2025届新高考数学精准突破复习函数的图象与性质

2025届新高考数学精准突破复习函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合来命题.考情分析思维导图内容索引典型例题热点突破典例1

(1)(2023·沈阳模拟)设函数f(x)的定义域为(－1,3)，则函数g(x)

＝的定义域为A.(－2,1) B.(－2,0)∪(0,1)C.(0,1) D.(－∞，0)∪(0,1)√考点一函数的概念与表示解得－2<x<0或0<x<1，则函数g(x)的定义域为(－2,0)∪(0,1).(2)已知实数a∈R，函数f(x)＝

若f(1－a)>f(1＋a)，则实数a的取值范围是_____________________.(－2，－1)∪(0，＋∞)由题意知a≠0，①当a<0时，1－a>1,1＋a<1，∴－(1－a)>(1＋a)2＋2a，化简得a2＋3a＋2<0，解得－2<a<－1，又a<0，∴a∈(－2，－1)；②当a>0时，1－a<1,1＋a>1，∴(1－a)2＋2a>－(1＋a)，化简得a2＋a＋2>0，解得a∈R，又a>0，∴a∈(0，＋∞)，综上，实数a的取值范围是(－2，－1)∪(0，＋∞).跟踪训练1

(1)(2023·潍坊模拟)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有A.f(|x|)＝x3

B.f(sinx)＝x2C.f(x2＋2x)＝|x| D.f(|x|)＝x2＋1√对于A，令x＝1，得f(|1|)＝f(1)＝1；令x＝－1，得f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义，A错误；对于B，令x＝0，得f(sinx)＝f(0)＝0，令x＝π，得f(sinπ)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误；对于C，令x＝0，得f(0)＝0，令x＝－2，得f((－2)2＋2×(－2))＝f(0)＝2，不符合函数定义，C错误；对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，因为|x|≥0，则当x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确.(2)(2023·济宁模拟)已知a∈R，函数f(x)＝＝2，则a＝____.－1典例2

(1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cosx在区间

上的图象大致为考点二函数的图象√方法一(特值法)方法二令y＝f(x)，则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cosx＝－f(x)，所以函数y＝(3x－3－x)cosx是奇函数，排除B，D；(2)(多选)(2023·扬州模拟)函数f(x)的定义域为[－1,1)，其图象如图所示.函数g(x)是定义域为R的偶函数，满足g(x＋2)＝g(x)，且当x∈[－1,0]时，g(x)＝f(x).给出下列四个结论，其中正确的是A.g(1)＝B.函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称C.不等式g(x)>0的解集为RD.函数g(x)的单调递增区间为[2k,2k＋1]，k∈Z√√√对于A，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(1)＝g(－1)，对于B，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(－x)＝g(x)，又g(x＋2)＝g(x)，所以g(－x)＝g(－x－2)，所以g(－2－x)＝g(x)，所以函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称，故B正确；对于C，由题意知，g(0)＝f(0)＝0，故C错误；对于D，由题意知，g(x)在[－1,0]上单调递减，又g(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以g(x)在[0,1]上单调递增.又g(x＋2)＝g(x)，所以g(x)是以2为周期的周期函数，所以函数g(x)在[2k,2k＋1]，k∈Z上单调递增，故D正确.跟踪训练2

(1)已知函数f(x)＝

则函数y＝f(1－x)的大致图象是√方法一作函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到函数f(－x)的图象，再把函数f(－x)的图象向右平移1个单位长度即可得到函数f(1－x)的图象，如图.方法二因为函数f(x)＝所以函数f(1－x)＝当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0,3)，排除A；当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；当x<0时，1－x>1，f(1－x)＝

<0，排除C.(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是√对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；考点三函数的性质典例3

(1)(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋

为偶函数，则a＝____.2＝(x－1)2＋ax＋cosx＝x2＋(a－2)x＋1＋cosx，且函数为偶函数，∴a－2＝0，解得a＝2.经验证，当a＝2时满足题意.(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则A.f(0)＝0B.f(1)＝0C.f(x)是偶函数D.x＝0为f(x)的极小值点√√√方法一因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.方法二因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，对于A，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f(1)＝1f(1)＋1f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；令f′(x)<0，得0<x<；令f′(x)>0，得x>，故f(x)在

上单调递减，在

上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在

上单调递增，在

上单调递减，显然，此时x＝0是f(x)的极大值点，故D错误.跟踪训练3

(1)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)√∵f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.(2)(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均√√g(2＋x)＝g(2－x)，所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，则f(－1)＝f(4)，故C正确；所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(0)的函数值，故A错误.取符合题意的一个函数f(x)＝sinπx，则f′(x)＝πcosπx，即g(x)＝πcosπx，所以g(－1)＝πcos(－π)＝－π，g(2)＝πcos2π＝π，所以g(－1)≠g(2)，排除D.1.一是要熟练掌握基本初等函数的图象与性质，二是准确识记函数图象变换的规律，三是掌握函数图象识别的一些技巧，如利用图象的对称性、函数的符号等排除干扰项，从而得到正确选项.2.要准确理解函数的基本性质，把握自变量之间的关系与对应函数值之间的相互转化.总结提升1234567891011121.若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是A.[－1,1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0,1]C.[－1,0]∪[1，＋∞)D.[－1,0]∪[1,3]√因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，123456789101112则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3].1234567891011122.(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝

