下列
结论错误的是()
B.第10天销售一件产品的利润是15元
C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D.第30天的日销售利润是750元
考点:一次函数的应用.
分析:根据函数图象分别求出设当04区20,一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单
位:天)的函数关系为z=-x+25,当04K24时,设产品日销售量y(单位:件)与
时间t(单位;天)的函数关系为y=2^+100,根据日销售利润=日销售量x一件产品
6
的销售利润,即可进行判断.
解答:解:A、根据图①可得第24天的销售量为200件,故正确;
B、设当OstCO,一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关
系为z=kx+b,
把(0,25),(20,5)代入得:[b=25,
[20k+b=5
解得:色一I,
[b=25
z=-x+25,
当x=10时,y=-10+25=15,
故正确;
C、当04区24时,设产品日销售量y(单位:件)与时间t(单位;天)的函数关系为
y=kit+bi>
%,=100
把(0,100),(24,200)代入得:,
24ki+b[=200
解得:(1一6,
b^lOO
•.・y=£t+ioo,
6
当t=12时、y=150,z=-12+25=13,
.••第12天的日销售利润为;150x13=1950(元),第30天的日销售利润为;150x5=750
(元),
750x1950,故C错误;
D、第30天的日销售利润为;150x5=750(元),故正确.
点评:本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式.
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.(3分)(2021•连云港)在数轴上,表示-2的点与原点的距离是2.
考点:数轴.
分析:在数轴上,表示-2的点与原点的距离即是-2的绝对值,是2.
解答:解:-2与原点的距离为:|-2|=2.
点评:注意:距离是一个非负数,求一个数对应的点到原点的距离就是求这个数的绝对值.
10.(3分)(2021•连云港)代数式一L^5E实数范围内有意义,则x的取值范围是x云.
x-3
考点:分式有意义的条件.
分析:根据分母不等于0进行解答即可.
解答:解:要使代数式实数范围内有意义,
X-3
可得:x-3*0,
解得:x/3,
故答案为:x#3
点评:此题考查分式有意义,关键是分母不等于0.
11.(3分)(2021•连云港)已知m+n=mn,则(m-1)(n-1)=1.
考点:整式的混合运算一化简求值.
分析:先根据多项式乘以多项式的运算法则去掉括号,然后整体代值计算.
解答:解:(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1,
*.*m+n=mn,
/.(m-l)(n-l)=mn-(m+n)+1=1,
故答案为1.
点评:本题主要考查了整式的化简求值的知识,解答本题的关键是掌握多项式乘以多项式的
运算法则,此题难度不大.
12.(3分)(2021•连云港)如图,一个零件的横截面是六边形,这个六边形的内角和为—
720°.
AF
B'E
D
考点:多边形内角与外角.
分析:根据多边形内角和公式进行计算即可.
解答:解:由内角和公式可得:(6-2)xl80°=720°.
故答案为:720°.
点评:此题主要考查了多边形内角和公式,关键是熟练掌握计算公式:(n-2).180°(n>3)
且n为整数).
13.(3分)(2021•连云港)已知一个函数,当x>0时,函数值y随着x的增大而减小,请
写出这个函数关系式y=-x+2(写出一个即可).
考点:一次函数的性质;反比例函数的性质;二次函数的性质.
专题:开放型.
分析:写出符合条件的函数关系式即可.
解…解:函数关系式为:y=-x+2,y=',y=-x?+l等;
x
故答案为:y=-x+2
点评:本题考查的是函数的性质,此题属开放性题目,答案不唯一.
14.(3分)(2021•连云港)如图是一个几何体的三视图,其中主视图与左视图都是边长为4
的等边三角形,则这个几何体的侧面展开图的面积为8rt.
考点:由三视图判断几何体;几何体的展开图.
分析:根据三视图得到这个几何体为圆锥,且圆锥的母线长为4,底面圆的直径为4,然后
根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径
等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解.
解答:解:这个几何体为圆锥,圆锥的母线长为4,底面圆的直径为4,
所以这个几何体的侧面展开图的面积=工40<4=8几
2
故答案为:8九
点评:本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面
的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.也考查了三视图.
15.(3分)(2021•连云港)在4ABC中,AB=4,AC=3,AD是4ABC的角平分线,则4ABD
与ZkACD的面积之比是4:3.
考点:角平分线的性质.
分析:估计角平分线的性质,可得出△ABD的边AB上的高与4ACD的AC上的高相等,
估计三角形的面积公式,即可得出^ABD与4ACD的面积之比等于对应边之比.
解答:解:AD是4ABC的角平分线,
设4ABD的边AB上的高与4ACD的AC上的高分别为hi,h2,
hi=h2,
AABD与4ACD的面积之比=AB:AC=4:3,
故答案为4:3.
