2021-2022学年新疆乌鲁木齐二十九中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年新疆乌鲁木齐二十九中九年级第一学期期末数学

试卷

一、单选题（每小题5分，共45分）

I.下面图形中是中心对称图形乂是轴对称图形的是（）

2.在不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的4个球，其中2个黑球、2个白球,

从袋子中一次摸出2个球，下列事件是不可能事件的是（）

A.摸出的是2个白球

B.摸出的是2个黑球

C.摸出的是1个白球、1个黑球

D.摸出的是1个黑球、1个黄球

3.关于x的一元二次方程/+2x+4=0,方程的根的情况是（）

A.没有实数根B.有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

4.如图，点A,B,C均在。0上，当/OAC=50°时，的度数是（）

5.设A(-2,y),B(1,>2),C(2,是抛物线y=-ax2-2ax+m(a>0)上的三

点，则y””，/3的大小关系为()

A.yi>y2>>3B.C.D.yi>y\>yi

6.如图，在△48C中，ZC=90°,NA=30°,AC八行，AB=2,动点。在边AC上，

以HD为边作等边（点E、A在BD的同侧）.在点D从点A移动至点C的过程

c.2V3D.a

7.世界卫生组织关于埃博拉疫情报告称，在病毒传播中，每轮平均1人会感染x个人，若

2个人患病，则经过两轮感染就共有162人患病.求x的值（）

A.9B.8C.7D.6

8.如图，在扇形O4B中，已知NAOB=90°,QA=V2>过弧AB的中点C作

CELOB,垂足分别为。、E,则图中阴影部分的面积为（）

0

7T-1c71-1〃兀K

A.-----B.-----C.----1D.Y---

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9.如图①，在矩形A8C力中，AB>AD,对角线AC,8。相交于点0,动点P由点月出发,

沿Af8fC运动，设点P的运动路程为x,△AOP的面积为y,y与x的函数关系图象如

D.8

二、填空题（每小题5分，共30分）

10.已知方程（机-2）例-x-9=0,当机=时，是关于x的一元二次方程.

11.如图，正方形ABCQ中，对角线AC和8。相交于点。，点E在线段BC上，OFVOE

交CQ于点F,小明向正方形内投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是

12.如图，线段48=4,以线段AB为斜边作RtZVIBC,AOBC,NC的平分线CN与线

段AB的垂直平分线交于点M,则线段CM的取值范围为.

13.如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔

0.2米设置一根立柱(即AB间间隔0.2米的7根立柱)进行加固，若立柱EF的长为0.28

米，则拱高。C为米.

14.已知二次函数%=加+法+<?与一次函数)，2=加叶〃的图象交于A、B两点,其坐标为A

(-2,-2),B(3,1).则以>玖时，x的取值范围是.

15.如图，在平面直角坐标系中，B(0,4),A(3,0),0A的半径为2,P为。A上任

意一点，C是BP的中点，则OC的最大值是.

三、解答题(共75分)

16.解方程.

(1)N-4x-3=0；

(2)2A2-4x=5.

17.已知△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程f-

(2k+3)x+k2+3A+2=0的两个实数根，

(1)求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；

(2)后为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

(3)%为何值时，AABC是等腰三角形，并求△ABC的周长.

18.北京世界园艺博览会为满足大家的游览需求，倾情打造了3条各具特色的游玩路线，如

表：

ABC

漫步世园会爱家乡，爱园艺清新园艺之旅

小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这3条路线中任意选择一条，每条线路被

选择的可能性相同.

(1)求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率是多少？

(2)用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率.

19.如图，在四边形4BC£>中，AB//CD,N8C£)=90°,AB=AD=\Ocm,BC=Scm.点

P从点A出发，以每秒3c机的速度沿折线ABC方向运动，点Q从点。出发，以每秒2c加

的速度沿线段。C方向向点C运动.已知动点尸，。同时发，当点。运动到点C时，P,

Q运动停止，设运动时间为人

(1)直接写出C。的长(cm)；

(2)当四边形为平行四边形时，直接写出四边形PBQO的周长(C/M)；

(3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得ABP。的面积为15。"2?若

存在，请求出所有满足条件的f的值；若不存在，请说明理由.

20.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,。为△ABC内一点，且。C=2.

(I)将△AC。绕点C顺时针旋转90°,画出旋转后的△BCE；

(II)在(/)图中连接。E,求NOEC的度数及OE的长.

