人教版八年级下册二次根式教案

16.31二次根式

教学内容

二次根式得概念及其运用

教学目标

理解二次根式得概念，并利用&(a20)得意义解答具体题目.

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

教学重难点关键

1.重点：形如&(a20)得式子叫做二次根式得概念；

2.难点与关键：利用(a20)“解决具体问题.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们独立完成下列三个课本P2得三个思考题：

二、探索新知

很明显6、回、都就是一些正数得算术平方根.像这样一些正数得算术平方

根得式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如夜(a，0)得式子叫做

二次根式，称为二次根号.

(学生活动)议一议：

1.-1有算术平方根吗？

2.0得算术平方根就是多少？

3.当a<0,&有意义吗？

老师点评：(略)

例1.下列式子，哪些就是二次根式，哪些不就是二次根式：母、班、L、&(x>0)、

X

V5、娠、・&、-----、Jx+y(x20,yNO).

x+y

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“«”；第二，被开方数就是正

数或0.

解：二次根式有：垃、4x(x>0)>>/0>-V2>Jx+y(x20,y20)；不就是

二次根式得有：次、痣、一L.

xx4-y

例2.当x就是多少时，，3x—1在实数范围内有意义?

分析：由二次根式得定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-l>0,13x-1

才能有意义.

解:由3x・120,得：x——

3

当X》［时，］3x7在实数范围内有意义.

3

三、巩固练习

教材P5练习1、2、3.

四、应用拓展

例3.当x就是多少时，J2X+3+—L在实数范围内有意义?

分析：要使j2x+3+」一在实数范围内有意义,必须同时满足,2x+3中得20与

X+1

」一中得X+1W0.

x+1

»2x+3>0

解：依题意，得4

［x+lwO

3

由①得：x2—

2

由②得：x#-l

当X2--且x#-l时，j2x+3+——在实数范围内有意义.

2x+1

例4（1）已知y=j2-x+，x-2+5,求二得值.（答案:2）

y

（2）若+求aZW+b?004得值.（答案［）

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

1.形如夜（a20）得式子叫做二次根式，“、厂”称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数就是非负数.

六、布置作业

1.教材P51,2,3,4

2.选用课时作业设计.

第一课时作业设计

一、选择题

1.下列式子中，就是二次根式得就是（）

A.-不B.近C.y/xD.x

2.下列式子中，不就是二次根式得就是()

A.\/?B.>/16C.y/sD.一

x

3.己知一个正方形得面积就是5,那么它得边长就是()

A.5B.V5C."D.以上皆不对

二、填空题

1.形如得式子叫做二次根式.

2.面积为a得正方形得边长为.

3.负数平方根.

三、综合提高题

1.某工厂要制作一批体积为In?得产品包装盒，其高为0、2m,按设计需要，底面

应做成正方形，试问底面边长应就是多少？

2.当x就是多少时，+*2在实数范围内有意义?

X

3.若V3—x+Jx-3有意义，则\lx=

4、使式子J-。-5)2有意义得未知数x有()个.

A.0B.1C.2D.无数

5、己知a、b为实数，且Ja-5+2J10-勿=b+4,求a、b得值.

第一课时作业设计答案：

一、1.A2.D3.B

二、1.4a(a20)2.4a3.没有

三、1.设底面边长为x,则0、2x2=1,解答：x=火.

3

2x+3>0x>

2.依题意得:2

xw0

3

当x>-—且xKO时,+x2在实数范围内没有意义.

2X

1

3>-4.B5.a=5,b=-4

3

16、1、2二次根式⑵

教学内容

1.4a(a20)就是一个非负数;

2.(y[a)2=a(a>0).

教学目标

理解&(a>0)就是一个非负数与(&)2=a(a20),并利用它们进行计算与化简.

通过复习二次根式得概念，用逻辑推理得方法推出&(a20)就是一个非负数，用具

体数据结合算术平方根得意义导出(&)2=a(a20)；最后运用结论严谨解题.

教学重难点关键

1.重点：4a(a20)就是一•个非负数；(、/^)2=a(a20)及其运用.

