2023年辽宁省丹东市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2023年辽宁省丹东市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

C：—4-^=1

1.已知三角形的两个顶点是椭圆2516的两个焦点，第三个

顶点在c上，则该三角形的周长为（）。

A.10B.20C.16D.26

2.设a>b>l,则（）

A.A.loga2>logb2

B.log2a>log2b

C.log0,5a>log05b

D.logb0.5>loga0.5

（工=3+2i,

{_a为参数）

3.设直线的参数方程为,则此直线在y轴上的截距

是（）

A.5B.-5C.5/2D.-5/2

4.若函数f（x）=ax2+2ax（a>；0）,则下列式子正确的是

A.f（-2）>f（1）

B.f(-2)<f(1)

C.f(-2)=f(1)

D.不能确定f(-2)和f⑴的大小

5.f(x)为偶函数，在(0,+oo)上为减函数，若=f(一舟<0,，

则方程f(x)=0的根的个数是

A.2B.2或C.3D.2或3

6.在AAB(,中.己切AB=g.AC=2,BC=l・IH!«inA^^()

A.A.0

B.1

D.1

已知正方形48cb,以4C为焦点，且过8点的椭圆的离心率为()

&31

(A)&

h-]

有6人站成一排,其中有亲姐妹3人恰好相邻的概率为

(B号

下列四组中的函数/(x),g(x)表示同一函数的是()

(A)/(x)=I,g(x)=x°(B)/(x)=X,g(x)=一

X

9(C)f(x)=x:,g(x)=(7x)4(D)/(x)=x},g(x)=

10.如果不共线的向量a和b有相等的长度,则(a+b)(a-b)=()

A.0B,1C,-lD.2

11.9种产品有3种是名牌，要从这9种产品中选5种参加博览会，如

果名牌产品全部参加，那么不同的选法共有()

A.A.30种B.12种C.15种D.36种

12.若,则下列不等式成立的是()

A.A.f(l/4)>f(l/3)>f(2)

B.f(2)>f(l/3)>f(l/4)

C.f(l/4)>f(2)>f(l/3)

D.f(l/3)>f(2)>f(l/4)

13.

(16)若三棱锥的三个便面都是边长为1的等边三角形,则该三棱锥的高为

(A)李(B)亨

(C)亨(D)当

已知c。8aMi■，且a为锐角，则sin(a+*)=()

小3"+4

(A)10(B)"十3

小26+3

14.(C)

15.设甲：△>(),乙：ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则()

A.甲是乙的必要条件，但不是充分条件

B.甲是乙的充分条件，但不是必要条件

C.甲是乙的充分必要条件

D.甲不是乙的充分条件，也不是必要条件

~4cos

设Fi㈤分别是椭圆厂-'”为参数)的焦点，并且Bi是该椭圆短轴的一个端

16.点,的面积等于()

A.A.\\

B.

C?

D.-V7

17.圆柱的轴截面面积等于10,体积为571,它的母线长和侧面积分别是

()

A.5和10兀B.5兀和10C.5和25兀D.10和A兀

已知函数/(工)+3X+1,则〃x+l)=()

(A)*1+3x+2(B)x1+3*+5

18.(C)?+5x+5(D)xJ+3x+6

19.过点（0,1）且与直线x+y+l=O垂直的直线方程为（）。

A.y=x+1B,y=2x+1C,y=xD.y=x-1

20*,小雨数+*的般小值为（）

A.A.

B.5

C.c.&、

D.

21.已知复收347.其中Q.6eR.旦

,1

A.I?l^ld-?B.It1s|aPs?

