奥数行程之钟表问题张林 (附答案)

奥数行程之钟表问题

【知识点梳理】

1.基础知识：

时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。

整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6

度。

钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格

30度，分针走12大格合60小格360度；每分钟时，时针速度：每分钟走今小格，X

6=0.5度，每分钟走0.5度，分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度。每分钟分针比时

针多走，或是6度-0.5度=5.5度；这是速度差，是恒定不变的。而它们的速度

113

和是1垣不，或是6度+0.5度=6.5度，这也是恒定不变的。

每秒钟，秒针每秒钟走1小格,6度;分针每60秒钟走1小格，则分针每秒钟走七格，

1159

而X6=0.1度；每秒钟秒针比分针多走『而云格，或是6度-0.1度=5.9度。

秒针每秒走1小格，6度；时针60X60=3600秒走5小格，则时针每秒走义格，义

I乙UI乙U

11719111

X6=TT度；每秒钟秒针比时针多走节正格，或是6度-3度二5行度

1.乙(乙乙UJL乙JL乙

时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”

分别是时钟的分针和时针。时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方

式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟

走多少小格”。而它们的速度差和速度和是固定不变的.

2.基本类型：

一是求某一时刻时针与分针的夹角，二是求时针、分针的追及问题，主要有：两针重合，

两针垂直，两针成直线等类型。三是求时针、分针的相遇问题，四是求“怪钟”，或者是“坏

了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对

不同的问题进行独立的分析。

一、某一时刻时针与分针的夹角

钟表上的时针、分针你追我赶，始终围绕中心按各自恒定的速度旋转，两针所成的夹角

也随着时间的变化而变化。

如何来计算两针的夹角呢？通常我们以两针各自正对钟表面上“12”时为起始位置，以

所计算角度时刻时针、分针暂停的位置为终止位置,两针各自旋转的角度之差为两针的夹角。

由于我们常说的角都是小于180度的，当两针夹角大于180度时，应用周角360度减去两针

所所旋转的夹角差为两针的夹角。

时针旋转一圈是12小时，从起始位置旋转到终止位置旋转了360度，1小时旋转了30

度，1分钟旋转了0.5度；分针旋转一•圈是60分钟，从起始位置旋转到终止位置是360度，

1分钟旋转了6度。

(1)普通钟表相当于圆，其时针或分针走一圈均相当于走过360°角；(2)钟表上的

360°360°

每一个大格对应的角度是:=30°；(3)时针每走过1分钟对应的角度应为:

