2024数学核按钮考点突破第六章 数列

第六章数列

6.1数列的概念

课程标准有的放矢

通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图

象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.

必备知识温故知新

【教材梳理】

1.数列的概念

概念含义

数列按照确定的顺序排列的一列数称为数列

数列的项数列中的每一个数叫做这个数列的项，其中第1项也叫首项

通项公式如果数列｛%»｝的第n项右与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子

来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式

前n项和数列｛an｝从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列｛a”｝的前n项

和，记作Sn

2.数列的分类

分类标准类型含义

及俯财右史新石ll项数有限的数列

无穷数列项数无限的数列

按项的变递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有即+1>an

化趋势(neN*)

递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有即+i<即

(neN*)

常数列各项都相等的数列，即恒有厮+1=即(neN*)

按其他标周期数列一般地，对于数列｛&J，若存在一个固定的正整数T，使得

准0n+r=加恒成立，则称｛即｝是周期为r的周期数列

按其他标有界(无任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，EPBMe

准界)数列

R,|nn|<M,否则称为无界数列

摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数

列

3.数列的表示法

表示法定义

列表法列出表格表示九与%1的对应关系

图象法把点(弭QQ画在平面直角坐标系中

公式法通项公式=的)

递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来

表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.如a”4=

/(an)，即=/(an-i，an+i)(n22)等

40M与S”的关系

数列｛即｝的通项与与前n项和又之间的关系为

(Si，n=1,

@n=]

(S九—Sn_1,n>2.

5.常见数列的通项

(1)1,2,3,4,...的一个通项公式为&=n.

(2)2,4,6,8,的一个通项公式为册=力.

(3)3,5,7,9,...的一个通项公式为a“=2n+1.

(4)2,4,8,16,…的一个通项公式为a”=22.

(5)-1,1-1,1的一个通项公式为册=(一1尸.

(6)1,0,1,0的一个通项公式为an=匕""I-

(7)a,b,a,b,…的一个通项公式为an=(*切+二)…。—).

(8)9,99,999的一个通项公式为册=10。一1.

【常用结论】

6.累加法与累乘法

(1)已知的且0n-an_j=f(n)(n>2)，可以用"累加法"得：an=

ai+f(2)+f(3)+-••+f(n-1)+f(ri).

(2)已知的且当"=/(n)(n>2),可以用“累乘法”得：a=%

an-ln

/(2)-/(3)•...-f(n-1)-/(n).

注：以上两式要求｛f(n)｝易求和或积.

7.数列最值：若吃黑二生22),则4最大；若｛露''(心2),则%

最小.

自主评价►牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“，错误的画“X”.

(1)1,2,1,2是一个数列.(V)

(2)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(X)

(3)一个数列只能有一个通项公式.(X)

(4)任何一个数列，不是递增数列就是递减数列.(X)

(5)若数列｛即｝的前几项和为治,则对任意九GN*,都有斯=Sn—Sn_i.

(X)

2.（教材例题改编）已知数列｛册｝的通项公式为册=品，那么密是它的（A）

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

［解析解由题知日2，n23+n=20,解得ri=4或九=—5（舍去）.故选

3

3.（教材题改编）已知数列1,一11》…照此规律，数列的第8项为

142

(B)

A.-iC.--D.--

8B•一记6432

3145

［解析］解：1=去-录,…，设此数列为

T=F4216

n+198―-巳故选B.

{an},WJan=(-l),则08=(-1)

4.试写出一个先减后增的数列｛即｝的通项公式以=於-6?1（答案不唯一）.

［解析］解：若数列｛an｝先减后增，结合二次函数、对勾函数的性质分析，数列

｛对3的通项公式可以为%=M-6n,an=n+：等.

故填足一6n（答案不唯一）.

核心考点精准突破

考点一由前n项归纳数列的通项公式

例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式.

（1）-1,7,-13,19,...

［答案］解：偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用（-1尸调节，观察

各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通

n

项公式为0n=（-l）（6n—5）.

（2）2土2且W

、乙），，，，，・・・

315356399

［答案］这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1x3,3x

5,5x7,7X9,9X11,,每一项都是两个相邻奇数的乘积.故数列的一

个通项公式为与2n

(2n-l)(2n+l)

(3)5,55,555,5555,..

［答案］将原数列改写为,X9,|x99,gX999,…，易知数列9,99,999,

...的通项为10'-1,故数列的一个通项公式为册=|(10n-1).