C.I«JID.I?I

22.设0<x<l,则()

A.log2x>0

B.0<2x<1

log]x<0

C.2

D.l<2X<2

设。＞1,则

（D）

(A)10g2Vo(B)logjo>0(C)眇।

23.li

-1

24.已知双曲线”：>的离心率为3,则m=()

A.4

B.1

1

C.3

D.2

25.普方程/-“♦力+2丫=0聂示两条".*》1的取值・八.1B.-lC.2D.-2

26.某学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙、丙三门课程至少选修

两门，则不同的选课方案共有()

A.4种B.18种C.22种D.26种

等差数列{4}中,若q=2,%=6，则%二

27<A)3(B)4(C)8(D)12

28.不等式|2x-3|目的解集为()。

A.{x|l<x<2}B.{x|x<-1或才2}C.{x|l<x<3}D.{x|2<x<3}

29.设a,b是两条不同的直线，a,是两个不同的平面，以下四个命

题中正确的命题的个数是()

①若L)3,则a1R

-,-1)Wfa，a;aIij»jl*)Q_[[i.

③若则a//a或uUZ

al.b.aI♦邮Ib〃a.

A.A.l个B.2个C.3个D.4个

30.已知正方形ABCD,以A,C为焦点，且过B点的椭圆的离心率为

()

A.A.

互+I

B.丁

立

C.2

戊-I

D.~

二、填空题(20题)

已知随机变Ute的分布列为

e卜10123

PI0.I0.10.40.30」

31.JWEf-

已知球的半径为1，它的一个小圆的面积是这个球表面积的右，则球心到这个小

32.圜所在的平面的距离是_____.

33.

若平面向量a=(x,1),&=(1,-2),且2〃13,则x=.

34.已知i,j,k为单位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k则a*b=

某射手有3发子弹，射击一次，命中率是0.8,如果命中就停止射击，否则一直射到

35.f弹用完为止,那么这个射手用子弹数的期望值是______•

6。82+2)

36.函数’的定义域是

.等此竽名＞0的解集为______

37.(1+外

38.已知A(-1,-1)B(3,7)两点，则线段AB的垂直平分线方程为

39.

(18)从T袋装食品中抽取5袋分JM称重,结果(单位：。如下：

98.6,100.1.101.4,99.5,102.2,

读样本的方差为_______________(/)(精•到0.1/).

40.

41.顶点在原点、焦点在x轴上且通径(过焦点和对称轴垂直的弦)长为

6的抛物线方程为.

42.一个圆柱的底面半径和高都与一个球的直径相等，则该圆柱与该球

的体积的比为

43.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A与B1D1所成的角的度

数为________

44.等裳敷到门J中.若4=10.MS..=

45椭圆4丫的离心率为。

46.不等式(2x+1)/(1-2x)的解集为.

47.经验表明，某种药物的固定剂量会使心率增加，现有8个病人服用

同一剂量的这种药，心率增加的次数分别为131514108121311,则该

样本的样本方差为

48.

设y=co&r-sinx,则=________________.

已知球的一个小圆的面枳为x,球心到小圈所在平面的即因为五,则这个球的

49.&曲枳为-

50.

若不等式|ar+1IV2的解集为卜|一日Vz＜十•卜则a=.

三、简答题(10题)

51.

(本小题满分12分)

△A8c中，已知a1+c2-is=%且lo&sinA+lo&sinC=-1，面积为acm'.求它一：

出的长和三个角的度数・

52.

(本小题满分12分)

已知参数方程

'x=—(e1+e")cosd,

y=^-(e-e^)»inft

(1)若，为不等于零的常量，方程表示什么曲线？

(2)若伙80y.AeN.)为常量.方程表示什么曲线？

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点•

53.(本小题满分12分)

已知等差数列｛an｝中，al=9,a3+a8=0.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值,并求该最大值.

54.

(本小题满分13分)

巳知函数Hz)=x-2jx.

(1)求函数y=/(*)的单调区间.并指出它在各单调区间上是增函数还是减函数;

(2)求函数y=/(x)在区间［0.4］上的最大值和最小值.

(25)(本小题满分】3分)

已知抛物线/=会，。为坐标原点产为抛物线的焦点・

(I)求10/1的值；

(n)求抛物线上点P的坐标,使的面积为差

55.

56.

