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文档简介

广东省广州市越秀区荔湾区2023-2024学年高考考前模拟数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列的前n项和为,,且对于任意,满足,则()A. B. C. D.2.函数的对称轴不可能为()A. B. C. D.3.已知函,,则的最小值为()A. B.1 C.0 D.4.已知函数满足,当时,,则()A.或 B.或C.或 D.或5.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为()A. B.C. D.6.函数(,,)的部分图象如图所示,则的值分别为()A.2,0 B.2, C.2, D.2,7.已知双曲线的左,右焦点分别为,O为坐标原点,P为双曲线在第一象限上的点,直线PO,分别交双曲线C的左,右支于另一点,且,则双曲线的离心率为()A. B.3 C.2 D.8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如:,,,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数,其和等于16的概率为()A. B. C. D.9.数列满足,且,,则()A. B.9 C. D.710.已知函数,且的图象经过第一、二、四象限,则,,的大小关系为()A. B.C. D.11.设M是边BC上任意一点,N为AM的中点,若,则的值为()A.1 B. C. D.12.已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,,若,则的值为()A.1 B.-1 C.8l D.-81二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.实数满足,则的最大值为_____.14.已知数列与均为等差数列(),且,则______.15.已知是等比数列,且,,则__________,的最大值为__________.16.为激发学生团结协作,敢于拼搏,不言放弃的精神,某校高三5个班进行班级间的拔河比赛.每两班之间只比赛1场,目前(—)班已赛了4场,(二)班已赛了3场,(三)班已赛了2场,(四)班已赛了1场.则目前(五)班已经参加比赛的场次为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知凸边形的面积为1,边长,,其内部一点到边的距离分别为.求证:.18.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线与曲线交于点,将射线绕极点逆时针方向旋转交曲线于点.(1)求曲线的参数方程;(2)求面积的最大值.19.(12分)如图,点是以为直径的圆上异于、的一点,直角梯形所在平面与圆所在平面垂直,且,.(1)证明:平面;(2)求点到平面的距离.20.(12分)直线与抛物线相交于,两点,且,若,到轴距离的乘积为.(1)求的方程;(2)设点为抛物线的焦点,当面积最小时,求直线的方程.21.(12分)《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;2020年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.选考科目成绩计入考生总成绩时,将至等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到、、、、、、、八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.(1)求物理原始成绩在区间的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记表示这3人中等级成绩在区间的人数,求的分布列和数学期望.(附:若随机变量,则,,)22.(10分)已知函数,函数在点处的切线斜率为0.(1)试用含有的式子表示,并讨论的单调性;(2)对于函数图象上的不同两点,,如果在函数图象上存在点,使得在点处的切线,则称存在“跟随切线”.特别地,当时,又称存在“中值跟随切线”.试问:函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”,若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式,然后求解数列的和,判断选项的正误即可.【详解】当时,.所以数列从第2项起为等差数列,,所以,,.,,.故选:.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.2、D【解析】

由条件利用余弦函数的图象的对称性,得出结论.【详解】对于函数,令,解得,当时,函数的对称轴为,,.故选:D.【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性,属于基础题.3、B【解析】

,利用整体换元法求最小值.【详解】由已知,又,,故当,即时,.故选:B.【点睛】本题考查整体换元法求正弦型函数的最值,涉及到二倍角公式的应用,是一道中档题.4、C【解析】

简单判断可知函数关于对称,然后根据函数的单调性,并计算,结合对称性,可得结果.【详解】由,可知函数关于对称当时,,可知在单调递增则又函数关于对称,所以且在单调递减,所以或,故或所以或故选:C【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式,抽象函数给出式子的意义,比如:,,考验分析能力,属中档题.5、B【解析】

列出循环的每一步,进而可求得输出的值.【详解】根据程序框图,执行循环前:,,,执行第一次循环时:,,所以:不成立.继续进行循环,…,当,时,成立,,由于不成立,执行下一次循环,,,成立,,成立,输出的的值为.故选:B.【点睛】本题考查的知识要点:程序框图的循环结构和条件结构的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.6、D【解析】

由题意结合函数的图象,求出周期,根据周期公式求出,求出,根据函数的图象过点,求出,即可求得答案【详解】由函数图象可知:,函数的图象过点,,则故选【点睛】本题主要考查的是的图像的运用,在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件,计算三角函数的周期、最值,代入已知点坐标求出结果7、D【解析】

本道题结合双曲线的性质以及余弦定理,建立关于a与c的等式,计算离心率,即可.【详解】结合题意,绘图,结合双曲线性质可以得到PO=MO,而,结合四边形对角线平分,可得四边形为平行四边形,结合,故对三角形运用余弦定理,得到,而结合,可得,,代入上式子中,得到,结合离心率满足,即可得出,故选D.【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质,难度偏难.8、B【解析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果,然后再求出其和等于16的结果,根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解:不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17共7个,从中随机选取两个不同的数共有,其和等于16的结果,共2种等可能的结果,故概率.故选:B.【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到,属于基础题.9、A【解析】

先由题意可得数列为等差数列,再根据,,可求出公差,即可求出.【详解】数列满足,则数列为等差数列,,,,,,,故选:.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.10、C【解析】