1212X60

=0.5。；⑷分针每走过1分钟对应的角度应沏b=6。。

（-）整点两针夹角的计算

例1.3点整时针分针的夹角是多少度？

分析：如图1,时针从0点旋转到2点，旋转了2X30°=60°；分针没有旋转，从0

分到0分，转了0°。所以两针的夹角为60°-0。=60°。

解：3义30°-0X6°=90°

总结：一般情况下，时针与分针的夹角最大为180°,即所求的夹角都是较

小的夹角。整点时，因为分针始终指向刻度12（0）,即分针没有旋转角度，所

以我们只需要看时针与分针之间相差了多少大格，1大格对应30°。

如果时针刻度在W6的时候，时针与分针的夹角=整点数X30°；

如果时针刻度在＞6时，时针与分针的夹角=360°-整点数X30°=（12-整

点数）X3O0

练习1：早上6点整时，时针分针的夹角是（）度

早上8点整时，时针分针的夹角是（）度

早上10点整时，时针分针的夹角是（）度

早上11点整时，时针分针的夹角是（）度

中午12点整时，时针分针的夹角是（）度

下午13点整时，时针分针的夹角是（）度

下午15点整时，时针分针的夹角是（）度

下午19点整时，时针分针的夹角是（）度

下午14点整时，时针分针的夹角是（）度

下午22点整时，时针分针的夹角是（）度

（二）非整点两针夹角的计算

例1.如图1所示，当时间为7：55时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°

的角）。

解析一：此题中按顺时针方向看分针在后面，时针在前面，时针靠向分针；依据常识,

我们应该以时针、分针均在12点时为起始点进行计算。由于分针在时针前面，我们可以先

算出分针走过的角度，再减去时针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数。

分针走过的角度为：55X6°=330°

时针走过的角度为:7X30°+55X0.5°=237.5°

则时针与分针夹角的度数为：330°-237.5°=92.5°

综合算式：夹角=分针时间X6°-（时针时间X30°+分针时间义0.5°）=分针时间X

5.5°-时针时间X30°

解析二：假设时针固定在7不动，则时针分针的夹角为：（55-7X5）X6°=120°

因为时针要移动，所以最后夹角是：120°-生X30°=92.5°

y分针时间

综合算式：夹角=（分针时间-时针时间X5）X6。一互需!-』X30°

oU

小练习1：当时间为6：45时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。

综合算式1：夹角=分针时间X6°-（时针时间X30°+分针时间X0.5°）=分针时间X

5.5°-时针时间X30°

分针时间

综合算式2：夹角=（分针时间-时针时间X5）X6°—殁产X3O0

bU

小练习2：当时间为2：30时;计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。

小练习3：当时间为5：50时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180。的角）。

例2.如图2所示，当时间为7：15时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°

的角）。

解析一：此题中按顺时针方向看，时针在分针的后面，与上题不同。我们应该先算出

时针走过的角度，再去减去分针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数。

时针走过的角度为：7x300+15x0.5°=217.5°

分针走过的角度为：15x6°=90°

则时针与分针夹角的度数为：217$°-90。=127.5°

综合算式：夹角=（时针时间义30°+分针时间X0.5°）-分针时间X6°=时针时间X

30°-分针时间X5.5°

解析二：假设时针固定在7不动，则时针分针的夹角为：（7X5-15）X6°=120°

15

因为时针要移动，所以最后夹角是：120°X30°=127.5°

60

分针时间

综合算式：夹角=（时针时间X5-分针时间）X6。+万蟹X30°

小练习1：当时间为8：20时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。

综合算式1：夹角=（时针时间X30°+分针时间X0.5°）-分针时间义6°=时针时间X

30°-分针时间X5.5°

综合算式2：夹角=（时针时间X5-分针时间）X6°但瞥区X3O0

0U

小练习2：当时间为3：15时,计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。

小练习3：当时间为5：30时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。

小练习4：当时间为9：40时;计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。

小练习5：当时间为10：50时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。

总结规律：

从上述两例我们可以总结出规律如下：当分针在时针前面，可以先算出分针走过的角度,

再减去时针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数；当分针在时针后面，可以先算出

时针走过的角度，再减去分针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数。

用字母和公式表示：

当时间为m点n分时，其时针与分针夹角的度数为：

（1）分针在时针前面：

综合算式1：夹角=分针时间X6。-（时针时间X30°+分针时间X0.5°）=分针时间X

5.5°-时针时间X30°

分针时间

综合算式2：夹角=(分针时间-时针时间义5)X6°-为X30°

OU

(2)分针在时针后面：

综合算式1：夹角=(时针时间X30°+分针时间X0.5°)-分针时间X6°=时针时间X

30°-分针时间X5.5°

综合算式2：夹角=(时针时间X5-分针时间)X6°严分针导时间2X3O0

oU

依据此公式可以求出任意时刻时针与分针夹角的度数，计算起来非常便捷。如果题目中

涉及到秒，我们可以先把秒换算为分，再套用上述规律和公式进行计算即可。

综合以上可得：

当时间为m点n分时，其时针与分针夹角的度数为：

I时针时间X30°-分针时间X5.5°|

当I时针时间X30°-分针时间X5.5°|结果大于180°时，时针与分针夹角的度数为

360°-I时针时间X30°-分针时间X5.5°

(三)已知两针的夹角，求时间

例3.4点过多少时，时针与分针互相垂直？

分析：存在两种情况：(1)当时针旋转角度大于分针旋转角度时，如图3,时针分针

互相垂直；(2)当分针旋转角度大于时针旋转角度时，如图1,时针分针互相垂直。

(1)当时针旋转角度大于分针旋转角度时，如图3,

解法一：设4点过x分钟时两针互相垂直。由题得：

(4X30+0.5x)—6x=90

120+0.5x—6x=90

5.5x=30

5

x=5五

解法二：因为四点整时，分针与时针相差路程(4X5)小格，而后来成90°相差90°

4-360°X60=15小格，即分针追及的路程为：(4X5-90°4-360°X60),所以追及时间=

追及路程+速度差

15

(4X5-90°4-360°X60)4-(1--)=5言(分)