(4)0,V2,2,V6,2V2,...

［答案］原数列为W,V2,V4,V6,V8，…，故数列的一个通项公式为%=,2(九一1).

(5)-1,1,-2,2,-3,3,

［答案］根据题意，当？1=2/c-1时，a“=-k=-等：当n=2k时，%=k=

Zl+1x|AEZ-

一三,71为奇数,

J，得“

录九为偶数.

【点拨】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一

些常见数列的通项公式，如{九},{2n},{(-l)n},{2n},{n2},{2n-1}等;②分式形

式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系;③若

第71项和第九+1项正负交错，那么用符号(-1尸或(-1尸+】来适配;④对于较复

杂数列的通项公式，可使用变形、添项、通分、分割等方法，将数列的各项分

解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳;⑤注意

通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1,0,1,0,…的通项公式可写成

即=丁或a…isin^),甚至分段形式与=等.

变式1.写出下列数列的一个通项公式.

(1)3,5,9,17,33

n

［答案］解:an=2+l.

(2)210_1726

3'’7、9'll5…

［答案］由于一1=一?，故分母为3,5,7,9,11,...,即{2九+1},分子为

2,5,10,17,26,...,即{/+1}.符号看作各项依次乘1,-1,1,-1,...,即

尸，故】•嘉.

{(—1+1}an=(—1)"

(3)0,8,0.88,0.888,..

［答案］将数列变形为式1一0.1)，1(1-0.01),1(1-0.001)..........所以叶=

黑1

(4)1,2,V7,><10,V13,...

［答案］根据题意，数列即VI,V4,V7,710,V13,,故通项公式为an=

\!3Tl—2・

⑸1,0.?0,0,。，…

［答案］把数列改写成;，；，；，3339..........分母依次为1,2,3,

123456/0

,而分子1,0,1,0,...周期性出现，因此数列的通项可表示为册=笔詈.

考点二由册与5„的关系求通项公式

例2

(1)已知数列｛册｝的前几项和又=2"-2,则该数列的通项公式为(D)

nn-1

A.an=2B.an=2

Cf=Q\n>2D.即二2

n

［解析］解：当n22时，an=Sn-Sn_i=(2-2)-(2“T-2)=.

当九=1时，a】=Si=21一2=0,不符合上式.

所以数列的通项公式为册=｛祟2

故选D.

(2)记又为数列｛时｝的前n项和.若%=1,即=鲁，则数列｛an｝的通项公

式为a,=n.

［解析］解：因为斯=/，贝ij(n+l)an=2Sn,①

所以(n+2)an+i=2Sn+i,②

②-①可得，(?1+2)an+1-(n+l)an=2an+1,nan+1=(n+1)即，即鬻=

生，所以%=%曰=—=.••=也=也=1,即册=ri.故填=n.

nnn-1n-221"“

(3)已知数列｛an｝的首项的=2,其前n项和为无.若Sn+i=2Sn+1,则

_(2,n=1,

=(3-2n-2,n>2.,

［解析］解：由%+1=2Sn+l,有%=2Sn_t+l(n>2),

两式相减得an+i=2an,

=a1+a2—2al+1,a2—3,

所以数列｛即｝从第二项开始成等比数列，

所以每=｛源£”故喏二二n”

【点拨】任何一个数列，它的前n项和无与通项册都存在关系：an=

、「若为适合%-Sn-i,则应把它们统一起来，否则就用分段

函数表示.另外一种快速判断技巧是利用So是否为0来判断：若S°=0,则由

适合Sn-S^i，否则不符合，这在解小题时比较有用.

变式2.

(1)已知数列｛册｝的前几项和为%,且满足%=|(4n-l)(nGN*),则｛时｝

的通项公式为a”=2x4“T.

［解析］解：当ri=1时，4=Si=2；

由演=Sn-Sn_i(n>2),

可得斯=|(仆一1)一|(4nT-1)=2X4时1,

当n=1时，的=2x41-1=2,满足.

所以数列｛即｝的通项公式an=2X空t.

故填斯=2x471T.

(2)已知数列｛Q八｝满足+…+曰％=2n+5,贝！J数列｛a九｝

的通项公式为(B)

14,n=1,

n

A.an=2+1B.an=

X.2n+i,n>2

14,n=1,

D.a=2n+2

2n,n>2n

［解析］解：由题意，设％=+京g+或+…+金册=2九+5,①

当九之2时,S71T=酒+去的+套。3+…+狭--1=2(九一1)+5,②

n+1

①-②得，|^=2n+5-2(n-l)-5=2,所以an=2.

