湖南省常德市安乡县安猷乡官陵湖中学高三数学文摸底试卷含解析

湖南省常德市安乡县安猷乡官陵湖中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（

）A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：C2.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数的“新驻点”分别为，则的大小关系为

（

）A． B．

C． D．参考答案：C3.设函数,则在处的切线斜率为（

）A.0

B.-1

C.3

D.-6参考答案：D4.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a8=13，s7=35，则a8=（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：D【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2+a8=13，s7=35，∴2a1+8d=13，7a1+d=35，解得a1=，d=．则a8=+7×=11．故选：D．5.一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D六棱柱的对角线长为：，球的体积为：V＝＝6.一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为（）

A.28π B.32π C.36π D.参考答案：D【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以2为高的正三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．【详解】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的正三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面边长为4，可得底面外接圆的半径为：．由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为，故选：C故外接球的表面积S=4πr2=4π×=故选：D．【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．7.已知函数（为自然对数的底数），若，使得成立，则a的取值范围为（）A.(1,2) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.(2,+∞)参考答案：D【分析】可知，从而根据条件便可判断为减函数或存在极值点，对求导得，从而可判断不可能为减函数，只能是存在极值点，从而转化为方程有解，这样由指数函数的单调性和值域即可得出的取值范围．【详解】解：求导得，令，得当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以时，取最大值，所以可得时，恒成立.可得；要满足，使，则函数为减函数或函数存在极值点；；时，不恒成立，即不是减函数；只能存在极值点，有解，即有解；而单调递增，且时，其值域为所以；即的取值范围为．故选：D．【点睛】本题考查函数的图像与性质，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，以及指数函数的图像与性质，属于中档题．8.已知下图（1）中的图像对应的函数为，则下图（2）中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.设函数若，则关于的方程的解的个数为（

）A.4

B.3

C.2

D.1参考答案：B.试题分析：先由可得，，解之可得，再由可得，解之可得，故，令可得或，解之可得或或，故应选B.考点：根的存在性及根的个数判断.10.给出下列三个命题：①命题：,使得，则：，使得②是“”的充要条件.③若为真命题，则为真命题.

其中正确命题的个数为(A)

0

(B)

1

(C)

2

(D)

3参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用．A2C

解析：若命题：,使得，则：，使得，故①正确；“”?，故是“”的充要条件②正确．若为真命题，则p，q中至少存在一个真命题，若此时两个命题一真一假，则为假命题，故③错误；故正确的命题个数为：2个，故选：C【思路点拨】写出原命题的否定形式，可判断①；根据充要条件的定义，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若x，y满足，则的取值范围为______．参考答案：[1，2]【分析】根据约束条件画出可行域，通过平移直线找到在轴截距的最大和最小值，从而得到的取值范围.【详解】由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：令，则，可知的取值范围即为直线在轴截距的取值范围由平移可知如图：当直线经过点时，截距最小；当与重合时，截距最大，本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中的范围类问题的求解，关键是能够通过平移找到截距取得最值时所经过的可行域中的点.12.如图，已知圆O直径AB=5，C为圆周上一点，BC=4，过点C作圆O的切线，过点A作直线的垂线AD，垂足为D，则CD=

。

参考答案：13.已知函数，数列{an}是公比大于0的等比数列，且，，则_______.参考答案：【分析】由于是等比数列，所以也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得的值.【详解】设数列的公比为，则是首项为，公比为的等比数列，由得，即①，由，得②，联立①②解得.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.14.已知P为△ABC所在平面内一点，且，则_____参考答案：【分析】将向量进行等量代换，然后做出对应图形，利用平面向量基本定理进行表示即可．【详解】解：设，则根据题意可得，，如图所示，作，垂足分别为，则又，，故答案为：。【点睛】本题考查了平面向量基本定理及其意义，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．

15.已知在平面四边形中，，，，，则四边形面积的最大值为__________．参考答案：设,则在中,由余弦定理有,所以四边形面积,所以当时,四边形面积有最大值.点睛:本题主要考查解三角形,属于中档题.本题思路:在中中,已知长,想到用余弦定理求出另一边的表达式,把四边形面积写成这两个三角形面积之和,用辅助角公式化为,当时,四边形面积有最大值.16.设是等比数列，公比，为的前n项和。记，设为数列的最大项，则=_______．参考答案：【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．D3【答案解析】4

解析：==因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值．【思路点拨】首先用公比q和a1分别表示出Sn和S2n，代入Tn易得到Tn的表达式．再根据基本不等式得出n017.阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的自然数为

．参考答案：5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（其中），、是函数的两个不同的零点，且的最小值为．（1）求的值；（2）若，求的值．参考答案：略19.已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．（1）求实数a的取值范围；（2）求的最小值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【分析】（1）由题意，f（x）＜10a+10解集不是空集，则有则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，从而求解a的范围即可．（2）由（1）可知a的范围，利用基本不等式即可求最小值．【解答】解：（1）由题意，f（x）＜10a+10解集不是空集，即|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10，则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10成立，解得：10＜10a+10，∴a＞0，故实数a的取值范围是（0，+∞）（2）由（1）可知a＞0，那么：求=当且仅当，即a=2时取等号．故的最小值为3．20.已知函数（1）设a＞1，试讨论f（x）单调性；（2）设g（x）=x2﹣2bx+4，当时，任意x1∈（0，2），存在x2∈，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性得到f（x1）≥f（1）=﹣，问题转化为存在x2∈，使得，分离参数即得到在x∈时有解，求出b的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），=，令f'（x）=0，则x1=1，（a＞1，x2＜0）舍去．令f'（x）＞0，则x＞1，令f'（x）＜0，则0＜x＜1，所以当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增；当x∈（0，1）时，函数f（x）单调递减；（2）当时，由（1）可知f'（x）=0的两根分别为x1=1，令f'（x）＞0，则0＜x＜1或x＞3，令f'（x）＜0，则1＜x＜3可知函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，所以对任意的x1∈（0，2），有，由条件知存在x2∈，使f（x1）≥g（x2），所以即存在x2∈，使得，分离参数即得到在x∈时有解，由于（x∈）为减函数，故其最小值为，从而，所以实数b的取值范围是．21.（本小题满分12分）已知函数，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的面积；（Ⅱ）若函数存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为，求的值.参考答案：（本小题满分12分）解：（Ⅰ），

……………2分当时，，，，所以曲线在处的切线方程为，

………………3分切线与轴、轴的交点坐标分别为，，

………………5分所以，所求面积为.

………………6分（Ⅱ）因为函数存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程在内存在两个不等实根，

………………7分则

………………8分所以.

………………19分设为函数的极大值点和极小值点，