(2)当分针旋转角度大于时针旋转角度时，如图2,设4点过y分钟时两针互相垂直。

由题得：

6y-(4X30+0.5y)=90

6y-120-0.5y=90

5.5y=210

2

y=387T

解法二：因为四点整时，分针与时针相差路程(4X5)小格，分针追上时针，还超过了

90°,相差90°4-360°X60=15小格，即分针追及的路程为：(4X5+90°4-360°X60),

所以追及时间=追及路程+速度差

（4X5+90°+360°X60）+（1-纭）=38看

52

答：4点过5—分或4点38—分时，时针与分针互相垂直。

总结：（1）从顺时针角度看，时针在分针的后面，当时针旋转角度大于分针旋转角度

时。

解法一：设整点过x分钟时两针成相应角度。由题得：6x-（整点X30+0.5x）=后来

度数

解法二：（整点X5-度数+360。X60）4-（1-专）

（2）当分针追上时针，并超越这角度时。

解法一：设整点过x分钟时两针成相应角度。由题得：（整点X30+0.5x）—6x=后来

度数

解法二：（整点X5+度数+360。X60）4-（1-白）

练习1.11点过多少分时，时针与分针的夹角为30度？

（提示：也存在两种情况，一种是时针比分针旋转角度大30度，另一种是时针比分针

旋转角度大360°-30°=330°）

练习2.3点过多少分时，时针与分针的夹角为60度？

练习3.5点过多少分时，时针与分针的夹角为120度？

练习4.8点过多少分时，时针与分针的夹角为60度？

二、时针、分针的追及问题

新课标提倡，数学走进生活，教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。追及问

题主要有以下两种解法：

1111

一、格数法：分针与时针的速度差=1、=7?；秒针与分针的速度差：1-正任格;