当九=1时，的=14,不满足上式.

综上可知，an=Hn；i故选B.

(2n+1,n>2.

(3)已知数歹中，的=2,。2=3，其前兀项和又满足：5„+1+SnT=

2szi+l(n>2,neN*)则数列｛%｝的通项公式为自=n+1.

［解析］解：由已知可得(S催+i-Sn)-(Sn-Syi)=l(n>2,neN*),即时+】—

an=l(n>2,neN*),S.a2—ar=1,

所以数列｛即｝是以的=2为首项，1为公差的等差数列，即册=几+1.故填

an=n+1.

(4)设%是数列｛a｝的前n项和，且为=—1,an+1=SnSn+1,则的=

—l,n=1,

—1-,n>2.

Vn(n-l)

9

［解析］解：因为Qn+i=S71szi+i,所以。九+i=S九+i—=^n^n+1所以

S，1：n=*-T—=1，即^---*=,乂%=­1，即==，=一］,所以

^n+ibn>n^n+1»n+iai

数歹U｛5｝是首项和公差均为—1的等差数列，所以5=-l-lx(n-l)=

，n5n

ii(-l,n=1,

一九，所以Sn==Sn-SnT=启~不522).故填1

nn(n-1)1许32.

考点三由递推公式求通项公式

例3写出下面各数列｛&J的通项公式.

(1)a1—2,Q?i+1=+几+1；

［答案］解：由题意得，当几32时，Qn—Q71T=n,

所以61n=Qi+(。2-%)+(。3—。2)+…+("九一dn-i)=2+(2+3+…+

几)=2+。一)(2+72)_…+1)+］

/-2-2・

又的=2=ix(7)+1,适合上式，

因此的^二也罗+1.

/c、dn+2

(2)ai=1,an+i=—«n

［答案］由题设知册*0，则肝=%,

4

a2Q3Q45

-X--X--X-X-XX

2

a1a2a33

Qn+i_(九+l)(n+2)

的一2'

乂%=1，则册+】=怨1n+2),故即=独罗.

(3)a1=1,a?i+i=3a九+2；

［答案］(方法一)(累乘法)

即+1=3an+2,得即+1+1=3(an+1),即吗?=3,

所以H=3，—=3=3，…，^^=3.

。1+1Qz+l。3+1。九+1

将这些等式两边分别相乘得照色=3n.

。1+1

因为%=1,所以"詈=3。，

即即+i=2x3n-l(n>1),

71

所以0n=2x3T-l(n>2),

又％=1也适合上式，

故数列｛an｝的一个通项公式为an=2x3-1-1.

(方法二)(迭代法)

a

n+i=3an+2»

3

即an+i+1=3(an4-1)=3?(0n+1)=3(an_2+1)

='•­=3n(a1+1)=2x3n(n>1),

所以an=2x3正1-l(n>2),

又%=1也满足上式，

故数列｛册｝的一个通项公式为册=2x3n-1-1.

a,

(4)a11=2,ann++11=­'-.

l+3an

［答案］&+1=总」，易知即羊0,两边取倒数得」一=3+上，即一二一三

l+3a„=a

n+1anan+1an

3,所以数列或是%为首项，3为公差的等差数列，所%=3”

2

，所以册=

I6n—5

【点拨】已知数列的递推关系求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求

解.当出现时=%1-1+771时，构造等差数列；当出现出；=xan_i+y时，构造

等比数列；当出现册=册_1+/（九）时，一般用累加法求通项；当出现国=

an-i

f（n）时，一般用累乘法求通项.根据形如（4,8,C为常数）的递

推关系式求通项公式时，一般对递推式两边同时取倒数，当AHC时，化为上+

an+l

x=£（2.+x）的形式，可构造公比为？的等比数列｛2+%｝,其中用待定系数法求

%是关键;当/=C时,可构成一个等差数列.注意检验71=1时，是否适合所求.

变式3.写出下面各递推公式表示的数列｛册｝的通项公式.