A

二

21.小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LE。护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十

一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量P（盏）与时间x（天）之间满

足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏.护眼台灯的销售价格y

（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y-1x+25（1WXW20,且x为整数）

（1）求日销售量P（盏）与时间x（天）之间的函数关系式：

（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？

注：销售利润=售价-成本.

22.如图，在RtZ\ABC中，/ACB=90°,。是8c边上一点，以。为圆心，为半径的

圆与4B相交于点£>,连接C£>,且C£>=AC.

（1）求证：C。是。。的切线；

（2）若NA=60°,AC=2百，求奇的长.

23.如图，抛物线、=/+以+<:与x轴交于A（-3,0）,B（1,0）两点，与y轴交于点C,

连接AC,BC,点尸是直线AC下方抛物线上的一个动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AP,CP,设P点的横坐标为加，△4CP的面积为S,求S与机的函数关系式;

（3）试探究：过点P作8c的平行线1,交线段AC于点。，在直线/上是否存在点E,

使得以点。，C,B,E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不

存在，请说明理由.

参考答案

一、单选题（每小题5分，共45分）

1.下面图形中是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180。后能够与原图形完全重合即是中心对称图

形；以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案.

解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

8、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

C、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

。、此图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确，

故选：D.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，解题的关键是找出图形的对称

中心与对称轴.

2.在不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的4个球，其中2个黑球、2个白球,

从袋子中一次摸出2个球，下列事件是不可能事件的是（）

A.摸出的是2个白球

B.摸出的是2个黑球

C.摸出的是1个白球、1个黑球

D.摸出的是1个黑球、1个黄球

【分析】根据袋子中只有两个颜色的球，不可能摸出第三个颜色进行解答.

解：4、有可能2个都是白球，是随机事件，故A不符合题意；

3、有可能2个都是黑球，是随机事件，故8不符合题意；

C、有可能摸出的是1个白球、I个黑球，是随机事件，故c不符合题意;

。、不可能摸出黄球，是不可能事件，故。符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查了随机事件,掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是关

键.

3.关于x的一元二次方程3+2^+4=0,方程的根的情况是（）

A.没有实数根B.有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

【分析】先求出△,判断△的正负,即可得出选项.

解：x2+2x+4=0,

△=22-4X1X4=-12<0,

二方程没有实数根，

故选：4.

【点评】本题考查了根的判别式的应用，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键.

4.如图，点A,B,C均在。。上，当/O4C=50°时，的度数是（）

【分析】根据等腰三角形AOAC的性质，可得NOAC=NOC4,得出NAOC,再根据圆

周角定理，得NB-|NAOC，即可得解.

解：•.•点A,B,C均在。0上，ZOAC=50°,

：.OA=OCf

：.ZOAC=ZOCA=50°,

AZAOC=180°-2X50°=80°,

AZB=—ZAOC=40°,

2

故选：C.

【点评】此题考查了圆的性质、圆周角定理、三角形内角和定理与等腰三角形判定与性

质，熟练掌握并运用相关性质是解此题的关键.

5.设A(-2,力)，B(1,yz),C(2,”)是抛物线y=-ax2-2ax+m(«>0)上的三

点，则yi,yi>>3的大小关系为()

A.yi>>2>>3B.yi>>3>)'2C.”>>2>力D.

【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，然后根据对称性和增减性即

可求解.

解：•.•抛物线旷=-加-20计"(。>0),

二抛物线开口向下，对称轴为直线x=-衿、=-1，

2X(-a)

/.x>-1时，y随x增大而减小，

A(-2,yi),B(1,y2),C(2,为)是抛物线y=-ax2-2ax+m(a>0)上的三点，

.,.A(-2,yO关于直线》=-1的对称点(0,yi)也是抛物线y=-ox2-2依+,〃(a>0)

上的点，

VO<1<2,

故选：A.

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质.

6.如图，在AABC中，ZC=90°,/A=30°,群瓜AB=2,动点。在边AC上，

以BD为边作等边ABDE(点E、A在的同侧).在点D从点A移动至点C的过程

中，点E移动的路径长为()

【分析1以A8为边在△ABC外作等边连接ME,延长ME与A8交于点N,证

明aBEM丝△8DA,得到MN为点E运动的轨迹，求得MN的长度便可.

