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关于导数的乘法与除法法则
前面学习了导数的加法与减法法则,下面进行复习回顾:对于导数的乘法与除法法则,我们能否给出这样的结论呢?答案是否定的,那么如何求导数的乘法与除法?请进入本节课的学习!××第2页,共30页,2024年2月25日,星期天1.了解两个函数的乘、除的求导公式.2.会运用公式,求含有和、差、乘、除综合运算的函数的导数.(重点)3.函数和、差、乘、除导数公式的应用,运用导数的几何意义,求过曲线上一点的切线.(难点)第3页,共30页,2024年2月25日,星期天探究点1导数乘法公式的推导应用提示:
计算导数的步骤
求求求第4页,共30页,2024年2月25日,星期天解析:给定自变量x0的一个改变量△x,则函数值y的改变量为第5页,共30页,2024年2月25日,星期天知在x0处的导数值为因此,的导数为第6页,共30页,2024年2月25日,星期天抽象概括
一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是,我们有比较与加减法则的不同特别地,当时,有.第7页,共30页,2024年2月25日,星期天思考交流:下列式子是否成立?试举例说明.设,试说明:,.第8页,共30页,2024年2月25日,星期天解析:显然同理..第9页,共30页,2024年2月25日,星期天例1求下列函数的导数:解:(1)函数y=x2ex是函数f(x)=x2与g(x)=ex之积,由导数公式表分别得出根据两函数之积的求导法则,可得x.xyxxyexyxln)3(.sin)2(.)(2===1第10页,共30页,2024年2月25日,星期天(2)函数是函数之积,由导数公式表分别得出根据两函数之积的求导法则,可得第11页,共30页,2024年2月25日,星期天(3)函数是函数之积,由导数公式表分别得出根据函数乘法的求导法则,可得第12页,共30页,2024年2月25日,星期天例2求下列函数的导数:解:(1)函数是函数f(x)=sinx与g(x)=x之商,由导数公式表分别得出由求导的除法法则得第13页,共30页,2024年2月25日,星期天(2)函数是函数f(x)=x2与g(x)=lnx之商,根据导数公式表分别得出由求导的除法法则得第14页,共30页,2024年2月25日,星期天求下列函数的导数:解析:【变式练习】第15页,共30页,2024年2月25日,星期天探究点2导数四则运算法则的灵活运用较为复杂的求导运算,一般综合了和、差、积、商的几种运算,要注意:(1)先将函数式化简,化为基本初等函数的和、差、积、商.(2)根据导数的四则运算法则和公式求导,注意公式法则的层次性.第16页,共30页,2024年2月25日,星期天例3求下列函数的导数:解:(1)函数y=x2(lnx+sinx)是函数f(x)=x2与g(x)=lnx+sinx的积,由导数公式表及和函数的求导法则分别得出由求导的乘法法则得第17页,共30页,2024年2月25日,星期天(2)函数可以看成是函数f(x)=cosx-x与g(x)=x2的商,由导数公式表及差函数的求导法则分别得出由求导的除法法则得第18页,共30页,2024年2月25日,星期天求下列函数的导数:解:【变式练习】第19页,共30页,2024年2月25日,星期天【提升总结】利用导数公式及导数运算法则求导的方法观察函数的结构特征,紧扣导数运算法则,联系基本初等函数的导数公式,分析函数能否直接应用导数公式求导.观察分析对不易于直接应用求导公式的函数,适当运用代数、三角恒等变换,对函数进行化简,优化解题过程.求导时应尽量避免使用积或商的求导法则,可在求导前先化简,然后求导,以简化运算.变形化简第20页,共30页,2024年2月25日,星期天例4求曲线在点(1,1)处的切线方程.解:首先求函数的导函数将x=1代入f′(x),得所求切线的斜率在点(1,1)处的切线方程为探究点3应用导数运算法则求曲线的切线第21页,共30页,2024年2月25日,星期天解析:【变式练习】第22页,共30页,2024年2月25日,星期天第23页,共30页,2024年2月25日,星期天1.函数的导数是()C2.函数的导数为()
D第24页,共30页,2024年2月25日,星期天3.函数的导数为()A第25页,共30页,2024年2月25日,星期天4.下列求导数运算正确的是()B第26页,共30页,2024年2月25日,星期天5.(2012·新课标全国卷)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为_____________.【分析】通过求导得切线斜率,一点一斜率可确定切线方程,最后将方程化为一般式..解析:由曲线方程得,所以曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处切线的斜率k=3×0+4=4,所以曲线在点(1,1)处的切线方程为4x-y-3=0.第27页,共30页,2024年2月25日,星期天6.求曲线y=f(x)=x3+3x-8在x=2处的切线的方程.解:第28页,共30页,2024年
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