12oUbU

5i

秒针每秒走1小格，时针60X60=3600秒走5小格，则时针每秒走访；弓而格，秒针与

obUU/ZU

时针的速度差是151/719格。

II4U

二、度数法：

每分钟时，时针速度：每分钟走纭小格，纭X6=0.5度，每分钟走0.5度，分针速度：

每分钟走1小格，每分钟走6度。每分钟分针与时针的速度差6度-0.5度=5.5度。

每秒钟，秒针每秒钟6度；分针每60秒钟走1小格，则分针每秒钟走上格，1X

6=0.1度；每秒钟秒针与分针的速度差=6度-0.1度=5.9度。

秒针每秒走1小格，6度；时针60X60=3600秒走5小格，则时针每秒走劣格，/

，乙IU，乙U

X6』度；每秒钟秒针与时针速度差6度』度=5号度

，乙1.乙J.乙

追及问题主要有重合，成平角，（这两种情况又叫成一条直线），成直角，或成相应角度。

示例：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）

成直角：（4）成60度。许多同学面对此题，束手无策，不知如何解决。实际上，因为分针

旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做

追及问题。通常有以下两种解法：

钟表面的外周长被分为60个“分格”即60个小格，时针1小时走5个分格，所以时针

一分钟转,分格，分针一分钟转1个分格。分针与时针的速度差=1-白片，因此可以利

用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。而从度数法来看：每分钟分针与时针的速

度差6度-0.5度=5.5度。

Y

解析（1）设3点x分时，时针与分针重合，则分针走x个分格，时针走上个分格。

12

因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合

时，分针比时针多走15个分格即90度，于是得

x4

方程一x------=15,解得：/=16—o

1211

4

方程二6x—05x=90,解得x=16y。

、14

或：154-（1-）=16—

4

所以3点16一分时，时针与分针重合。

11

（2）设3点x分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15小格

处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针必须先追上时针再多行30小格，

此时分针比时针多走了45小格，此时分针比时针多转了90。+180。=270。。于是得

x1

方程一x--=45,解得X=49—。

1211

方程二6x-（）5x=270,WWx=49—o

11

或者：（15+30）4-（1-^）=49yj-

所以3点49,分时，时针与分针成平角。

11

（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15小格处，所以在3点到

4点之间，时针与分针成直角时，分针先追上时针并比时针再多走15小格，共多走了30小

格，此时分针比时针多转了9(尸+90P=1盼，于是得

YQ

方程一X-t=30,解得X=32、。

1211

Q

方程二6x-05x=180,解得x=32y。

।8

或者：(15+15)4-(1--)=32—

Q

所以3点32；■分时，时针与分针成直角。

(4)此题有两种情况，第一种情况，按顺时针方向看，时针在分针前。因为在3点这

一时刻，时针在分针前15小格即90度处，而后来分针距离时针60度即10小格才相遇，所

以分针比时针多走(15-10)个小格，此时分针比时针多走了90度-60度=30度

设3点x分时，时针与分针成60度，则分针走x个分格，时针走三个分格。于是得

12

xS

方程一x--=15-10,解得：x=5—

12110

5

方程二6x—5.5%=30,解得：x=5yy

-15

或：(15T0)4-(1--)=5—

第二种情况，按顺时针方向看，分针在时针前60度。因为在3点这一时刻，时针在分

针前15小格即90度处，而后来分针追上时针并超越了60度即10小格，所以分针比时针多

走(15+10)个小格,此时分针比时针多走了90度+60度=150度。

x

设3点x分时，时针与分针成60度，则分针走x个分格，时针走一个分格。于是得

12

Y3

方程一：x-----=15+10,解得：x=27—o

1211

3

方程二：6x-5.5x=150,解得：x=27—

13

或：(15+10)4-(1--)二27■

所以3点分或者是3点27』分钟时，时针与分针重合。

练一练

1.钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合？

2.钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？

3.钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40°的角？

4.钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？

（参考答案：1.9点49,分；2.5点43工或5点1（）3分；3.3点9,分

1111II11

77

或3点23,分；4.2点43一分。）

11II

例题1：有一座时钟现在显示10时整。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；

再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？

解析：在10点时，时针所在位置为刻度10,分针所在位置为刻度12；当两针重合时,

分针必须追上50个小刻度，分针与时针的速度差=1』丹，是需要时间：

LCi1.u

50^-（1--）=54—

12II

从第一次重合到第二次重合，分针必须比时针多走一圈，即60小格，所以需要时间为：

15

604-（1--）=65—分钟。

JL乙XJL

标准的时钟，从第一次重合到第二次重合，依次类推，每隔65令分钟，时针与分针重

合一次。

小练习1：有一座时钟现在显示8：30»那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；

再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？

第一次相遇所需时间有两种解法：

解法一：分针追上时针的刻度为：（8+髭）X5-30=12.5格，所需时间：

60

3017

［（8+盂）X5-30］4-（1--）=13—（分钟）

解法二：从8：00开始分针追上时针所需时间-30分钟=8：30分开始分针追上时针的时

间：

177

8X54-（1-—）-30=43--30=13—（分钟）

分钟数11

公式：重合所需时间=［（整点数+笠产）X5-分钟数］）=整点数义5+（1。）

OU1Z1Z

一分钟数

15

第二次重合所需时间：60+（1-）=65—分钟。

答：

小练习2：有一座时钟现在显示10：20。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；

再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?