解：以AB为边在AABC外作等边△ABM,连接ME,延长ME与AB交于点N,

，NMBE=ZABD,

在△BEM和△ADB中，

'BB=BA

<ZMBE=ZABD.

BE=BD

：./\BEM^/\BDA(SAS),

ZBAC=30°,

：.ME±AB,AN=fiN=—AB=\,

2

u

：BM=BA=2f

MN=VBM2-BN2=V3)

连接CM

\*AB=2,AC=y]"29

•■•BC=VAB2-AC2=1'

：.BC=BN,

\'ZABC=60°,

.•.△BCN为等边三角形，

当点。与C重合时，点E与AB的中点M重合，当点。与A重合时，点£与等边三

角形AABN的顶点N重合，

.•.点E的运动路径长为MN=M，

故选：D.

【点评】本题考查轨迹、等边三角形的性质、勾股定理，全等三角形的性质与判定，解

题的关键是构造全等三角形寻找E点的运动轨迹.

7.世界卫生组织关于埃博拉疫情报告称，在病毒传播中，每轮平均1人会感染x个人，若

2个人患病，则经过两轮感染就共有162人患病.求x的值（）

A.9B.8C.7D.6

【分析】若2个人患病，则第一轮传染中感染2x人，第二轮传染中感染x（2+2x）人，

根据“若2个人患病，则经过两轮感染就共有162人患病”，即可得出关于x的一元二

次方程，解之取其正值即可得出结论.

解：若2个人患病，则第一轮传染中感染2A•人，第二轮传染中感染x（2+2r）人，

依题意得：2+2x+x（2+2x）=162,

即（1+x）2=81,

解得：M=8,X2--10（不符合题意，舍去），

•♦.X的值为8.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

8.如图，在扇形OA5中，已知NA08=90。，°卜班,过弧A8的中点。作

CEA.OB,垂足分别为。、E,则图中阴影部分的面积为（）

O

AA.--兀------1-BC.--兀------1-C「.兀-1DC.1-兀

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【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接。C,根据全等三角形的

性质得到0。=0日得到矩形CDOE是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到

结论.

解：'.'CD1.OA,CEA,OB,

：.ZCDO=ZCEO=NAOB=90°,

二四边形CDOE是矩形,

连接oc,

,・♦点。是弧A8的中点,

・・・ZAOC=ZBOC,

•：oc=oc,

•••△CO。丝△COE(A4S),

:.OD=OE,

・・・矩形CDOE是正方形，

*/OC=OA=yf29

：.OE=19

图中阴影部分的面积=迎*6②±-IXI=F-i,

【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，

正确识别图形是解题的关键.

9.如图①，在矩形ABC。中，AB>AD,对角线AC,8。相交于点O,动点P由点A出发,

沿4-8-C运动，设点P的运动路程为x,ZVIOP的面积为y,y与x的函数关系图象如

图②所示，则AB边的长为()

【分析】当点尸到达点B时，△AOP的面积为6,此时△40P的高为京7,则64X

ABX(yBC),解得A8・BC=24,而AB+BC=10,即可求解.

解：从图象看，当点尸到达点3时，△AOP的面积为6,此时aAOP的高为5BC,

...△AOP的面积=/xA8X(^-BC)=6,解得A8・8C=24①,

而从图②看，A8+BC=10②，

由①②并解得48=6,BC=4,

故选：A.

【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图

象和图形的对应关系，进而求解.

二、填空题（每小题5分，共30分）

10.已知方程5-2）冽-x-9=0,当＞=-2时,是关于x的一元二次方程.

【分析】根据一元二次方程的定义可知，二次项的系数胆-2不等于0,且|刑=2,从而

可得m=-2.

解：：方程（m-2）型"-彳-9=0是关于x的一元二次方程，

\m\-2且m-2W0,

'.m--2.

故答案为：-2.

【点评】此题考查一元二次方程的定义，以及绝对值的性质，熟练掌握一元二次方程的

定义是解题的关键.

11.如图，正方形4BCO中，对角线AC和相交于点。，点E在线段8c上，OFLOE

交CO于点F,小明向正方形内投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是_劣_.

【分析】根据正方形的性质易得△OEC丝△OFD,所以&OEC=SAOFD,则5用.部分=5加℃

=^^ABCD,然后根据几何概率的意义求解.