2.难点、关键：用分类思想得方法导出(a20)就是一个非负数；用探究得方法

导出(sfa)2=a(a'O).

教学过程

一、复习引入

(学生活动)口答

1.什么叫二次根式？

2.当a与0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？

老师点评(略).

二、探究新知

议一议：(学生分组讨论，提问解答)

4a(a20)就是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论与上面得练习，我们可以得出

8(aNO)就是一个非负数.

做一做：根据算术平方根得意义填空：

(A/?)2=;(V2)2=;(V9)，=；(A/3)2=

◎J——；(即=——；(Cl——

老师点评："就是4得算术平方根，根据算术平方根得意义，"就是一个平方等于

4得非负数，因此有(V?)

同理可得：(5/2)2=2,(>/9)一=9,(A/3)2=3,(—)~=—,(.一)~=—,

V33V22

(Vo)2=0,所以

(y[a)2=a(a'O)

例1计算

1.(旧)22.(3后23.(岛24.(弓)2

分析：我们可以直接利用（右）2=a（a》0）得结论解题.

解：(')2=g,(3后)2=32.(75)M2-5=45,

2_诉=7

224

三、巩固练习

计算下列各式得值:

《2

(V18)2（Vo）2

皆24-

(3A/5)2-(5V3)2

四、应用拓展

例2计算

1.(Vx+T)2(x，0)2.(\jd~)3.(Ji/'+2a+1)

4.(“/一12%+9)2

分析：（1）因为x'O,所以x+l>0：(2)a2>0；(3)a2+2a+l=(a+1)20；

(4)4X2-12X+9=(2X)2-2•2x•3+3?=(2x-3)2>0.

所以上面得4题都可以运用（&）2=a（a20）得重要结论解题.

解：(1)因为x20,所以x+l>0

(Jx+1)2=x+l

(2)Va2^0,(")2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2

又,:(a+1)2^0,.".a2+2a+1^0,Ay/cT+la+l=a2+2a+l

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2•2x-3+32=(2x-3)2

又：（2x-3）22。

.,.4X2-12X+9>0,，(A/4X2-12X+9)2=4X2-12X+9

例3在实数范围内分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4⑶2X2-3

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：

1.4a(a，0)就是一个非负数；

2.(s[ci)2=a(a，0);反之:a=(y/a)2(a20).

六、布置作业

1.教材P55,6,7,8

2.选用课时作业设计.

第二课时作业设计

一、选择题

1.下列各式中行、岛、加一1、4片+廿、册2+20、7-144,二次根式

得个数就是().

A.4B.3C.2D.1

2.数a没有算术平方根，则a得取值范围就是().

A.a>0B.a20C.a<0D.a=0

二、填空题

1.(-V3)2=.

2.已知JQ有意义，那么就是一个数.

三、综合提高题

1.计算

(1)(V9)2(2)-(V3)2(3)(-V6)2(4)(-3.1-)2

2\3

(5)(26+3及)(2月-30)

2.把下列非负数写成一个数得平方得形式：

(1)5(2)3、4(3)-(4)x(xNO)

6

3.已知Jx-y+1+Jx-3=0,求X，得值.

4.在实数范围内分解下列因式：

(1)x2-2(2)X4-93X2-5

21、1二次根式⑶

教学内容

=a(a20)

教学目标

理解J/=a(a20)并利用它进行计算与化简.

通过具体数据得解答，探究J/=a(a，0),并利用这个结论解决具体问题.

教学重难点关键

1.重点：77=a(a)0).

2.难点：探究结论.

3.关键：讲清a20时，才成立.

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课得重要内容；

1.形如&(a20)得式子叫做二次根式：

2.JZ(a^O)就是一个非负数：

3.(Vay=a(a?0).

那么，我们猜想当a20时，J/=a就是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.

二、探究新知

(学生活动)填空:

衣=；而.UI?=

(老师点评)：根据算术平方根得意义，我们可以得到：

6=2；痴7=0、01,后.g技=°；杼4

因此，一般地：底=a(a20)

例1化简

(1)V9(2)7(-4)2(3)V25(4)，(-3>

分析：因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可运用J/=a(a>0)去化简.