点评:本题考查了角平分线的性质,以及三角形的面积公式,熟练掌握三角形角平分线的性
质是解题的关键.
16.(3分)(2021♦连云港)如图,在△ABC中,ZBAC=60°,ZABC=90°,直线1111I2II13,
h与12之间距离是1,12与13之间距离是2,且11,12,13分别经过点A,B,C,则边AC的
考点:相似三角形的判定与性质;平行线之间的距离;勾股定理.
分析:过点B作EFJJ2,交h于E,交13于F,在RtaABC中运用三角函数可得
易证△AEB-△BFC,运用相似三角形的性质可求出FC,然后在RtABFC中运用勾
股定理可求出BC,再在RtAABC中运用三角函数就可求出AC的值.
解答:解:如图,过点B作EFJL12,交11于E,交13于F,如图.
•••ZBAC=60°,NABC=90°,
tanZBAC=型=
AB
直线11II12II13,
/.EF±li,EFJJ3,
・•.ZAEB=ZBFC=90°.
•/ZABC=90°,
・•.ZEAB=90°-ZABE=ZFBC,
△BFC-△AEB>
EBAB_
,.EB=1,FC=A/3.
在RtABFC中,
BC={BF2+FC2=J22+(遥)三"
在RtAABC中,sinzBAC=^=近,
AC2
Ar-2BC_2J?一空直
V3V33
故答案为名②.
3
点评:本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定
理、平行线的判定与性质、同角的余角相等等知识,构造K型相似是解决本题的关键.
三、解答题
17.(6分)(2021•连云港)计算:q(-3)2+(-|)1-2021°.
考点:实数的运算;零指数累;负整数指数累.
专题:计算题.
分析:原式第一项利用二次根式的性质计算,第二项利用负整数指数幕法则计算,最后一项
利用零指数基法则计算即可得到结果.
解答:解:原式=3+2-1=4.
点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.(6分)(2021♦连云港)化简:(1+」_).m
2一,
"1m+m
考点:分式的混合运算.
专题:计算题.
分析:原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约
分即可得到结果.
解答:解:原式=空2・-----111皿1)----------
nrl-1(nrl-2)(m-2)
_in
m-2
点评:此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
r2x+l>5
19.(6分)(2021•连云港)解不等式组:
x+l〉4(x-2)
考点:解一元一次不等式组.
分析:分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.
解咨解:依〉5①
'[x+l>4(x-2)②
解不等式①得:x>2,
解不等式②得:x<3,
所以不等式组的解集是2<xV3.
点评:本题考查的是解一元一次不等式组,熟知"同大取较大,同小取较小,小大大小中间
找,大大小小解不了”的原则是解答此题的关键.
20.(8分)(2021•连云港)随着我市社会经济的发展和交通状况的改善,我市的旅游业得
到了高速发展,某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了问卷调查,随机抽取部分员
工,记录每个人消费金额,并将调查数据适当调整,绘制成如图两幅尚不完整的表和图.
组别个人年消费金额x(元)频数(人数)频率
Ax<2000180o15
B2000<x<4000ab
C4000<x<6000
D6000<x<8000240o20
Ex>8000120o10
合计clo00
根据以上信息回答下列问题:
(1)a=36,b=0o30,c=120.并将条形统计图补充完整;
(2)这次调查中,个人年消费金额的中位数出现在Q组;
(3)若这个企业有3000多名员工,请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数.
42
36
30
24
1S
12
6
0ABCDE
考点:频数(率)分布表;用样本估计总体;条形统计图;中位数.
分析:(1)首先根据A组的人数和所占的百分比确定c的值,然后确定a和b的值;
(2)根据样本容量和中位数的定义确定中位数的位置即可;
(3)利用样本估计总体即可得到正确的答案.
解答:解:(1)观察频数分布表知:A组有18人,频率为0。15,
二c=18+0。15=120,
a=36,
/.b=36vl20=0o30;
/.C组的频数为120-18-36-24-12=30,
补全统计图为:
(2)共120人,
中位数为第60和第61人的平均数,
中位数应该落在C小组内;
(3)个人旅游年消费金额在6000元以上的人数3000x(0。10+0。20)=900人.
点评:本题考查了统计图的知识,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问
题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.理解平均数、中位数和众数
的概念,并能根据它们的意义解决问题.
21.(10分)(2021•连云港)九(1)班组织班级联欢会,最后进入抽奖环节,每名同学都
有一次抽奖机会,抽奖方案如下:将一副扑克牌中点数为"2","3","3","5","6"的五张牌
背面朝上洗匀,先从中抽出1张牌,再从余下的4张牌中抽出1张牌,记录两张牌点数后放
回,完成一次抽奖,记每次抽出两张牌点数之差为x,按表格要求确定奖项.