根据题意,得,,则为减函数,从而得出函数的单调性,可比较和,而,比较,即可比较.【详解】因为,且的图象经过第一、二、四象限,所以,,所以函数为减函数,函数在上单调递减,在上单调递增,又因为,所以,又,,则|,即,所以.故选:C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小,还考查化简能力和转化思想.11、B【解析】

设,通过,再利用向量的加减运算可得,结合条件即可得解.【详解】设,则有.又,所以,有.故选B.【点睛】本题考查了向量共线及向量运算知识,利用向量共线及向量运算知识,用基底向量向量来表示所求向量,利用平面向量表示法唯一来解决问题.12、B【解析】

根据二项式系数的性质,可求得,再通过赋值求得以及结果即可.【详解】因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,故可得,令,故可得,又因为,令,则,解得令,则.故选:B.【点睛】本题考查二项式系数的性质,以及通过赋值法求系数之和,属综合基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、.【解析】

画出可行域,解出可行域的顶点坐标,代入目标函数求出相应的数值,比较大小得到目标函数最值.【详解】解:作出可行域,如图所示,则当直线过点时直线的截距最大,z取最大值.由同理,,取最大值.故答案为:.【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以对于一般的线性规划问题,若可行域是一个封闭的图形,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值;若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.14、20【解析】

设等差数列的公差为,由数列为等差数列,且,根据等差中项的性质可得,,解方程求出公差,代入等差数列的通项公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为,由数列为等差数列知,,因为,所以,解得,所以数列的通项公式为,所以.故答案为:【点睛】本题考查等差数列的概念及其通项公式和等差中项;考查运算求解能力;等差中项的运用是求解本题的关键;属于基础题.15、5【解析】,即的最大值为16、2【解析】

根据比赛场次,分析,画出图象,计算结果.【详解】画图所示,可知目前(五)班已经赛了2场.故答案为:2【点睛】本题考查推理,计数原理的图形表示,意在考查数形结合分析问题的能力,属于基础题型.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析【解析】

由已知,易得,所以利用柯西不等式和基本不等式即可证明.【详解】因为凸边形的面积为1,所以,所以(由柯西不等式得)(由均值不等式得)【点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题,考查学生对不等式灵活运用的能力,是一道容易题.18、(1)(为参数);(2).【解析】

(1)根据伸缩变换结合曲线的参数方程可得出曲线的参数方程;(2)将曲线的方程化为普通方程,然后化为极坐标方程,设点的极坐标为,点的极坐标为,将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程,得出和关于的表达式,然后利用三角恒等变换思想即可求出面积的最大值.【详解】(1)由于曲线的参数方程为(为参数),将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线,则曲线的参数方程为(为参数);(2)将曲线的参数方程化为普通方程得,化为极坐标方程得,即,设点的极坐标为,点的极坐标为,将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得,,的面积为,当时,的面积取到最大值.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化,考查了伸缩变换,同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题,要熟悉极坐标方程所适用的基本类型,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.19、(1)见解析;(2)【解析】

(1)取的中点,证明,则平面平面,则可证平面.(2)利用,是平面的高,容易求.,再求,则点到平面的距离可求.【详解】解:(1)如图:取的中点,连接、.在中,是的中点,是的中点,平面平面,故平面在直角梯形中,,且,∴四边形是平行四边形,,同理平面又,故平面平面,又平面平面.(2)是圆的直径,点是圆上异于、的一点,又∵平面平面,平面平面平面,可得是三棱锥的高线.在直角梯形中,.设到平面的距离为,则,即由已知得,由余弦定理易知:,则解得,即点到平面的距离为故答案为:.【点睛】考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法,是中档题.20、(1);(2)【解析】

(1)设出两点的坐标,由距离之积为16,可得.利用向量的数量积坐标运算,将转化为.再利用两点均在抛物线上,即可求得p的值,从而求出抛物线的方程;(2)设出直线l的方程,代入抛物线方程,由韦达定理发现直线l恒过定点,将面积用参数t表示,求出其最值,并得出此时的直线方程.【详解】解:(1)由题设,因为,到轴的距离的积为,所以,又因为,,,所以抛物线的方程为.(2)因为直线与抛物线两个公共点,所以的斜率不为,所以设联立,得,即,,即直线恒过定点,所以,当时,面积取得最小值,此时.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程的求法,直线与抛物线相交的问题,其中垂直条件的转化,直线过定点均为该题的关键,属于综合性较强的题.21、(Ⅰ)1636人;(Ⅱ)见解析.【解析】

(Ⅰ)根据正态曲线的对称性,可将区间分为和两种情况,然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率,进而可求出相应的人数;(Ⅱ)由题意得成绩在区间[61,80]的概率为,且,由此可得的分布列和数学期望.【详解】(Ⅰ)因为物理原始成绩,所以.所以物理原始成绩在(47,86)的人数为(人).(Ⅱ)由题意得,随机抽取1人,其成绩在区间[61,80]内的概率为.所以随机抽取三人,则的所有可能取值为0,1,2,3,且,所以,,,.

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