解：(1)也=后=3(2)J(-4)2="=4

(3)V25==5(4)J(-3)2==3

三、巩固练习

教材P7练习2.

四、应用拓展

例2填空：当a20时，y/a^=_____；当a<0时，,并根据这一性质

回答下列问题.

(1)若J/=a,则a可以就是什么数？

(2)若病=-a,则a可以就是什么数？

(3)J/>a,则a可以就是什么数？

分析：；值=2(a20),.♦.要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，

应变形，使“()2”中得数就是正数，因为，当aWO时，1/=而芯，那么-a20.

(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空得分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)

可知|a|,而IaI要大于a,只有什么时候才能保证呢？a<0.

解：(1)因为J/二a,所以a10；

(2)因为=-a,所以aWO；

(3)因为当a20时\fa^=a,要使J?>a,即使a>a所以a不存在；当a<0时，V?=-a,

要使J?>a,即使・a>a,a<0综上，a<0

例3当x>2,化简J(x-2)2-J(l-2x)2.

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：J/=a(a》0)及其运用，同时理解当a<0时，J/=-a得应用拓

展.

六、布置作业

1.教材P5习题16.13、4、6、8.

2.选作课时作业设计.

第三课时作业设计

一、选择题

得值就是().

22

A.0B.-C.4一D.以上都不对

33

2.a》0时，\[a^、J(-a)?、J7,比较它们得结果，下面四个选项中正确得就是

).

A.亚=J(-a)?B.J(-al>-后

c.V?<7(-«)2<-V?

D.-正>正=«-61丫

二、填空题

1.-70.0004=.

2.若J而就是一个正整数，则正整数m得最小值就是

三、综合提高题

1.先化简再求值：当a=9时，求a+Jl—2a+q2得值,甲乙两人得解答如下:

甲得解答为：原式=a+"(>a)?=a+(1-a)=1；

乙得解答为：原式=a+J(1—a)?=a+(a-1)=2a-l=17.

两种解答中，得解答就是错误得，错误得原因就是.

2.若|1995-a|+Ja-2000=a,求a-1995?得值.

(提示：先由a-2000N0,判断1995-a得值就是正数还就是负数，去掉绝对值)

3、若-3WxW2时，试化简|x-2|+J(x+3)2+Jd-iOx+25。

答案：

一、1.C2.A

二、1.-0.022.5

三、1.甲甲没有先判定1-a就是正数还就是负数

2.由已知得a-200020,a22000

所以a-1995+Ja-2000=a,&-2000=1995,a-2000=19952,

所以a-19952=2000.

3、10-x

21.2二次根式得乘除

教学内容

\[a,4b=y[ab(a20,b20),反之=&,Jb(aNO,b>0)及其运用.

教学目标

理解6-4b=yfab(a)0,b20),\[ab=\[a,\/b(a>0,b20),并利用它

们进行计算与化简

由具体数据，发现规律，导出•、历=疝(aNO,b》O)并运用它进行计算；

利用逆向思维，得出，石=6-4b(a2O,b>0)并运用它进行解题与化简.

教学重难点关键

重点：\[a,>Jb—4ab(a》O,b》O),\[ab=\/a,4b(a》O,b2O)及它们得

运用.

难点：发现规律，导出血,\[b—4ah(a20,bNO).

关键：要讲清赢(a<O,b<O)=G〃，如J(_2)x/3=7-(-2)x-(-3)或

V(-2)x(-3)->/2^3-V2x73.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题.

1.填空

(1)V?xV9=,—4x9=_____；

(2)V16XV25=,J16x25=.

(3)J100XV36=,-7100x36=.

参考上面得结果，用“>、<或="填空.

V4XV974^9,V16xV25716x25,7100X

J36_______7100x36

2.利用计算器计算填空

(1)V2X百______>/6,(2)V2XV5一_M，

(3)V5X76____-730,(4)"Xy/5一一V20,

(5)@XV10____V70

老师点评(纠正学生练习中得错误)

二、探索新知

(学生活动)让3、4个同学上台总结规律.

