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专题05截长补短模型【模型说明】【例题精讲】例1.(基本模型)如图①,和是等腰三角形,且,,,,以为顶点作一个角,角的两边分别交边,于点、,连接.(1)探究、、之间的关系,并说明理由;(2)若点、分别在、CA延长线上,其他条件不变,如图②所示,则、、之间存在什么样的关系?并说明理由.例2.(培优综合)如图1,在四边形中,,,它的两边分别交点.且.求证:如图2,当的两边分别交的延长线于点,其余条件均不变时,中的结论是否成立?如果成立,请证明.如果不成立,线段又有怎样的数量关系?并证明你的结论.例3.(培优综合)在△ABC中,AD为△ABC的角平分线,点E是直线BC上的动点.(1)如图1,当点E在CB的延长线上时,连接AE,若∠E=48°,AE=AD=DC,则∠ABC的度数为.(2)如图2,AC>AB,点P在线段AD延长线上,比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系,并证明.(3)连接AE,若∠DAE=90°,∠BAC=24°,且满足AB+AC=EC,请求出∠ACB的度数(要求:画图,写思路,求出度数).【变式训练1】如图,已知中,,D为上一点,且,则的度数是_________.【变式训练2】在四边形中,是边的中点.
(1)如图(1),若平分,,则线段、、的长度满足的数量关系为______;(直接写出答案)(2)如图(2),平分,平分,若,则线段、、、的长度满足怎样的数量关系?写出结论并证明.【课后作业】1.如图,为等边三角形,若,则__________(用含的式子表示).2.如图,正方形中,是的中点,交外角的平分线于.
(1)求证:;(2)如图,当是上任意一点,而其它条件不变,是否仍然成立?若成立,请证明,若不成立,请说明理由.3.如图,四边形中,,,,M、N分别为AB、AD上的动点,且.求证:.4.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=60°,线段AC与AD关于直线AP对称,E是线段BD与直线AP的交点.(1)若∠DAE=15°,求证:△ABD是等腰直角三角形;(2)连CE,求证:BE=AE+CE.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线,交BC于点D,过D作DE⊥BA于点E,点F在AC上,且BD=DF.(1)求证:AC=AE;(2)若AB=7.4,AF=1.4,求线段BE的长.6.如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:AD+BC=AB.7.如图,△ABC为等边三角形,直线l过点C,在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC=60°(1)如图1,在l上位于C点左侧取一点E,使∠AEC=60°,求证:△AEC≌△CDB;(2)如图2,点F、G在直线l上,连AF,在l上方作∠AFH=120°,且AF=HF,∠HGF=120°,求证:HG+B
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