奖项一等奖二等奖三等奖
M=4冈=3l<|x|<3
(1)用列表或画树状图的方法求出甲同学获得一等奖的概率;
(2)是否每次抽奖都会获奖,为什么?
考点:列表法与树状图法.
分析:(1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与甲同学获得
一等奖的情况,再利用概率公式即可求得答案;
(2)由树状图可得:当两张牌都是2时,冈=0,不会有奖.
解答:解:(1)画树状图得:
第一次
第二^
11341023102332214331
•••共有20种等可能的结果,甲同学获得一等奖的有2种情况,
二甲同学获得一等奖的概率为:2°;
2010
(2)不一定,当两张牌都是2时,|x|=0,不会有奖.
点评:此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况
数之比.
22.(10分)(2021•连云港)如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠,折叠后点
C落在点F处,DF交AB于点E.
(1)求证;ZEDB=ZEBD;
(2)判断AF与DB是否平行,并说明理由.
考点:翻折变换(折叠问题);平行四边形的性质.
分析:(1)由折叠和平行线的性质易证NEDB=NEBD;
(2)AFIIDB;首先证明AE=EF,得出NAFE=NEAF,然后根据三角形内角和与等
式性质可证明NBDE=NAFE,所以AFIIBD.
解答:解:(1)由折叠可知:ZCDB=ZEDB,
V四边形ABCD是平行四边形,
/.DCIIAB,
ZCDB=NEBD,
ZEDB=ZEBD;
(2)AFIIDB;
ZEDB=ZEBD>
DE=BE,
由折叠可知:DC=DF,
・「四边形ABCD是平行四边形,
DC=AB,
/.DF=AB,
AE=EF,
ZEAF=ZEFA,
在ABED中,ZEDB+ZEBD+ZDEB=180°,
/.2ZEDB+ZDEB=180°,
同理,在AAEF中,2NEFA+NAEF=180。,
,/ZDEB=ZAEF,
ZEDB=ZEFA,
...AFIIDB.
点评:本题主要考查了折叠变换、平行四边形的性质、等腰三角形的性质的综合应用,运用
三角形内角和定理和等式性质得出内错角相等是解决问题的关键.
23.(10分)(2021•连云港)在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,
决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数,现
在只花费了4800元.
(1)求每张门票的原定票价;
(2)根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策,原定票价经过连续
二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率.
考点:一元二次方程的应用;分式方程的应用.
分析:(1)设每张门票的原定票价为x元,则现在每张门票的票价为(x-80)元,根据"按
原定票价需花费6000元购买的门票张数,现在只花费了4800元"建立方程,解方程
即可;
(2)设平均每次降价的百分率为y,根据"原定票价经过连续二次降价后降为324元”
建立方程,解方程即可.
解答:解:(1)设每张门票的原定票价为x元,则现在每张门票的票价为(x-80)元,根
据题意得
6000_4800
xx-80
解得x=400.
经检验,x=400是原方程的根.
答:每张门票的原定票价为400元;
(2)设平均每次降价的百分率为y,根据题意得
400(1-y)2=324,
解得:yi=0o1,y2=l。9(不合题意,舍去).
答:平均每次降价10%.
点评:本题考查了一元二次方程与分式方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题
目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.
24.(10分)(2021•连云港)已知如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=与x
轴、y轴分别交于A,B两点,P是直线AB上一动点,0P的半径为1.
(1)判断原点O与OP的位置关系,并说明理由;
(2)当。P过点B时,求OP被y轴所截得的劣弧的长;
(3)当OP与x轴相切时,求出切点的坐标.
考点:圆的综合题.__
分析:(1)由直线y=J9-25/ax轴、y轴分别交于A,B两点,可求得点A与点B的
坐标,继而求得NOBA=30。,然后过点O作OHJLAB于点H,利用三角函数可求得
0H的长,继而求得答案;
(2)当OP过点B时,点P在y轴右侧时,易得。P被y轴所截的劣弧所对的圆心
角为:180。-30。-30。=120。,则可求得弧长;同理可求得当0P过点B时,点P在y
轴左侧时,OP被y轴所截得的劣弧的长;
(3)首先求得当。P与x轴相切时,且位于x轴下方时,点D的坐标,然后利用对
称性可以求得当。P与x轴相切时,且位于x轴上方时,点D的坐标.
解答:解:(1)原点0在OP外.