老师点评：(1)被开方数都就是正数；

（2）两个二次根式得乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中得数相乘，作

为等号另一边二次根式中得被开方数.

一般地，对二次根式得乘法规定为

4a,\/b=>/ab.（a，0,b20）

反过来：|=&••(a'O,b20)

例1.计算

(1)75xV7(2)gX的(3)V9XV27(4)

分析：直接利用6•4b^4ab(a20,b20)计算即可.

解：⑴V5x77-735

⑵导唇即=G

(3)囱x后=J9X27=J92X3=9内

(4)Ax6=J；X6=6

例2化简

(1),9x16(2)716x81(3),81x100

(4)^9x2y2(5)754

分析：利用J茴=JZ*\[b(aNO,b20)直接化简即可.

解：⑴J9xl6=囱X71^=3X4=12

(2)716x81=716X781=4X9=36

(3)781x100=A/81X^/i00=9X10=90

(4)49x2/=后XJx2y2=后xX=3xy

(5)y/54-49x6=V?X>/6=3V6

三、巩固练习

（1）计算（学生练习，老师点评）

①V16xy/s②3V6x2>/10③J5a,ay

(2)化简：V20；V18；V24;A;，12片从

教材P”练习全部

四、应用拓展

例3.判断下列各式就是否正确，不正确得请予以改正：

(1)J(-4)x(_9)=Cx"

(2)不4^^X>25—4XX，25—4X，25—4J12=8A/3

解：(1)不正确.

改正：J(-4)X(_9)=V?^="X®=2X3=6

(2)不正确.

改正:义后=^^xA=JWx25=Vn^=J16x7=4币

五、归纳小结

本节课应掌握：(1)y/a,4b=\[ab-(a20,b20),4ab=4a,\[b(a20,b

20)及其运用.

六、布置作业

1.课本P”1,4,5,6.(1)(2).

2.选用课时作业设计.

第一课时作业设计

一、选择题

1.化简aJ—：得结果就是

）.

A.y1—aB.\[aC.->J—ciD.-\[ct

2.等式GTi，^1=，工2—1成立得条件就是（）

A.x》lB.x2-lC.-iWxWlD.x'l或xW-1

3.下列各等式成立得就是（）.

A.4逐X26=8V5B.5s/3X4V2-20V5

C.46x36=7逐D.5>/3X4A/2-20V6

二、填空题

1.71014=

2.自由落体得公式为S=；gt2(g为重力加速度，它得值为lOm/s?),若物体下落得高

度为720m,则下落得时间就是.

三、综合提高题

1.一个底面为30cmX30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为

正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中得水面下降了20cm,铁桶得底面边

长就是多少厘米？

2.探究过程：观察下列各式及其验证过程.

归-221/2Q2_I)厂一I2

\22-1+22-1~\22-1+22-1-\+3

通过上述探究您能猜测出：_______(a>0)，并验证您得结论.

V«-1

答案：

一、1.B2.C3、A4、D

二、1.13n2.12s

三、1.设：底面正方形铁桶得底面边长为X,

则x?X10=30X30X20,x2=30X30X2,

x=530x30xV2=305/2.

21.2二次根式得乘除⑵

教学内容

y[a%（a>0,b>0）,反过来哈笔（a>0,b>0）及利用它们进行计算与化

简.

教学目标

理解器=哙（a'O,b>0）与"*（a*0,b>0）及利用它们进行运算.

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆

向等式及利用它们进行计算与化简.

教学重难点关键

1.重点：理解当号与（a20,b>0）及利用它们进行计

-(a^O,b>0)，

b

算与化简.

2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式得除法规定.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题：

1.写出二次根式得乘法规定及逆向等式.

2.填空

(1)

(2)

(3)

⑷理

V81

也4

规律：4=

V16；7162

3.利用计算器计算填空:

⑴评,(2)

V5,(4)X

规律：言叵交12也区亘17

4；耳3；忑5：飞

每组推荐一名学生上台阐述运算结果.