(24)(本小题满分12分)

在44g中,4=45。,8=60。,3=2,求44^的面积.(精确到0.01)

57.

(本小题满分13分)

如图,已知椭8SG：l+/=1与双曲线G：^-/=i(<»>i).

aa

⑴设eg分别是a，G的离心率，证明e,«,<i；

(2)设4H是G长轴的两个端点,尸(颉,%)(卜/>。)在G上，直线尸4与G的

另一个交点为。,直线尸名与£的另一个交点为七证明QR平行于y轴.

58.

（本小题满分12分）

已知数列la.l中=2.a.“=y<».-

（I）求数列|a.l的通项公式；

（H）若数列｛a1的前"项的和s.=器，求”的值•

10

59.

（本小题满分12分）

在包工+1）7的展开式中,为3的系数是％2的系数与％4的系数的等差中项,

若实数a>l,求a的值.

60.

（本小题满分13分）

2sin0cos04—

设函数=[O.f

⑴求/（布；

（2）求/“）的最小值.

四、解答题（10题）

更]

设南数-.•c[0,J

nintf.CCM0*2

什)求/(1)；

(2)求人6)的最小值.

62.

已知圆的方程为£+/+ax+2y+£=0,一定点为4(1,2),要使其过定点4(1,2)

作圆的切线有两条，求a的取值范围.

已知等差数列I41中,。I=9,a3+a,=0.

(1)求数列Ia1的通项公式；

63.(2)当“为何值时，数列la”I的前n项和S.取得最大值，并求该最大值.

64.如图：在三棱柱P-ABC中，侧面PACJ_底面ABC,

PA=BC=a,PC=AB=2a,ZAPC=60°,D为AC的中点

⑴求证：PA±AB

(2)求二面角P-BD-A的大小

(3)求点A到平面PBD的距离

65设函数八与=1。叼%将,

(I)求f(x)的定义域；

(II)求使f(x)>0的所有x的值

66.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,当x=-l时，取得极大值8,当x=2

时，取得极大值-19.

(I)求y=f(x)；

(II)求曲线y=f(x)在点(-1,8)处的切线方程.

67.已知函数f(x)=(x2+ax+2)ex(x,a£R).

(I)当a=0时，求函数f(x)的图象在点A(l,f(l))处的切线方程；

(II)当a=-5/2时,求函数f(x)的极小值.

两条直线X+2ay-1=0与(3a-l)x-ay-l=0平行的充要条件是什么？

68.

69.为了测河的宽，在岸边选定两点A和B,望对岸标记物C,测得N

CAB=30°,ZCBA=75°,AB=120m,求河的宽.

在数列（a.）中，®=l.S.=ai

（I）求证I数列（SJ是等比数

70.

五、单选题(2题)

(2)设函数■/•】.则人士+2).

(A)***4«*5(B)?+4«♦3

7](C)♦2«♦5(D)?4.3

设甲：x=l.

乙：XJ=1,

则

（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

（B）甲是乙的充分必要条件

（C）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

72.D）甲BE不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

六、单选题（1题）

73.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数学且数字1与2不相邻的五位数有

A.36个B.72个C.120个D.96个

参考答案

1.C

该小题主要考查的知识点为椭圆的性质.

椭圆的两个焦点的距离为2c=

2，一一折=6.又因为第三个蹊点在C上，则该

点与两个焦点间的距离的和为2a=2X5=10,则

【考试指导】三角形的周长为10+616.

2.B

.[工=工1+(工，一工1),

立强的参数方程为fy.

..fx-3+2i.e=3•工15,

3.C

直位彳晟人才=3]=>y=3+yQ上的.氨力卷.

，JW■dv£*

4.B

解法1由a>0,二次函数的图像开口向上，对称轴为工=-*-1，所以/(-2W(1),

解法2,f(-2)=4a-4a=0,f(l)=a+2a=3a>0,所以f(-2)<f(l).

【解题指要】本题考查一元二次函数的知识.在研究二次函数的过程

中，要充分利用二次函数的图像辅助研究.

