小升初分班奥数平面图形面积

小升初奥数几何部分辅导讲义

讲义编号:

学员编号：年级：小六课时数：3

学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：

课题平面图形面积问题

授课时间：备课时间：

1.掌握五大模型的特征，会从复杂图形中找出基本模型.

教学目标

2.灵活运用五大模型求直线型图形的面积和线段长度.

教学内容

【专题知识点概述】

一'等积变换模型

①等底等高的两个三角形面积相等;

②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;

两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;

AB

如左图H:S2=a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图SAACD=S.；

反之，如果ZACD=%BCD，则可知直线A8平行于CO.

④正方形的面积等于对篇线长度平方的一半；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比

如图在△ABC中，2E分别是AB,AC上的点如图⑴（或。在84的延长线上，E在AC上），则

SAABC：SAADE=（ABXAC）:（ADxAE）

图⑴图⑵

推理过程连接BE,再利用等积变换模型即可

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:

①S]:邑=S&:S｝或者SjxS3=S?xS&②AO:OC=（S]+S2）:（S4+S3）

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形

的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）：

①E:邑=a2:b2

②:S3:S]：S4=a2:*：ab:ab；

③梯形S的对应份数为（“+4.

四、相似模型

相似三角形性质：

（金字塔模型）

（沙漏模型）

①AD_AEDEAF

AB-AC-AG；

22

②S/S^C=AF:AG.

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似）,

与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比;

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

五、燕尾定理模型

SAABG：SAAGC=S^BGE：SAEGC=BE.EC；

SABGA:SABGC=SAAGF:S△尸GC=AF:FC；

SAAGC：SABCG=S^ADG：SZ^)G8=AD:D5；

【习题精讲】

【例1】（难度等级※派）

用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.

【例2】（难度等级冰※）

如右图，已知在△ABC中，BE=3AE,CD=2AD.若4ADE的面积为1平方厘米.求三角形ABC的面积.

【例3】（难度等级派※）

如图，长方形ABC。的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，”为4）边上的任

意一点，求阴影部分的面积.

【例4】（难度等级派※）

如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=；AB,已知四边形EDCA的面积是35,求三

角形ABC的面积.

A

【例5】（难度等级派※）

（2008年四中考题）如右图，AD=DB,AE=EF=FC,已知阴影部分面积为5平方厘米，AA8C的面积是

平方厘米.

【举一反三】（难度等级派※）

如右图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S/XBEF.

【例6】（难度等级派※※）

图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多少平方厘米?

图30-10

【例7】（难度等级派※）

如图在△ABC中，£>,£分别是AB,AC上的点，且AA:AB=2:5,AE:AC=4:1,S△的=16平方厘米，求△ABC

的面积.

【举一反三】（难度等级※※）

如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，4c是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1,那么三角形ABC

的面积是多少？

【例8】（难度等级派※）

如图在△A8C中，。在54的延长线上，E在AC上，且AB:AO=5:2,AE.EC=3.2,54加£=12平方厘

米，求△ABC的面积.

【例9】（难度等级派※）

如图所示，在平行四边形A8CO中，E为的中点，AF=2CF,三角形AEE（图中阴影部分）的面积为8平方

厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？

【例10］（难度等级派※※）

已知ADE尸的面积为7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△48C的面积.

【例11］（难度等级派※※）

（2007年“走美"五年级初赛试题）如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，AE^-AC,CF=LBC.三角形DEF

33

【例12］（难度等级派※※）

如图，在△ABC中，延长AB至D,延长BC至E,^,CE^-BC,b是4c的中点，若△ABC的

2

面积是2,则△。石方的面积是多少？

【例13］（难度等级※※※）

如图所示，己知SMCMLAEUED.BOU20c.求图中阴影部分的面积.

【举一反三】（难度等级※※※）

下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大?

【例14］（难度等级※※※）

右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图

中阴影部分的面积是多少？

1518

C

ad

•

b30

【例15］（难度等级※※※）

梯形ABCD的上底长为3厘米,下底长为9厘米,而三角形ABO的面积为12平方厘米。则整个梯形的面积为多少？

B

【例16］（难度等级派※※）

在图中，正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6和4.三角形ACG和三角形BDF的面积

分别是多少？

【例17］（难度等级派※※）

如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，4AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.

【例18］（难度等级派※※）

在AABC中BD：DC=2:1,AE：EC=1:3求BO：OEo

【例19］（难度等级派※※）

图中的四边形土地总面积为52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6

公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

【例20］（难度等级※※※）

梯形ABCD被两条对角线分成了四个三角形Si、S2>S3、

2

S4o已知Si=2厘米,S2=6厘米2。求梯形ABCD的面积。

（小学数学奥林匹克通讯赛决赛试题）

【例21］（难度等级派※※）

右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，己知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是多

少平方厘米？k-------，

/2

EC

【例22］（难度等级派※※）

如下图，已知ABCD是长方形，A、D、E和F在一条直线上，AB=7,BC=5,DG=3。（单位：厘米），求DE的

长。

DE

【例23］（难度等级派※※）

将三角形ABC的BA边延长1倍到D；CB边延长2倍到E,AC边延长3倍到F,如果三角形ABC的面积等于1,那

么三角形DEF的面积是多少？（08年三帆考题）

【作业】

1、如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙部分面积是甲部

分面积的几倍？

E/乙

2、已知三角形ABC的面积为1,BE=2AB,BC=CD,求三角形BDE的面积？

3、如右图