（老师点评）

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台得同学也回答得十分准确，根据大家得练习与回答，我

们可以得到:

一般地,对二次根式得除法规定:

a

(a20,b>0),

ay[a/、、

反过来,—(a20,b>0)

b4b

下面我们利用这个规定来计算与化简一些题目.

例1.计算：（1）皆（2）

分析：上面4小题利用空

*（a>0,b>0）便可直接得出答案.

分析：直接利用(a20,b>0)就可以达到化简之目得.

[T_V3_V3

解:(1)

64-疯-8

三、巩固练习教材P14练习1.

四、应用拓展

x2-5x+4

例3.已知,且x为偶数，求(1+x)得值.

Vx2-l

分析:式子导东,

只有a20,b>0时才能成立.

因此得到9-x20且x-6>0,即6<xW9,又因为x为偶数，所以x=8.

.9-x>0fx<9

解：由题意得4,即《

%-6>01x>6

；.6<xW9

：x为偶数

x=8

|(x-4)(x-1)

原式=(1+x)

V(x+l)(x-l)

x—4

(1+x).1-------

Vx+\

=(1+x)A.~J(l+x)(x-4)

，(元+1)

...当x=8时，原式得值="5=6.

五、归纳小结

,la\[a

本节课要掌握(a20,b>0)(a>0,b>0)及其运用.

六、布置作业

1.习题16.22,7、8、9.

2.选用课时作业设计.

第二课时作业设计

一、选择题

1.计算出+其+旧得结果就是（）.

A.-V5B.-C.41D.—

777

2.阅读下列运算过程：

1>/3V322石2石

x/3-73x73-3'也一也x加一5

2

数学上将这种把分母得根号去掉得过程称作“分母有理化”，那么，化简看得结果就

是（）.

A.2B.6C.—A/6D.>/6

3

二、填空题

1.分母有理化：（i）」尸=1

,；(2)〒:；(3)

3V2V122A/5-

2.已知x=3,y=4,z=5,那么J版+J百得最后结果就是.

三、综合提高题

1.有一种房梁得截面积就是一个矩形，且矩形得长与宽之比为石：1,现用直径为

3cm得一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后得房染得最大截面积就是多少？

2.计算

答案：一、1.A2.C

6e6小、VioV2xV5V22.叵

1.(1)T;(2)T;(3)证

3

三、1.设：矩形房梁得宽为x(cm),则长为Gxcm,依题意,

得：(V3x)2+x2=(3V15)2

3_

4x2=9X15,x=­V15(cm),

2

a

21、2二次根式得乘除(3)

教学内容

最简二次根式得概念及利用最简二次根式得概念进行二次根式得化简运算.

教学目标

理解最简二次根式得概念，并运用它把不就是最简二次根式得化成最简二次根式.

通过计算或化简得结果来提炼出最简二次根式得概念，并根据它得特点来检验最后结果

就是否满足最简二次根式得要求.

重难点关键

1.重点：最简二次根式得运用.

2.难点关键：会判断这个二次根式就是否就是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题(请三位同学上台板书)

、《筲八、,八3a,,出

1.计算(1)-7=,，(2)-,—，(3)~1

V5<27ypla

老师点评:%叵,平旦与灰

V55<273V2aa

2.现在我们来瞧本章引言中得问题：如果两个电视塔得高分别就是Ekm,h2km,那

么它们得传播半径得比就是.

12Rhy

它们得比就是

'2Rh.

二、探索新知

观察上面计算题1得最后结果，可以发现这些式子中得二次根式有如下两个特点：

1.被开方数不含分母；

2.被开方数中不含能开得尽方得因数或因式.

我们把满足上述两个条件得二次根式，叫做最简二次根式.

那么上题中得比就是否就是最简二次根式呢？如果不就是，把它们化成最简二次根式.

学生分组讨论，推荐3〜4个人到黑板上板书.

老师点评：不就是.

例1.(1)3后;(2)ylx2y4+x4y2;(3)胸寸

例2.如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°，AC=2、5cm,BC=6cm,求AB得长.

A

BC

解：因为AB2=ACBC2

所以AB=j2.52+62=J（|）2+36=^^=^^=£=6、5（cm）

因此AB得长为6、5cm.