（1）%=2，a,n+1=an+"（n+i）；

［答案］解：因为当九22时，册-an-i

所以当几之2时，an=（Qn—Qn-1）+（%1.1—%1-2）+…+（。2—。1）+=

（土一》+（；^一三）+丁（»9+（1一勺+2=3-，当〃=1时，适合•

故册=3-；.

n

(2)a1=1,an+1=2an；

［答案］因为2=2n,所以幺=21,9=22,,工=2nT,

anaia2an-i

将这71-1个等式叠乘，

_n(n-l)n(n-l)

鹫=2l+2+-+(n-l)=2丁一，所以g=21一.

n(n-l)

当JI=1时，适合.故斯=2—2一.

（3）a］—1,a^+］—2a^+1；

［答案］由题意知an+i+l=2（5+1）,所以数列｛出+1｝是以2为首项，2为

n

公比的等比数列，所以0n+1=2",所以an=2-l.

⑷的=：，CLn+l=

oa7］I4

［答案］由册+1=生知玛声0,两边取倒数得」--三=3所以｛三｝是以，为

a2a2

an+2Qn+1nn

首项，;为公差的等差数列，所以上=5+(71—l)X；=字，册=三.

，dflNN2Tl*i2

考点四数列的单调性与最值

例4

(1)已知数列｛an｝中，an=1+a+2；-i)(九eN*,aeR,且a=0).

(I)若a=-7,求数列｛a"中的最大项和最小项的值；

［答案］解：因为a=-7,所以即=1++.

结合函数/(%)=1+£的单调性，

可知1>的>a2>,a5>a6>a7>•••>an>l(nE,N*).

所以数列｛a"中的最大项为&5=2，最小项为=0.

(II)若对任意的neN*,都有每工。6成立，求a的取值范围.

［答案懈：与=1+能与=1+.・

因为对任意的n6N*，都有与<a6成立，结合函数f(%)=1+的单调

X~T

性，知5<号<6,所以一10<a<—8.故a的取值范围为(一10,-8).

n

(2)在数列｛每｝中，an=(n+l)(^)(neN*).

(I)若4>an_x(n>2)，求71的最大值；

10

［答案］解：因为册>0,则工21522),即零？2］，整理得5n2

an-i九(五)

M解得九W10.所以71的最大值是10.

(II)求数列的最大项.

［答案］解：令221,即上狐整理得安之三，解得7129.则数

fln+i(n+2)(骂)n+in+211

列从第1项到第9项递增，从第10项开始递减，又。9=%0=翳，故数

列｛斯｝的第9,10项最大，为牛丁.

【点拨】数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用.解

决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断,

求最大项可通过列不等式组求.

变式4.

(1)已知数列｛&J的通项公式为=-彦+5n+32.

(I)数列的第几项最大，最大项为多少？

［答案］解：因为每=-(n—1)2+詈(ri€AT),所以当n=2或n=3时，an

最大.

又=38,故数列｛斯｝的第2,3项最大，最大项为38.

(II)若a7n<0,求正整数加的最小值.

［答案］解：因为函数f(%)=-x2+5%+32的图象开口向下，且对称轴方程为

5

所以数列｛斯｝从第3项起单调递减.

又%=36>0,a2==38〉0,a8=8>0,a9=—4<0,所以若<

0,则m>9.

即正整数zn的最小值是9.

(2)已知首项为X1的数列｛功｝满足马+1=—(a为常数).

(I)若对于任意的修。-1，有%n+2=xn对于任意的neN*都成立，求a

的值；

a.山2

ax+i%n+ia如

［答案懈:因为&+2=n

“n+1+l翳+】axn+xn+l

2

所以。2打=(a+1)埠+%71n(a—l)xn=(a+1),呼，令九=1,得(M—

1)%1=(a+l)xf,

〃2_［=(')

一'解得。=一1.

!Q+1=0,

(II)当a=l时，若%>0,数列｛*“｝是递增数列还是递减数列？请说明理

由.

［答案］解：数列｛^｝是递减数列.

因为>0,xn+1=，所以/i>0(n6N*).

xn+l

又因为Xn+1-/一如=一」三<0(71eN*),故数列｛丐｝是递减数列.

%n+l%n+l

考点五数列的周期性

例5已知数列｛册｝的首项为2,且数列｛时｝满足a”+i="，数列｛册｝的前九

an+l

项的和为Sn,则S1OO8=(C)

A.504B.294C.-294D.-504

a+ia2=；,a?-1,

［解析］解:因为%=2,n=3=，所以=「=a4=

Q九+15-4-12

1a71T］

~T—=-3，又斯+2=沪1+；=an-1=，所以册+4=-~~=an»所以

ahlaa

--£.+1n+i-a-九-十rir+1nn+2

数列｛a｝的一个周期为4,且为+a2+a3+a4=,

因为1008+4=252,所以Sioo8=252x（-3=-294.故选C.