理由:・.•直线与x轴、y轴分别交于A,B两点,
二点A(2,0),点B(0,-273)>
在RtAOAB中,tanNOBA=^—亚,
0B2733
ZOBA=30°,
如图1,过点。作OHLAB于点H,
在RtAOBH中,OH=OB・sinNOBA=y,
V3>1«
*e•原点O在。P外;
(2)如图2,当OP过点B时,点P在y轴右侧时,
「PB=PC,
ZPCB=ZOBA=30°,
・•・OP被y轴所截的劣弧所对的圆心角为:180。-30。-30。=120。,
...弧长沏120°XJIX1^2K;
1803
同理:当OP过点B时,点P在y轴左侧时,弧长同样为:空;
3
.•.当OP过点B时,0P被y轴所截得的劣弧的长为:空;
3
(3)如图3,当0P与x轴相切时,且位于x轴下方时,设切点为D,
在PD_Lx轴,
PDIIy轴,
ZAPD=ZABO=30",
在RtADAP中,AD=DP»lanZDPA=lxtan30°=近,
3
OD=OA-AD=2-亚,
3_
,此时点D的坐标为:(2-亚,0);
3
当OP与x轴相切时,且位于x轴上方时,根据对称性可以求得此时切点的坐标为:
(2+近,0);
3
综上可得:当0P与x轴相切时,切点的坐标为:(2-Y3,0)或(2+叵0).
33
点评:此题属于一次函数的综合题,考查了直线上点的坐标的性质、切线的性质、弧长公式
以及三角函数等知识.注意准确作出辅助线,注意分类讨论思想的应用.
25.(10分)(2021•连云港)如图,在△ABC中,ZABC=900,BC=3,D为AC延长线上
一点,AC=3CD,过点D作DHIIAB,交BC的延长线于点H.
(1)求BD«cosZHBD的值;
(2)若NCBD=NA,求AB的长.
考点:相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
分析:(1)首先根据DHIIAB,判断出△ABO△DHC,即可判断出柜夏=3;然后求出
CDCH
BH的值是多少,再根据在RtABHD中,cosNHBD=刃,求出BD・cosNHBD的值
BD
是多少即可.
(2)首先判断出△ABC-△BHD,推得区1;然后根据^ABC-△DHC,推得
HDBH
期望=3,所以AB=3DH;最后根据卫萼生求出DH的值是多少,进而求出AB
DHCDDH4
的值是多少即可.
解答:解:(1)DHIIAB,
・•.ZBHD=ZABC=90°,
△ABO△DHC,
•ACBC=3
/.CH=1,BH=BC+CH,
在RlABHD中,
cosZHBD=—,
BD
BD»cosZHBD=BH=4.
(2),/ZCBD=ZA,ZABC=ZBHD,
•••△ABO△BHD,
.二空
…而而S'
△ABO△DHC,
AB^C,
DH-CD=-3
AB=3DH,
--.....3...---3-D--H-,
DH4
解得DH=2,
AB=3DH=3x2=6,
即AB的长是6.
点评:(1)此题主要考查了相似三角形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要
明确:寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;或依据基本图形
对图形进行分解、组合;或作辅助线构造相似三角形,判定三角形相似的方法有事可
单独使用,有时需要综合运用,无论是单独使用还是综合运用,都要具备应有的条件
方可.
(2)此题还考查了直角三角形的性质和应用,要熟练掌握.
26.(12分)(2021•连云港)在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2
的正方形ABCD与边长为2a的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,
AB与AG在同一直线上.
(1)小明发现DGLBE,请你帮他说明理由.
(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请
你帮他求出此时BE的长.
(3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,
交点为H,写出AGHE与ABHD面积之和的最大值,并简要说明理由.
考点:几何变换综合题.
专题:综合题.
分析:(1)由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形,利用正方形的性质得到两对边相等,
且夹角相等,利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等,利用全等三角形对应
角相等得NAGD=ZAEB,如图1所示,延长EB交DG于点H,利用等角的余角相
等得到NDHE=90°,利用垂直的定义即可得DGJ_BE;
(2)由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形,利用正方形的性质得到两对边相等,
且夹角相等,利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等,利用全等三角形对应
边相等得到DG=BE,如图2,过点A作AM_LDG交DG于点M,NAMD=ZAMG=90°,
在直角三角形AMD中,求出AM的长,即为DM的长,根据勾股定理求出GM的长,
进而确定出DG的长,即为BE的长;
(3)△GHE和△BHD面积之和的最大值为6,理由为:对于△EGH,点H在以EG
为直径的圆上,即当点H与点A重合时,AEGH的高最大;对于△BDH,点H在以
BD为直径的圆上,即当点H与点A重合时,△BDH的高最大,即可确定出面积的
最大值.
解答:解:(1)・四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形,
AD=AB,ZDAG=NBAE=90°,AG=AE,
在4ADG^flAABE中,
'AD=AB
,ZDAG=ZBAE-
AG=AE
二△ADG合△ABE(SAS),
ZAGD=ZAEB,
如图1所示,延长EB交DG于点H,
在△ADG中,ZAGD+ZADG=90°,
ZAEB+ZADG=90°,
在AEDH中,ZAEB+ZADG+ZDHE=180°,
ZDHE=90°,
贝DG±BE;
(2)V四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形,
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