5.A

由已知f(x)为偶函数，所以f(x)关于y轴对称

得/("1")=/'(一十)〉o.

y（V3）=/<-73X0.

由函敷逐块性如，工由一6变化到--，•晶敦值

由负更为正,工由十变化到G.雷数值由正更为

负.故方程/（x）=0的根的个数是2（用国灰示.

姬下田）.

6.D

由余弦定理有00aA=殁衿等=超噌0■4，

ZAB-AC2X^X22

A="|■•则sinA^sin-^-3y.(#<为D)

7.C

8.B

9.D

10.A(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,V|a|=|b|,.\|a|2-|b|2=0.

ll.C

12.A

/（力=logi=在其定义域（0.+oo）上是单调Ji函数.

根据函数的单调性答案为A）

13.C

14.B

15.C甲△＞。台一乙：ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.

16.B

消去参数,将参数方程化为普通方程.R,F：分别是椭厕三+苫=1的焦点，

43

a=4,6=3・c=，4,一一尹二收■

则△EFIBI的面职等于$X2"X3=3C.（需案为B）

17.A

求母线的长，可从圆柱的截面积中求出.如图，S截面=2rxL=10,rL=5

①V=7ir2xL=57i-FL=5②②/①r=l/..L=5,S侧

=2TJTxL=2TIx1x5=10兀.

18.C

19.A该小题主要考查的知识点为直线的性质.【考试指导】与直线

x+y+l=0垂直的直线的斜率为1,又因为该直线过（0,1）点，故该直线

方程为y-l=lx（x—0）=>y=x+l.

20.A

尸底+皮=（任一§），+2痣》2瓜最小值为2痣.（答案为A）

21.C

cm折：/I・I（・♦加）.，J♦”广♦炉；4r"）'・・'♦/：八（・十

8户“-炉♦Zatt.lfcjBC

22.D

log]JT>0

当0<x<l时，l<2x<2,log2x<0,i.

23.B

24.C

由题知，a2=m,b2=4,c=巧溟=血77,其离心率厢',故

1

m二­

2.

25.A

A♦析:才用可分•为+2（*.若其有.条有段必使力•蝎式.我当时原方

兴可分解为（，=0."小帚条立或**y*2=0*0*♦>-0.

26.C

某学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙、丙三门深程至少选修两门.

则不同的选课方案共由-CJC+Cfa=18+4=22.（答案为C）

27.B

28.A该小题主要考查的知识点为不等式的解集.【考试指导】|2x-3|S=>-

29.C

只有①不正确.（答案为C）

30.C

31.E^=-1x0.1+0x0.1+1x0.4+2x0.3+3x0,1=1.2.（答案为

1.2）

巨

32.3

33.

【答案】-1/2

【解析】该小题主要考查的知识点为平行向量的性质.

【考试指导】

由于a〃b.故与=即x=一■

1-LL

34.答案：0解析：由向量是内积坐标式，坐标向量的性质得:

=k2=l,i•j=j•k=i・k=Q

«=i+j,b=-i+j—k,得;

a*b

=-i2+7

=-1+1

=0.

35」216

36.{x|-2<x<-l,且x#-3/2}

log|（x+2）>0f°<x+2Cl

5x+2>02=>_2<工《-1,且工会一年，

,o°

［2H+3WO产#-T

x/logl（x+2）3、

所以函y=----,-----的定义域是{”I—2VHW-1,且n#—y}.

o。十34

37x>-2,H.x#-1

38.答案：x+2y-7=0解析：设线段的垂直平分线上任一点为P（x,y）

«IPA|=IPBI.jp

\4］一（—1）了+［,_（_］）］：

=，（工一3>+（y-7）2.

整理得，z+2y—7=0.

39.

40仆)1.7

4Ly2=±6x设抛物线的方程为：ysup>2=±2px,则焦点F(±p/2,0),所以

有(6/2)2=±2p(土p/2),得p=±3故抛物线方程为：y2=±6x

42.

43.