6

【点拨】解决数列周期性问题，一般先写出前几项确定周期，再依据周期求解.

待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”.

如本例中册+1=笔，即/"(%+1)=续二，由函数周期性相关结论可知该数列

an+l/(x)+l

的一个周期为4.

变式5.【多选题】已知又是｛册｝的前n项和，a=2,a=1———,则下列

xnan-l

结论正确的是(ABD)

A.@2023=2B.S2023=1013

C.a371a371+1。3n+2=1D.｛an｝是以3为周期的周期数列

［解析］解：因为的=2，所以的二1一工a3=1——=—1,a4=1—

—=2,...,=1---—-1----=1-------=1-：~=an•所以

a3an+21----1----F1一。三

an+i1---an-1

°n

｛即｝是以3为周期的周期数列，故D正确；

a2023=a3x674+1=@1=2，故A正确;

$2023=674（。1+g+。3）+%=674x（2+^—1）+2=1013,故B正确；

a3na3n+la3n+2=a3ala2=（一DX2X1=-1,故C错误.故选ABD.

能151国D知能提升

【巩固强化】

1.数列|,］的一个通项公式为（D）

Af福B.a=C.a=2D.a=-^―

n2n+ln2n-ln2n+l

［解析］解：根据题意，数列|,I,I,I,,

斯=磊.故选D.

n2

2.已知数列｛即｝的通项公式为an=(-l)(n-1),则06=(A)

A.35B.11C.-11D.-35

［解析］解:依题意，a6=(—1)6(62-1)=35.故选A.

3.若数列｛an｝满足a2n=a2n_i+a2n+1(n6N*),则称｛&J为“丫型数列”，

则下列数列不可能是“丫型数列”的是(B)

A.-1,0,1,0,—1,0,1,...B.1,2f193,592,3,...

C.0,0,0,0,0,0,0,D.2,1,-1,0,1,2,1,

［解析］解：因为数列的每个偶数项都等于其相邻两项的和，故不符合条件的只

有B.故选B.

4.正项数列的前n项和为加，且满足a”=2Sn-n,则CI5=(B)

A.0B.1C.5D.6

［解析］解:当n=1时，的=1，当九>2时,即_1=2Sn_j-(n-1)，与已知式子

联立作差得的+an_i=1，故(Z5=1.故选B.

5.［2023届河北秦皇岛高三上开学摸底］已知数列｛%｝中,%=1,且0n+i=

fl+—,n<3,.3

Ian则的022=•

I—an_2,九之4,

［解析］解：由题意知02=1+—=2,a3=1+—=1,

a22

d.15。

1+—~,@5——@2—_乙，

35

aaa=

6-~3=一鼻，7"a4=一丁

r3

CLQ=—Q5=2,Q9=。6=&,••・

观察可得数列｛a"从第2项开始是以6为周期的数列，故42022==-|.

故填—I.

6.【多选题】关于数列｛&J,下列说法正确的是(ABD)

A.若的=2,an+1=an+ln(l+-),则册=2+Inn

n+1

B.若的=1,an+1=2an+3，则an=2—3

C.若电=1,an>0，且(n+l)W+i-na^+an+1an=0，则an=——

nn-1

D.若%=1,an+1=2an+2，则册=n-2

［解析］解：对于A,a—a=ln(l+2),累加得%i+i-=In(上^•——

n+1nnnn—L

1)=ln(n+1)，则%!=2+Inn，正确.

n+1

对于B,(an+14-3)=2(On+3)，得0n=2-3，正确.

对于C,原式化为Kn+l)a+i_na］(a+a)=0,a>0，则%13,可

nnn+1nndu7l+1

得册=\错误•

对于D,第=|^+|，故既｝是等差数列，得即=n•2。-1,正确.故选ABD.

7.已知数列｛册｝的前n项和为%，%=1,Sn=2an+1,则数列｛%J的通项公

fl,n=1,

式为厮=X(力1-2m22.