小练习3.中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合

多少次？

析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60格，则分针追赶时针一次，耗

时60/11/12=720/11分钟，而12小时能追随及12*60分钟/720/11分钟/次=11次，

第11次时，时针与分针又完全重合在12点。如果不算中午12点第一次重合的次数，应

为11次。如果题目是到下次12点之前，重合几次，应为11-1次，因为不算最后一次重

合的次数。

172011

12X604-[604-（1--）]=7204——=720X—=11（次）

1.乙1.J.।乙U

答：

小练习4.中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？

析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60格，则

秒针追分针一次耗时,60格/59/60格/秒=3600/59秒。而到1点时，总共有时间3600秒,

则能追赶，3600秒/3600/59秒/次=59次。第59次时，共追赶了，59次*3600/59秒/

次=3600秒，分针走了60格，即经过1小时后，两针又重合在12点。则重合了59次。

1、360059、一、

60X604-[r604-（1--）]=36004-7—=3600X——=59（次）

60593600

小练习5：中午12点，秒针与时针完全重合，那么到下次12点时，时针与秒针重合

了多少次？

析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60格，每秒钟追719/720格，则要一次

要追60/719/720=43200/719秒。而12个小时有12*3600秒时间，则可以追

12*3600/43200/719=719次。此时重合在12点位置上，即重合了719次。

5、、12X60X60

12X60X60+[r60+（l-）]=12X60X604-—————=12X60X60X

6gn0xX/6g0n719

719

----------=719（次）

12X60X60

例题2.现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？什么时候

第二次在一条直线上？

解析：每分时针的速度是表格，0.5（度/分），分针的速度是1格，6（度/分），即分针

与时针的速度差是（1-七）京格，6-0.5=5.5（度/分），10点时，分针与时针距离是10

X5=50小格，夹角是300度。

第一次在一条直线时•，即分针与时针的距离是30小格，夹角是180度；即分针与时针

从50小格到30小格或从300度到180度经过的时间为所求时间。

19

（10X5-30）+（1--）=21—（分）

9

（10X5X6°-180°）4-（6°-0.5°）=21—（分）

第二次成一条直线时，即分针追上时针与时针重合•追及路程为50小格或300度。

10X54-（七）=54-jj（分）

6

10X5X6°+（6°-0.5°）=54—（分）

96

答：第一次成直线时，是10点21五分，第二次成直线时，是10点54打分。

小练习1：有一座时钟现在显示10：05。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次成

一条直线；再经过多少分钟，分针与时针第二次成一条直线？

第一次成一条直线所需时间有两种解法：

解法一：分针追上时针的刻度为：（10+6）X5-5-30=15方格，所需时间：

51g

[（10+—）X5-5-3034-（1--）=16寸（分钟）

解法二:从10：00开始分针追到时针之间的距离30小格所需时间-5分钟=经过的时间:

199

（10X5-30）+（1-）-5=21--5=16—（分钟）

第一次成直线时的公式：

1.当原来角度＞180度时，成直线所需时间工（整点数+笔坦）X5一分钟数-30]+

bU

（1-^）=（整点数X5-30）4-（1-白）一分钟数

J.乙

2.当原来角度＜18°度时'成直线（重合）所需时间工（整点分数钟数+鬻）X5-分钟数]

+（1-蚩）=整点数X5・（1-白）一分钟数

X乙

第二次成一条直线时,此时是重合，分针只要再追30小格就成了，再需时间为:

,1、8

30+（1-逐）=32石（分）

此时的时间是：分针从10：00开始追到重合所需时间，追及路程为50小格或300度。

[6

10X54-（1--）=54~（分）

6

10X5X6°+(6°-0.5°)=54—(分)