解：：四边形ABC。为正方形，

：.OC=OD,ZCOD=90°,ZOCE=ZODF9

•・•OF.LOE,

：.ZEOC+ZCOF=90°,

VZDOF+ZCOF=W0,

：.ZEOC=ZFODf

：./\OEC^/\OFD,

SAOEC=SAOFD,

；・S阴影部分=540。。=2-5正方形48C。，

4

...飞镖落在阴影区域的概率1.

故答案为：4-

【点评】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率.计

算方法是长度比，面积比，体积比等.也考查了正方形的性质.

12.如图，线段AB=4,以线段A8为斜边作RtZ\A8C,AC>BC,/C的平分线CN与线

段AB的垂直平分线交于点M,则线段CM的取值范围为_2&<CM<4_.

【分析】根据题意以点。为圆心，AB为直径作圆。，可得方（=窗，C'MYAB,AD=

BO=/AB=2,DM=DB=2,当点C与点B重合时，CM=2近,但是此时不能构成三

角形ABC,CM>2近,当点C运动到点C，时，此时C'M=AB=4,根据AOBC,

所以C'M<4,进而可以解决问题.

解：如图，根据题意可知：以点。为圆心，A8为直径作圆

ZACB的平分线CN与线段AB的垂直平分线交于点M,

.,.俞=前，C'MLAB,AD=BD=-^AB=2,

：.DM=DB=2,

当点C与点B重合时，"=2料，

但是此时不能构成三角形A8C,

:.CM)2近,

当点C运动到点C时，此时C'M=AB=4,

'：AC>BC,

：.C'M<4,

线段CM的取值范围为2M〈CMV4.

故答案为：2&<CM<4.

【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解决本题的关键掌握垂径定理.

13.如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔

0.2米设置一根立柱(即AB间间隔0.2米的7根立柱)进行加固，若立柱EF的长为0.28

米，则拱高OC为0.64米.

【分析】由于相同的间距0.2m用5根立柱加固，则AB=0.2X8=1.6,以。坐标系的原

点，OC所在直线为y轴建立坐标系，由此得到抛物线过(0.8,0)、(-0.8,0),(-

0.6,0.28),据此求出解析式.把x=0代入后求出了即可.

解：根据题意可知，48=0.2X8=1.6,以。坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐

设抛物线解析式为y=a^+bx+c,

.•.抛物线过(0.8,0)、(-0.8,0)、(-0.6,-0.28),

0.64a+0.8b+c=0

・10.64a-0.8b+c=0，

0.36a-0.6b+c=0.22

a=l

解得，b=0

c=-0.64

.•.抛物线解析式为y=f-0.64.

令x=0,贝！Jy=-0.64.

；.OC=0.64.

故答案为：0.64.

【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题，借助二

次函数解决实际问题.

14.已知二次函数%=加+加+。与一次函数”=蛆+"的图象交于A、B两点,其坐标为A

(-2,-2),8(3,1).则时，x的取值范围是当。>0时，x的取值范围

是x<-2或x>3；当“<0时，x的取值范围是-2<xV3.

【分析】根据求“>以时，x的取值范围，即求函数yi=ax2+bx+c的图象在函数

，nx+〃的图象上方时，x的取值范围.再分类讨论①当a>0时和②当时，画出大致

图象，即可得出答案.

解：分类讨论：①当。>0时，图象大致如图1所示，

由图可知当x<-2或x>3时，函数y[=ax2+bx+c的图象在函数>2=如叶”的图象上方,

此时x的取值范围为：x<-2^x>3；

②当。<0时，图象大致如图2所示，

由图可知当-2<x<3时，函数y】=ax2+bx+c的图象在函数冲=阿什〃的图象上方，

，此时x的取值范围为：-2<x<3.

故答案为：当。>0时，x的取值范围是x<-2或x>3；当aVO时，x的取值范围是-2

<x<3.

【点评】本题考查根据函数图象交点确定不等式的解集.利用数形结合和分类讨论的思

想是解题关键.

15.如图，在平面直角坐标系中，B(0,4),A(3,0),0A的半径为2,P为上任

意一点，C是BP的中点，则0C的最大值是3.5.

【分析】连接48,取A8的中点”，连接C〃，OH.利用三角形的中位线定理可得C4

=1,推出点C的运动轨迹是以，为圆心半径为1的圆.