三、巩固练习

练习2、3

四、应用拓展

例3.观察下列各式，通过分母有理数，把不就是最简二次根式得化成最简二次根式:

1_1x（血1）_叵-1_n、

]_1X（痒0）痒0_尼r-

百+亚一（6+夜）（6-夜）-3-2'

]

同理可得:=V?-V3，

4+百

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

1111

+++)(,2002+1)得值.

7271^/2?47^V2002+V2001

分析：由题意可知，本题所给得就是一组分母有理化得式子，因此，分母有理化后就可

以达到化简得目得.

解：原式=(&-1+G-&+V?-石+……+V2002-V2001)X(V2002+1)

二(52002-1)(V2002+1)

=2002-1=2001

五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式得概念及其运用.

六、布置作业

1.习题16.23、7、10.

2.选用课时作业设计.

第三课时作业设计

一、选择题

1.如果£(y>o)就是二次根式，那么，化为最简二次根式就是().

A.g(y>0)B.y[xy(y>0)C.(y>0)D.以上都不对

Jyy

2.把(a-1)中根号外得(a-1)移入根号内得().

A.vci—1B.y/i-ClC.-yjci—lD.-y/1—Cl

3.在下列各式中，化简正确得就是()

A.J|=3而B•&土M

C.yJa4b=a2*\[bD.Jd_f=xy/x—\

4.化简二吧得结果就是

)

V27

,V22

A.------B・--j=C正D.-72

3V33

二、填空题

1.化简J?+.2y2=(x20)

2.a?化简二次根式号后得结果就是________.

Va

三、综合提高题

1.已知a为实数，化简：JA-aJ二;，阅读下面得解答过程，请判断就是否正确？

若不正确，请写出正确得解答过程：

解：＞/_々3-a、----=aJ—a-a•一yj—ci—(a-1)yj—G.

Vaa

2.若x、y为实数，且y=一―4-,r+1求j+yQx-y得值.

答案：

一、1.C2.D3、C4、C

—、1.xjx,+y?2.-y/—ci—1

三、1.不正确，正确解答：

-/>o

因为11，所以a<0,

——>0

、a

原式=\[-a

X2-4>0

2.,,/-x-4=0,.*.x=±2,但•・,x+2关0,/.x=2,

4-x2>04

Jx+yJx-y

21、3二次根式得加减(1)

教学内容

二次根式得加减

教学目标

理解与掌握二次根式加减得方法.

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减得方法得理解.再总

结经验，用它来指导根式得计算与化简.

重难点关键

1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定就是否就是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

教师点评：上面题目得结果，实际上就是我们以前所学得同类项合并.同类项合并就就

是字母不变，系数相加减.

二、探索新知

学生活动：计算下列各式.

(1)2V2+3V2⑵2瓜-3瓜+5册

(3)币+2币(4)36-2石+及

老师点评：

(1)如果我们把&当成x,不就转化为上面得问题吗？

2夜+30=(2+3)72=572

(2)把花当成y；

2>/8-3y/?>+5A/8=(2-3+5)A/8=4V8=8\/2

(3)把正当成z；

币+2币+加不

—2y/1+2\/l+3y/y—(1+2+3)y/l—6y/1

(4)瞧为x,&瞧为y.

3^3-2\/3+y/l,

=(3-2)G+0

=y/3+

因此，二次根式得被开方数相同就是可以合并得，如2夜与血表面上瞧就是不相同

得，但它们可以合并吗？可以得.

(板书)3V2+V8=35/2+2V2=5V2

3>/3+A/27=35/3+3V3=6V3

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同得

二次根式进行合并.

例1.计算

(1)A/8+A/FS(2)A/16X+，64x

分析：第一步，将不就是最简二次根式得项化为最简二次根式；第二步，将相同得最简

二次根式进行合并.