44.

11。集新通K公・为J.■.(a,-44)*y<4,■&■ylll,*

«,.)xllslio

45.

叵

c-

由题可知,a=2,b=L故c工而^■石,禺心率n2

46.{x|-l/2<x<1/2}

然,g

①的解集为一;VeV：•②的“集为0・

<x|—U0=e<xl---1-<JF<-1-h

47.

48.

y=-sirkr-costr•(答案为"sinrcosx)

49.

12K

50.

【答案】2

【解析】该小题主要考查的知识点为不等式的解集.

【考试指导】

Ior+1|V2=>—2Vor+1V2=>

31

-----VzV一，由题意知a=2.

a---------a

51.

24.解因为，+J-b*="，所以

即cosB=/，而B为△A6C内角.

所以B=60°.又log^iaA+log4sinC=-1所以sin4-sinC=:.

My[c(»(4-C)-COB(A+C)]=/.

所以cos(4-C)-BA120。=；,即cos(4-C)=0

z

所以4-C=90。或4-C=-90。.又A+C=120。，

解得A«105°,C=15°；j#A=15°,C=105°.

因为5^4*：=*aAsinC=2/?J!<in?l8inBsinC

=2*.■+■.0.国二立=3转

4244

所以为S所以R=2

所以a=2加门4=2x2xsinl05°=(网+&)(cm)

b=IRsinB=2x2xsin600=27?(cm)

c=2RmC=2x2x»inl5°=(而

或a=(^6-JI)(cm)b=275(cm)c=(笈+&)(cm)

苏.二初长分别为(网♦万)<、m.25cm、(石-&)cm,它们的对角依次为105。.60。,15。,

52.

（I）因为20,所以e'+e-V0,e'-e-V0.因此原方程可化为

r-C0B^（①

e+e

__-8jng>②

le-e

这里e为参数.①1+画,消去参数仇得

44

所以方程表示的曲线是椭圆.

（2）由WN.知c«2"0.而230.而r为参数，原方程可化为

①1-轨得

■^^-&G=（e'+e*）1-（e1-e"）2.

cos6sin0

因为2e'e-'=2J=2,所以方程化的为

x1£.

因此方程所表示的曲线是双曲线.

（3）证由（1）知，在桶08方程中记1=运普二工『=金手二］,

44

则J=1-y=1,c=1,所以焦点坐标为（±1,0）.

由（2）知，在双曲线方程中记J=88%,从=sin”.

■则J=l+b'=l.c=l.所以焦点坐标为（±1,0）.

因此（I）与（2）中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

53.

(1)设等差数列1。1的公差为乙由已知%+«,=0.得

2a,+9d=0.又已知％=9.所以d=-2.

数列|a.|的通项公式为a.=9-2(n-l).即4=11-2n.

(2)数列I。」的前n项和

S.=-^-(9+1—2n)=-n5+10n="(n—5)J+25.

当”=5时.&取得最大值25.

54.

^xe(0,!),/(*)<0j

(1)1f(G=i令/(x)=0,解得x=i.

当工w(l.+8)JG)>0.

故函数/(*)在(0,1)是减函数,在(1.+8)是增函数.

(2)当x=l时4口取得极小值.

又80)=0,<4)=0.

故函数/TG在区间［0.4］上的量大值为0.最小值为-1.

(25)解：(I)由已知得尸

O

所以IOFI=

O

(口)设P点的横坐标为明("0)

则P点的纵坐标为片或-

△OFP的面积为

11/x-1

2'X8-XVT=T,

解得x=32,

55.故P点坐标为(32,4)或(32,-4).

(24)解：由正弦定理可知

告券则

sinAsinC

2x包

8c=雪鬻。百

sin75°R+Jj

~4~

S3K=xBCxABxsinB

«yx2(^-l)x2xg

=3-H

56.

57.证明：(1)由已知得

又a>l.可得0<（工）'<1.所以

a

将①两边平方.化简得

（Xo+a）V=（.tj+a）1yj.④

由②®分别得力=；（4-/）.犬=1（。'-W）.

aa

代人④整理得

同理可得与=£.