解：如图，连接AB,取AB的中点H,连接CH,0H.

■:BC=CP,BH=AH,

：.CH=—PA=\,

2

，点C的运动轨迹是以，为圆心半径为1的圆，

•:B(0,4),A(3,0),

：.H(1.5,2),

22+1.52=25,

；.OC的最大值=OH+CH=2.5+1=3.5,

故答案为：3.5.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点C的运动轨迹，属于中考选择题中的压

轴题.

三、解答题(共75分)

16.解方程.

(1)/-4x-3=0；

(2)*-4x=5.

【分析】(1)原方程运用配方法求解即可；

(2)原方程运用配方法求解即可.

解：(1)f一4冗一3=0,

x2-4x=3,

x2-4x+4=3+4,

(x-2)?=7,

•**x-2=±"，

/.x1=2+\/7,X2=2-V7；

(2)2x2-4x=5,

25

x2o=万，

n5

x_2x+l=1+l，

（X-1）2^

x-l=土丁_

•,xl=-2-，x2=-2-,

【点评】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法是解答本题的关键.

17.已知△ABC的一条边BC的长为5,另两边A8、AC的长是关于x的一元二次方程/-

(2Z+3)x+42+3A+2=0的两个实数根,

（1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）Z为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（3）Z为何值时，△A8C是等腰三角形，并求△ABC的周长.

【分析】（1）若要证明方程总有两个不相等的实数根，只需证明△>（）.

（2）若△ABC是以8c为斜边的直角三角形，则根据勾股定理，A¥+AG=25,再根据

根与系数的关系求得k的值即可.

（3）此题要分两种情况进行讨论，若AB=BC=5时，把5代入方程即可求出％的值，

若AB=AC时，则A=0,列出关于人的方程，解出后的值即可.

解：（1）因为A=/?2-4ac=[-（2A+3）]2-4XlX（F+3A+2）=1>0,

所以方程总有两个不相等的实数根.

（2）根据根与系数的关系：AB+AC=2k+3,AB-AC=l^+3k+2,

则AB2+AC2=CAB+AC）2-2AB'AC=25,

即（2A+3）2-2（N+3Z+2）=25,

解得k=2或仁-5.

根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和2%+3>0且两根的积R+3A+2>0,

.\k-2.

（3）若AB=BC=5B^,5是方程N-（2Z+3）x+F+3A+2=0的实数根，把x=5代入原

方程，得-3或々=4.

由（1）知，无论/取何值，△>（）,所以AB¥AC,故％只能取3或4.

根据一元二次方程根与系数的关系可得：AB+AC=2k+3,当仁3时，AB+AC=9,则周

长是9+5=14；

当4=4时，AB+AC=8+3=11.则周长是11+5=16.

【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根

的情况与判别式△的关系是：（1）△>00方程有两个不相等的实数根；（2）A=0=

方程有两个相等的实数根：（3）A<00方程没有实数根.在解题的过程中注意不要忽

视三角形的边长是正数这一条件.

18.北京世界园艺博览会为满足大家的游览需求，倾情打造了3条各具特色的游玩路线，如

表：

ABC

漫步世园会爱家乡，爱园艺清新园艺之旅

小美和小红都计划去世园会游玩，她们各自在这3条路线中任意选择一条，每条线路被

选择的可能性相同.

（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率是多少？

（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率.

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有9种等可能性结果，其中小美和小红恰好选择同一条路线的可能结

果有3种，再由概率公式求解即可.

解：（1）依题意，共3条路线，每条线路被选择的可能性相同.

小美选择路线“清新园艺之旅”的概率是,；

（2）画树状图如下：

开始

ABC

/T\/1\/K

ABCABCABC

共有9种等可能性结果，其中小美和小红恰好选择同一条路线的可能结果有3种,

...小美和小红恰好选择同一条路线的概率为,=《.