［解析］解：因为%=2an+1,①

%=1,当71=1时，Si=Cl］=2a2,所以。2=1•

当n22时，Sn_i=2an,②

①-②得a催=2an+1-2an,即皿=f(n>2).

n2n2

所以当n22时，an=a2-(|)-=|x(|)~,

故册=&'(|尸-2,九22.

rl,n=1,

故填外!=gx(|)n-2,n>2.

8.(教材习题改编)已知函数fQ)=等，设数列｛每｝的通项公式为&=

/(n),其中71eN+.

(1)求。2的值；

［答案］解：由题意得册=平=2-；，所以02=2-：=/

(2)求证：1Wa。<2；

［答案］证明：由(1)知，0n=2—；，因为n为正整数，所以nNl,0<；Wl,

即1W2—工<2,所以1<a<2.

nLn

(3)判断｛即｝是递增数列还是递减数列，并说明理由.

［答案］｛册｝是递增数列.

证明：厮=2-；,即+1-册=；一・=就>0,所以｛an｝是递增数列•

【综合运用】

9.若数列｛册｝的通项公式为册=舄藐①eN*),则这个数列中的最大项是

(C)

A.第12项B.第13项C.第14项D.第15项

［解析］解：=2\,=-4?6，而n+—>2In■—=28,当且仅当n=14

“nz+196n+--nyjn

时，等号成立，所以当九=14时，』取得最大值白，即最大项是第14项.故

71+——7128

选C.

10.九连环是我国从古到今广泛流传的一种益智游戏.它用九个圆环相连成串，

以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关擦，解

之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用0n表示解下ndW9,neN*)个圆环

所需的移动量的最少次数，｛。兀｝满足=1，且当7122时，=

［2%1T-1,"为?则解下4个圆环所需的最少移动次数为(A)

l2an_i+2,ri为奇数,

A.7B.10C.12D.22

［解析］解：根据题意，a2=2al-1=1；a3=2a2+2=4;a4=2a3—1=

7,即解下4个圆环最少移动7次.故选A.

11.R023届浙江名校协作体高三上开学考试］已知数列｛即｝为递增数列，前九项

和品=n2+n+A,则实数；I的取值范围是(B)

A.(—00,2]B.(—00,2)C.(—00,0]D.(―oo,0)

22

[解析]解：当n22时，CLn=Sn_Sn_]=7l+71+A-[(n-l)+(n-1)+

A]=2n,故当九22时，｛斯｝单调递增，故｛即｝为递增数列只需满足a2>

的,即4>2+4=X<2.故选B.

12.已知正项数列的前71项和为%,且%=1,柢;+信工=an(n>

2),则06=!!.

［解析］解：由题意得病+疝二=5n-5计1=(后-用工)(扃+

VS^7)(n>2),可得离一区二=1,又店=%=1,所以{向}是以1为首

2

项，1为公差的等差数列，所以/^=九，Sn=n,则<16=$6—S5=6?-

52=11.故填11.

2

13.已知数歹U{aJ的前ri项和为无,2Sn+n+2n+3=an.

(1)求an；

［答案］解：由25元+必+2九+3=每，

2

得25^+1+(n+I)+2(n+1)+3=an+1>

两式相减得2即+1+2n+3=czn+1—an,

HP(zn+1+an=-2?i-3,

所以Cln+2+%i+i=-2.71—5,所以CZn+2~an=-2.

令71=1,可得=—6；令71=2,可得=1.

所以71为奇数时，%,=—6—2(^--1)=—n—5;

当n为偶数时，5=1一2(1-1)=—n+3,

(一几一5,兀为奇数，

即Bn0={

n1一71+3,71为偶数.

(2)若b=\a2n\,对任意的1<n<10,neN：bn+^->t,求t的取值

范围.

［答案］%=|a2nl=|3-2n|,瓦=1,

当nN2时，bn=2n—3.

令Gi=匕+£，则当九22时，cn+1-cn=bn+1+-(bn+^)=2n-1+

-----(2n-3H-----J)=2-----------.所以C4<C3<02=q,

2n-l'2n-3(2n-l)(2n-3)4321

当九24时，cn+1>cn,所以扇的最小值为。4=Y，

所以tW装.

