广东省广州市八区联考2024年高三下学期联考数学试题含解析

广东省广州市八区联考2024年高三下学期联考数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知非零向量满足，若夹角的余弦值为，且，则实数的值为（）A． B． C．或 D．2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B．C． D．3．已知函数满足：当时，，且对任意，都有，则（）A．0 B．1 C．-1 D．4．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）5．已知是第二象限的角，，则()A． B． C． D．6．复数的模为（）．A． B．1 C．2 D．7．设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若，则的值为()A．1 B． C． D．8．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若，则λ＋μ的值为（）A． B． C． D．9．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于()A． B． C． D．10．已知非零向量满足，，且与的夹角为，则（）A．6 B． C． D．311．已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（）A． B． C． D．12．直线x-3y+3=0经过椭圆x2a2+y2bA．3-1 B．3-12 C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设为抛物线的焦点，为上互相不重合的三点，且、、成等差数列，若线段的垂直平分线与轴交于，则的坐标为_______.14．已知抛物线，点为抛物线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，则线段长度的取值范围为__________.15．如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为______.16．己知函数，若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）等差数列的前项和为，已知，.（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和为；（Ⅱ）设为数列的前项的和，求证：.18．（12分）已知，，函数的最小值为.（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的最大值.19．（12分）已知函数.（1）讨论的零点个数；（2）证明：当时，.20．（12分）中的内角，，的对边分别是，，，若，.（1）求；（2）若，点为边上一点，且，求的面积.21．（12分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：表1：新农合门诊报销比例医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院门诊报销比例60%40%30%20%根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表医院类别村卫生室镇卫生院二甲医院三甲医院一个结算年度内各门诊就诊人次占李村总就诊人次的比例70%10%15%5%如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）的分布列与期望．22．（10分）在直角坐标系中，已知圆，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长.（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线，其中与圆M交于O，A两点，与圆M交于O，B两点，求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据向量垂直则数量积为零，结合以及夹角的余弦值，即可求得参数值.【详解】依题意，得，即.将代入可得，，解得（舍去）.故选：D.【点睛】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.2、B【解析】

由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的，如图，故其表面积为，故选：B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．3、C【解析】

由题意可知，代入函数表达式即可得解.【详解】由可知函数是周期为4的函数，.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.4、D【解析】

原问题转化为有四个不同的实根，换元处理令t，对g（t）进行零点个数讨论.【详解】由题意，a＞2，令t，则f（x）＝a⇔⇔⇔⇔．记g（t）．当t＜2时，g（t）＝2ln（﹣t）（t）单调递减，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则⇔，记h（t）（t＞2且t≠2），则h′（t）．令φ（t），则φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，则h（t）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．由，可得，即a＜2．∴实数a的取值范围是（2，2）．故选：D．【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.5、D【解析】

利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【详解】因为,由诱导公式可得,,即,因为,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故选:D【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.6、D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：，复数的模为．故选：D．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．7、B【解析】

设，通过，再利用向量的加减运算可得，结合条件即可得解.【详解】设，则有.又，所以，有.故选B.【点睛】本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题.8、B【解析】

建立平面直角坐标系，用坐标表示，利用，列出方程组求解即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，解得则.故选：B【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.9、A【解析】

设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为因为点在角的终边上，所以依题有,则，所以，故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.10、D【解析】

利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可．【详解】解：非零向量，满足，可知两个向量垂直，，且与的夹角为，说明以向量，为邻边，为对角线的平行四边形是正方形，所以则．故选：．【点睛】本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．11、A【解析】

设出A，B的坐标，利用导数求出过A，B的切线的斜率，结合，可得x1x2＝﹣1．再写出OA，OB所在直线的斜率，作积得答案．【详解】解：设A（），B（），由抛物线C：x2＝1y，得，则y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故选：A．点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A,B,,再求切线PA,PB方程，求点P坐标，再根据得到最后求直线与的斜率之积.如果先设点P的坐标，计算量就大一些.12、A【解析】