，则下列函数中为奇函数的是A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1√123456789101112则F(x)的定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；123456789101112则G(x)定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，是奇函数；123456789101112

为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.1234567891011123.(2023·滁州模拟)如图是下列某个函数在区间[－2,2]上的大致图象，则该函数是123456789101112√1234567891011121234567891011124.已知函数f(x)＝sinx＋

，则A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x＝π对称D.f(x)的图象关于直线x＝

对称√∴f(x)min<0，故A错误；123456789101112∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故B错误；∴f(π－x)≠f(π＋x)，∴f(x)的图象不关于直线x＝π对称，故C错误；1234567891011121234567891011125.(2023·菏泽模拟)已知函数f(x)＝

，则f(x)的图象可能为√f(x)的定义域为{x|x≠±1}，123456789101112所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，D；因为x2＋x－2<0，所以f(x)<0，所以排除B.1234567891011126.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则22k＝等于A.－3B.－2C.0D.1√123456789101112因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，

①所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1). ②由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，123456789101112所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.123456789101112在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，

＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.123456789101112由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，1234567891011127.(多选)(2023·威海模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，对任意的x1，x2∈(1,2)，且x1≠x2，都有

>0，则下列结论正确的是A.f(x)是奇函数B.f(2023)＝0C.f(x)的图象关于点(1,0)对称√√√根据题意，函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，则f(x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x＝2对称，则有f(2＋x)＝－f(－x)，f(－x)＝f(4＋x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)，f(x＋2)＝－f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，对于A，f(x)的图象关于点(1,0)对称，同时关于直线x＝2对称，则x＝0即y轴也是函数f(x)的对称轴，则f(x)为偶函数，A错误；123456789101112对于B，f(x)是周期为4的周期函数，则f(2023)＝f(3＋4×505)＝f(3)＝－f(1)＝0，B正确；对于C，f(x＋1)为奇函数，f(x)的图象关于点(1,0)对称，C正确；1234567891011121234567891011128.(多选)(2023·重庆模拟)已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上单调递增，下列说法正确的是A.函数f(x)的图象关于直线x＝4k－6(k∈Z)对称B.函数f(x)的单调递增区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)C.函数f(x)在区间(－2019,2019)上恰有1010个最值点D.若关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为

0或±4或±8√√√123456789101112由f(x－4)＝－f(x)得，f(x－4－4)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为8，因为f(x)是奇函数，所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，f(4－x)＝f(x)，对称轴为直线x＝2，根据f(x)在[0,2]上单调递增，可知f(x)在[－2,0]上也是单调递增的，得函数图象大致如下，123456789101112对于A，对称轴为x＝2＋4k(k∈Z)，x＝4k－6＝4(k－2)＋2(k∈Z)，故A正确；对于B，单调递增区间为[8k－2,8k＋2](k∈Z)，[8k－6,8k－2]＝[8(k－1)＋2,8(k－1)＋6](k∈Z)是单调递减区间，故B错误；对于C,2019－(－2019)＝4038＝504×8＋6，共有504个周期多6，函数f(x)在每个周期上有2个最值点，在504个完整的周期上有504×2＝1008(个)最值点，123456789101112在(－2019，－2016)上有1个最值点，在(2016,2019)上有1个最值点，共有1008＋2＝1010(个)最值点，故C正确；123456789101112对于D，若m＝m1

＝最大值，如图中所示，则所有根之和为－6＋2＝－4，若0<m＝m2<最大值，如图中所示，则所有根之和为－6×2＋2×2＝－8，若m＝0，则所有根之和为0，若最小值<m＝m3<0，如图中所示，则所有根之和为2×(－2)＋2×6＝8，若m＝m4＝最小值，如图中所示，则所有根之和为－2＋6＝4，故D正确.1234567891011129.(2023·沧州模拟)已知函数f(x)＝xln(ex＋a)－

是奇函数，则a＝__.1123456789101112123456789101112所以f(－1)＝－f(1)，即a－ea＝a(1－e)＝1－e，解得a＝1，此时f(x)的定义域为R，满足题意.10.(2023·菏泽模拟)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数_______________________________.①当x1，x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x)为偶函数.若满足①对任意的x1，x2≥0有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)成立，则对应的函数为指数函数y＝ax的形式；若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，所以满足①②两个条件的非常数函数可以是f(x)＝a|x|(a>0，a≠1).123456789101112f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)(答案不唯一)11.(2023·宣城模拟)已知函数f(x)＝

，则不等式2xf(x)－3<0的解集是________.123456789101112(－1,1)令g(x)＝xf(x)＝x(2