【拓广探索】

14.[2022年全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成

为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日

周期的比值，用到数列{%}：bl=l+la1,无=1H---1，b3=1+

一一，…，依此类推，其中以€N*（/c=.则（D）

«i+--r

&2+西

A.瓦<b5B.b3<b8C.b6<b2D.b4<b7

［解析］解：（方法一）因为与€/a=1,2厂..），所以的<的+工，->

a2

—1，得到瓦>b，同理的+—>H---1，可得⑦<b,b>b,又

%+不2a?a?+通313

因为工>---1—,a1H---V<CZjH-----—,故匕2〈人4，人3〉/；

aaa---T~

2-*--。--3-+--诟T~2^"Z3~2^«3+^

以此类推，可得瓦>b3>b5>b7>•••,b7>b8,故A错误；

b3>b7>b8,故B错误；

—>-----i—,得电<b6,故C错误；

«2a+----r

2底3+…诟

aH----1一>«1H----二一，得/<b,故D正确.

r做+--rQ+----r7

°3+西瓯+西

（方法二）令ak=l（k=1,2,...），则瓦=2,b=l，b=|,b=l，b=^,b=

2N33435o6

卷/7=字匕8=字得为Vg.

故选D.

6.2等差数列

课程标准有的放矢

1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.

2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前72项

和公式的关系.

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.

4.体会等差数列与一元一次函数的关系.

必备知识温故知新

【教材梳理】

1.等差数列的概念

（1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的

前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等

差数列的公差,公差通常用字母d表示，即即一0nT=d（neN+,Kn>

2）或许+i-&；=d（neN+）.

（2）等差中项：由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差

数歹U.这时,4叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A=2上

b.

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

（1）通项公式：an=%+（71—l）d.该式又可以写成0n=nd+@—d）,

这表明d#0时，即是关于n的一次函数，且d>0时是增函数，d<0时是减

函数.

（2）前71项和公式：571=&詈应=九如+四/九该式又可以写成上=

|n2+-1）n,这表明dAO时，是关于八的二次函数，且d>0时图象

开口向上，d<0时图象开口向下.

3.等差数列的性质

（1）与项有关的性质

①等差数列｛an｝中，若公差为d,则册=a7n+（九一m）d,当九。m时，

d——n-a7n

n-m.

②在等差数列｛册｝中，若m+n=p+q（m,n,p,qGN*）,则a,”+a“=

%+ctq.特别地，若7n+n=2p,则a%+册=24.

③若数列｛旬｝是公差为d的等差数列，则数列｛入每+外（A,b为常数）是

公差为四的等差数列.

④若数列｛an｝,｛与｝是公差分别为四,d2的等差数列，则数列｛入册+

X2bn）（乙,%为常数）也是等差数列，且公差为；1屈1+42d2.

⑤数列｛即｝是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项以,ak+m,ak+2m,

,组成的数列仍是等差数列，公差为血.

（2）与和有关的性质

①等差数列中依次k项之和品,S2k-Sk33k-S2k组成公差为囚的等差

数列.

②记S偶为所有偶数项的和，S奇为所有奇数项的和.若等差数列的项数为

2n（n6N*），则S2n=n（an+an+1）,5偶一S奇=血,”=蜉（S奇牛0）;若等差

数列的项数为2n-l（nGN*），则$2正1=（2n-l）an（an是数列的中间

项）6奇一5偶=册，£=?（S奇丰0）.

奇

③｛即｝为等差数列今｛曰｝为等差数列.

④两个等差数列｛&J，｛%｝的前几项和土，7；之间的关系为詈=等三

。0,「2n-l。。）•

【常用结论】

4.关于an的结论

（1）在等差数列｛%｝中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除

外）都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为厮+1=K产，等价于

0n+an+2=2a„+1，以及册+1—an=0n+2—%i+i-

（2）若a兀=pn+q（p,q为常数）,则｛an｝一定是公差为p的等差数列.

5.关于的结论

（1）等差数列前n项和的最值与｛3J的单调性有关.

①若%>0,d<0,则数列的前面若干项为正项（或0）,所以将这些项

相加即得％的最大值.

②若的<0,d>0,则数列的前面若干项为负项（或0）,所以将这些项

相加即得％的最小值.

③若的>0,d>0,则｛S"是递增数列，Si是｛Sn｝的最小值；若的<

0,d<0,则｛S"是递减数列，S1是｛Sn｝的最大值.

22

（2）｛a„｝是等差数列0sn=An+Bn（/,B是常数）.若%=An+

Bn+C且CH0，则｛与｝从第2项起成等差数列.

自主评价

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“，错误的画“X”.

（1）若数列｛册｝满足。3-。2=-,则｛an｝是等差数列.（X）

（2）已知数列｛an｝为等差数