所以*.=4-0.所以OR平行于，轴.

58.

（1，由已知得心射①黄工上，

所以la.l是以2为首项.去为公比的等比数列.

所以a.=21"），即。.=占6分

（U）由已知可嘘="匚卬」.所以（打=闺•

I?

分

解得n=6.12

由于（ar4-1）7x（1*az）7.

可见.展开式中的系数分别为C；Q,.C/3,GQ'.

由巳知.2C；<?=C"+C".

V、1血)Jx6x57x67x6x5a<31A,n

乂。>1.则2x--•a=)-+,5・ar5a-10a+3=0.

59、

60.

1+2fiin0cos0+—

由物已知二---二二二%--

46)Bind♦cow

(ain94-cosd)2+率

sin0♦COB^

由此可求得/金)=版"。)最小值为痣

由此可求得小券)=加JIG最小值为限

解方程/+y2+ax+2y+a2=0表示圆的充要条件是:1+4-4a2>0.

即a?<'^■，所以-20"<a<本月

4(1,2)在圆外，应满足：1+22+a+4+a2>0

即J+a+9>0,所以aeR.

2综上,。的取值范围是(-竽，宇).

解(1)设等差数列｛。」的公差为人由已知%+%=0,得

25+9d=0.又已知a,=9.所以d=-2.

数列必.｝的通项公式为a.=9-2(n-l).即a.=ll-2n.

(2)数列|aj的前。项和

S,=y-(9+1-2n)=-n2+10n=-(n-5)2+25.

63当“=5时,S“取得最大值25.

64.解析：(I)在APAC中，由已知利用余弦定理得因为平面PAC，平

面ABC,

AC=yPA2-l-PC2-2PA•PC•cos600=

A，NPAC=3,

所以PA，平面ABC,所以PA，AB.

(II)作AE_LBD于E连PE,PA±BD所以.BD，平面PAE,则PE±

BD,所以NPEA是二面角P—BD—A的平面角因为RtAAED相似Rt

△BCD所以AE/BC=AD/BD

a

tan/PEA=福一万

~^ra

叵

即/PEA-arcian

3,

(Hl)过A作AH上PE于(由(U>

证知),所以AHI.平面PBD.

由射影定理可得

APA•AE730

AH=Z-PE~^0~a'

65.

（I）/（幻的定义域为｛H€R1+

2«x>0）,

即当a-0时,/Gr）的定义域为（-8,+oo）|

当”>0时JGr）的定义域为（一去,+℃%

当a<0时,/（公的定义域为（一8,一/）.

（口）在/（工）的定义域内.

/（彳）>0^《I—D'+lVl+Zor«—-2（1+。）工

+1V0.

①当（1+0）'—140时•即一24a40・

由于/一2（1+。）］+1=0.所以不存在工使

/（x）>0.

②当-1>0时，即a>0或aV-2.

/一2（1+公］+1=0的两个根为

工严1—0一/（1+，一】,

当a>0时』>©>一古！

当aV-2时,》<x><-7".

所以/（1）>00］+G-+1ViV1+

a+一L

本题在求定义域过程中.为了满足真数大于0,要对参数a的取值进行

解时效不争大log十室蛉1>。时，要注意底

«1为+<1.对傲论或是独青4L所以押用

一］<1,由于l+2ax>0.<|（X—1）,+

全面的讨论.在IV1+2ax.*・痔f-2（l+a）H+lV0..此二

次不等式，由于抛物线开口向上，因此要由判别式确定图象与32轴的

交点得到2的取值范围.

66.

(I)依题意有19.

又/(T)=W+2ftx4-c./(-l)=0./(2)=0.W

,-a+b-c+d=B.

8a+4b+2u+d=-19.

“30-26+c=0.

12a+46+c=0.

解得3.c—-12,d=l,

所以y・〃力12工+】.

(II)/