解：(1)A/8+V18=2V2+3V2=(2+3)V2=5V2

(2)V16x+\/64x=4>/x+8Vx=(4+8)«=126

例2.计算

(1)3748-9^-+3712

(2)(V48+V20)+(V12-5/5)

解：(1)3遍-9心+3旧=12百-3百+6石=(12-3+6)6=15也

(2)(V48+V20)+(V12-V5)=V48+V20+V12-V5

—4+25/5+2-y/s—6>/3+5/5

三、巩固练习

教材P19练习1、2.

四、应用拓展

例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(g+y?)-(x。Q-5xg)得值.

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-l)2+(y-3)2=0,

即x=；,y=3.其次，根据二次根式得加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同

类二次根式，最后代入求值.

解：V4x2+y2-4x-6y+10=0

V4x2-4x+l+y2-6y+9=0

・•・(2x-l)2+(y-3)2=0

1

.,.x=—,y=3

2

=2x\[x+y/xy-x&+5y[xy

=x\fx+6y/xy

当x=;，y=3时，

原式=，x口+6F=立+3#

2\2V24

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）不就是最简二次根式得，应化成最简二次根式；（2）相同得最简

二次根式进行合并.

六、布置作业

1.习题16.31、2、3、5.

2.选作课时作业设计.

第一课时作业设计

一、选择题

1.以下二次根式：①疵；②万；③岛④历中,与6就是同类二次根式

得就是（）.

A.①与②B.②与③C.①与④D.③与④

2.下列各式：①36+3=66；②；力=1；③及+"=瓶=2夜；④答=2a,

其中错误得有（）.

A.3个B.2个C.1个D.0个

二、填空题

1.在血、派、乙廊、V125>3屈、-2，口中,与屈就是同

33aV8

类二次根式得有.

2.计算二次根式5&-3血-76+9后得最后结果就是.

三、综合提高题

1.已知236,求（底-旧）-（旧+g屈）得值.（结果精确到0、

01）

2.先化简，再求值.

X,)，其中x=g,y=27.

)-(4x

y

21、3二次根式得加减⑵

教学内容

利用二次根式化简得数学思想解应用题.

教学目标

运用二次根式、化简解应用题.

通过复习，将二次根式化成

被开方数相同得最简二次根式，进行合并后解应用题.

重难点关键

讲清如何解答应用题既就是本节课得重点，又就是本节课得难点、关键点.

教学过程

一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减得问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先

将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同得二次根式进行合并，下面我们

讲三道例题以做巩固.

二、探索新知

例1.如图所示得Rt^ABC中，/B=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒得

速度向点A移动；同时•，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒得速度向点C移动.问：

几秒后4PBQ得面积为35平方厘米？（结果用最简二次根式表示）

分析：设x秒后APEQ得面积为35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根据三角形面积

公式就可以求出x得值.

解：设x后aPBQ得面积为35平方厘米.

贝I」有PB=x,BQ=2x

依题意，得：—x,2x=35

2

X2=35

X=-735

所以屈秒后aPliQ得面积为35平方厘米.

答：后秒后aPBQ得面积为35平方厘米.

例2.要焊接如图所示得钢架，大约需要多少米钢材（精确到0、1m）?

分析：此框架就是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架得钢材，只需知道这四

段得长度.

解：由勾股定理，得

AB=^AD2+BDr=A/42+22=而

BC=^BD2+CD2=V22+l2=V5

所需钢材长度为

AB+BC+AC+BD

=2返+6+5+2=36+7-3X2、24+7^13、7（m）

答：要焊接一个如图所示得钢架，大约需要13、7m得钢材.

三、巩固练习

教材练习3

四、应用拓展

例3.若最简根式3畤4。+36与根式也访2-仁+劭2就是同类二次根式,求a、b得

值.（同类二次根式就就是被开方数相同得最简二次根式）

分析：同类二次根式就是指儿个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实

上，根式加一》+劭2不就是最简二次根式,因此把，2出?2一，+⑨2化简成

|b|,J2a—2+6,才由同类二次根式得定义得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J2a加-。3+6从化为最简二次根式:

d2abi-/73+6/匹=^Z?2(2«-l+6)=|b|•<2a-b+6

4a+3。=2a-b+6

由题意得

3a-b=2

2a+4b=6

3a—b=2

；.a=l,b=l