93

【点评】本题考查的是树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的

结果，适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

19.如图，在四边形ABCZ）中，AB//CD,/BCD=90°,AB=AD^10cm,BC=8c九点

P从点A出发，以每秒3aw的速度沿折线ABC方向运动，点。从点。出发，以每秒2cm

的速度沿线段OC方向向点C运动.已知动点P,。同时发，当点。运动到点C时，P,

。运动停止，设运动时间为八

（1）直接写出C。的长（c〃?）；

（2）当四边形尸B。。为平行四边形时，直接写出四边形的周长（““）；

（3）在点P、点。的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为15c•〃，？若

存在，请求出所有满足条件的f的值；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）过点A作于根据题意证明四边形A8C。是平行四边形，然

后根据平行四边形的性质以及勾股定理可得结果；

（2）当四边形PBQ。是平行四边形，则点P在AB上，点。在。C上，则8P=10-3f,

DQ=2t,根据平行四边形的性质可得10-3f=2f,求解得出平行四边形的各边长，求其

周长即可；

（3）分两种情况进行讨论：①当点尸在线段AB上时；②当点尸在线段BC上时；根据

三角形面积列方程计算即可.

：.AM//CB,

•JAB//CD,

...四边形ABCD是平行四边形,

：.CM=AB=Wcm,

在中，AD=lOcm,AM=BC=Scm,

根据勾股定理得，DM=6cm,

：.CD=DM+CM^16aw；

(2)当四边形PBQ。是平行四边形，

则点P在AB上，点。在OC上，如图,

二10-3f=2f,

此时，BP=DQ=4,CQ=12,

根据勾股定理得，BQ=4Vl3：

四边形PBQD的周长为2(BP+BQ)=8+8

(3)①当点P在线段AB上时，

②当点尸在线段BC上时，

即：—<.t46时，如图,

0

BP=3t-10,CQ=16-23

SABpQ=yPBCQ=-^(3t-io)(16-2t)=15，

；.f=5或t=?(舍)，

即：满足条件的/的值为£秒或5秒.

12

【点评】本题考查了四边形的动点问题，掌握平行四边形的判定与性质，勾股定理，读

懂题意，根据相应图形的性质列出方程是解本题的关键.

20.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,。为AABC内一点，且。C=2.

(I)将△ACD绕点C顺时针旋转90°,画出旋转后的△BCE；

(H)在(/)图中连接。E,求NOEC的度数及OE的长.

E【分析】(I)根据要求作出图形即可；

(II)利用等腰三角形的判定和性质解决问题.

解：(I)图形如图所示：

(II)'：CD=CE,ZDCE=90Q,

:.NDEC=NCDE=45°,

'：CD=CE=2,

D£=^22+22=2近■

【点评】本题考查作图-旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键

是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型.

21.小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型〃口＞护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十

一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量P（盏）与时间x（天）之间满

足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏.护眼台灯的销售价格y

（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y[x+25（1WXW20,且x为整数）

（1）求日销售量P（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；

（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？

注：销售利润=售价-成本.

【分析】（1）设日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式为2=履+〃，把（1,

78）,（2,76）代入求出即可；

（2）设日销售利润为w元，根据销售利润=售价-成本列出函数解析式，再根据函数的

性质求最值.

解：（1）设日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为

把（1,78），（2,76）代入得：（k+b=78,

l2k+b=76

解得:（k=~2，

lb=80

即日销售量P（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p=-2x+80；

（2）设日销售利润为w元，

卬=（-2x+80）（―x+25-20）=-—（x-10）2+450；

42

；-/vo,1WXW20,且x为整数，

.•.当x=10时，卬取得最大值，最大值是450；

...在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元.

【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，主要考查学生能否把实际问题转

化成数学问题，即用所学的数学知识来解决实际问题.

22.如图，在RtZ\ABC中，/ACB=90°,。是8c边上一点，以。为圆心，OB为半径的

圆与AB相交于点。，连接CD且CO=AC.

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）若NA=60°,AC=2心求俞的长.

【分析】（1）连接0D.由等腰三角形的性质及圆的性质可得NA=NADC,/B=N

BDO.再根据余角性质及三角形的内角和定理可得NODC=180。-（NADC+NBDO）

=90°.最后由切线的判定定理可得结论；

（2）根据等边三角形的判定与性质可得N£>C0=/4C3-NAC0=3O0・再由解直角三

角形及三角形内角和定理可得N80。的度数，最后根据弧长公式可得答案.

9：AC=CD,

：.ZA=ZADC.

♦：OB=OD,

：・/B=NBDO.

VZACB=90°,

・・・NA+NB=900.

:・NADC+NBDO=90°.

AZODC=180°-(NAOC+N8OO)=90°.

又・・・。。是OO的半径，

・・・CD是。0的切线.