由直线x-3y+3=0过椭圆的左焦点F，得到左焦点为再由FC=2CA，求得A3【详解】由题意，直线x-3y+3=0经过椭圆的左焦点F，令所以c=3，即椭圆的左焦点为F(-3,0)直线交y轴于C(0,1)，所以，OF=因为FC=2CA，所以FA=3又由点A在椭圆上，得3a由①②，可得4a2-24所以e2所以椭圆的离心率为e=3故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程，即可得二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解析】

设出三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可.【详解】抛物线的准线方程为：，设，由抛物线的定义可知：，，，因为、、成等差数列，所以有，所以，因为线段的垂直平分线与轴交于，所以，因此有，化简整理得：或.若，由可知；，这与已知矛盾，故舍去；若，所以有，因此.故答案为：或【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.14、【解析】

连接，易得，可得四边形的面积为，从而可得，进而求出的取值范围，可求得的范围.【详解】如图，连接，易得，所以四边形的面积为，且四边形的面积为三角形面积的两倍，所以，所以，当最小时，最小，设点，则，所以当时，，则，当点的横坐标时，，此时，因为随着的增大而增大，所以的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查抛物线上的动点到定点的距离的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.15、【解析】

分两种情况讨论：（1）斜边在BC上，设，则，（2）若在若一条直角边在上，设，则，进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值.【详解】（1）斜边在上，设，则，则，，从而.当时，此时，符合.（2）若一条直角边在上，设，则，则，，由知.，当时，，单调递增，当时，，单调递减，.当，即时，最大.故答案为：.【点睛】此题考查实际问题中导数，三角函数和函数单调性的综合应用，注意分类讨论把所有情况考虑完全，属于一般性题目.16、【解析】

首先判断出函数为定义在上的奇函数，且在定义域上单调递增，由此不等式对任意的恒成立，可转化为在上恒成立，进而建立不等式组，解出即可得到答案．【详解】解：函数的定义域为，且，函数为奇函数，当时，函数，显然此时函数为增函数，函数为定义在上的增函数，不等式即为，在上恒成立，，解得．故答案为．【点睛】本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，属于常规题目．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ），（Ⅱ）见解析【解析】

（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案.（Ⅱ），根据裂项求和法计算得到得到证明.【详解】（Ⅰ）等差数列的公差为，由，得，，即，，解得，.∴，.（Ⅱ），∴，∴，即.【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18、（1）见解析；（2）最大值为.【解析】

（1）将函数表示为分段函数，利用函数的单调性求出该函数的最小值，进而可证得结论成立；（2）由可得出，并将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，进而可得出实数的最大值.【详解】（1）.当时，函数单调递减，则；当时，函数单调递增，则；当时，函数单调递增，则.综上所述，，所以；（2）因为恒成立，且，，所以恒成立，即.因为，当且仅当时等号成立，所以，实数的最大值为.【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19、（1）见解析（2）见解析【解析】

（1）求出，分别以当，，时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.（2）令，结合导数求出；同理可求出满足，从而可得，进而证明.【详解】解析：（1），，当时，，单调递减，，，此时有1个零点；当时，无零点；当时，由得，由得，∴在单调递减，在单调递增，∴在处取得最小值，若，则，此时没有零点；若，则，此时有1个零点；若，则，，求导易得，此时在，上各有1个零点.综上可得时，没有零点，或时，有1个零点，时，有2个零点.（2）令，则，当时，；当时，，∴.令，则，当时，，当时，，∴，∴，，∴，即.【点睛】本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明.20、（1）（2）10【解析】

（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根据二倍角的余弦公式计算即可；（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知计算出与，再根据三角形的面积公式求出结果即可.【详解】（1），，在中，由正弦定理得，，又，，，（2），，，由余弦定理得，，则，化简得，，解得或（负值舍去），，，，，，的面积.【点睛】本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的应用