或：32卷+16^-+5=54件（分）

小练习2：有一座时钟现在显示3：15。那么，经过多少分钟，分针与时针第一次成一

条直线；再经过多少分钟，分针与时针第二次成一条直线？

小练习3：有一座时钟现在显示9：10,那么，经过多少分钟，分针与时针第一次成一

条直线；再经过多少分钟，分针与时针第二次成一条直线？

例题3.钟表的时针与分针在8点多少分第一次垂直？什么时候第二次垂直？

解析:此题属于追及问题，但是追及路程是40-15=25格（由原来的40格变为15格），

速度差是1--!-=□,所以追及时间是：25+旦=27』（分）。第二次垂直时，追及路程

12121211

在整点数加15格，即5X8+15格，所以追及时间是：（5X8+15）4-（1-^）=60（分）。

13

第一次垂直：（5X8-15）+（1--）=27J（分）

第二次垂直：（5X8+15）+（1-^）=60（分）

答：时针与分针在8点27打分，第二次垂直是在9点。

小练习1：钟表的时针与分针在7点10时，再过多少分第一次垂直？什么时候第二次

垂直？

第一次垂直再经过时间：（整点数X5-15）+（1义）-分钟数

L乙

第二次垂直再经过时间：（15+15）+（1』）

X乙

第二次垂直时的时间=（整点时间X5+15）+（1-今）

X4

小练习2：钟表的时针与分针在9点20时，再过多少分垂直？

小练习3：钟表的时针与分针在4点30时，再过多少分垂直？

基本练习：

1.晚上8点刚过，不一会小华开始做作业，一看钟，时针与分针正好成一条直线。做

完作业再看钟，还不到9点，而且分针与时针恰好重合。小华做作业用了多长时间？

2.某人下午六时多外出买东西，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°,

七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°.那么此人外出多少分钟？

3.小红上午8点多钟开始做作业时，时针与分针正好重合在一起。10点多钟做完时，

时针与分针正好又重合在一起。小红做作业用了多长时间？

1.解析：根据题意可知，从在一条直线上追到乖合，需要分针追30小格，180度。

818

180-r（6-0.5）=32-或：30+（I-）=32-（分）答：

2.解析：如下示意图，开始分针在时针左边110°位置，后来追至时针右边1100位置.于是，分针追上了110°+110°=220°,对

应（110°+110°）4-6°格。所需时间为

（1100+110°）+（6°-0.5°）=40（分）或：（110°+110°）+6°+（1--）=40（分）答:。

3.8点多钟时,时针和分针重合的时刻为：8X5+（I-卜）=43^-（分）10点多钟时，时针和分针重:合的时刻为：】0X5+

（七）=5哈（分）10时5哈分-8时4：白=2时1端，小红做作业用了2时喏时间

4.星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针

正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期

间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明

从几点开始看书？看到几点结束的？

5.从9点整开始，经过多少分，时针与分针第一次成直线?经过多少分钟时针成直角？

6.一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟？

4.分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后-12点以后时针与分针：

111QQ

第一次成一条直线时刻是：（0+30）+）=30-?~=32｝（分），即12点32彳分。

11122

第二次成一条直线时刻是：（5X1+30）-T（1-）=354--=3877（分），即1点3下分。

1it1Ct11LL

11177

第三次成一条直线的时刻是：（5X2+30）+（1-）=40+石=43—（分），即2点43订分。

JL4141JLX1.

O97

如果从12点3所分开始，到1点3牟分，只敲2下，至IJ2点43下分，就共敲5下（不合题意）

2727

如果从1点38yj-分开始到2点43yy分，共敲3下。因此，小明应从1点3斫分开始看书，到2点43—分时结束的。

5.分析：9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要第一次成直线，也就是两者之

间间隔变为30个小格,那么分针要比时针多走15个小格，成直角时，它们之间相隔15小格，追及路程是30小格。

成直线时：（9X5-30）+（]』）=1677分钟。成直角时：（9X5-15）+）=32白分钟

1Ct111411

答：

6.分析：9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格°如果要分针追上时针，也就是两者

之间间隔变为。个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/（11/12）=540/11分钟。

9X54-（1-jTj）=49yp分钟

7.时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？

8.分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？

9.在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？

7.分析：时针和分针重合，也就是两者间隔为。个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针

要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。

j]]8

（0+30）4-（1-）=304--=32yy（分）

8.解析：分针：6度/分时针0.5度/分

当两针第•次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。所以两针再次重合需要的时间为：360/（6-0.5）=720/11分，♦昼

夜有：24X60=1440分，所以两针在一昼夜重合的次数：1440分/（720/11）分/次=22次

24X604-[360+（6。5）卜22（次）或24X604-（604-（1-）卜22（次）

9.解析：整4点时，分针指向12,时针指向4。此时，时针领先分针20格。时，分两针成直角，必须使时针领先分针15

1R

格，或分针领先时针15格。因此，在相同时间内，分针将比时针多走（20-15）格或（20+15）格。（20-15）4-（1-）=5彳（分），

即4点5jp分，（20+15）+（1--）=38yj-分，即4点38yy分。

I5I9

（20-15）4-（1--）=5-（分）（20+15）4-（1--）=38~（分）

10.奶奶中午12点半开始午睡，当时针与分针第4次垂直时起床。奶奶睡了多长时间?

11.在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？

10.分析：12：30到13：00垂直I次，13：00到14：00垂直2次，14：00后出现第4次垂直。

14点多第一次垂直：在顺时针方向，14点时，分针（落后）与时针差60。、10小格，分针要追上并超过90。、15小格，共

追及度数：（60。+90。），或追及格数：（2X5+15）这是一个分针追时针的追及问题。所以，追及时间为：，

313

（60。+90。H（6。-0.5。）=27}（分），或：（2X5+15）+（1—）=27寸（分）

奶奶睡觉时间为14点27.分-12点30分=1小时57得分。

11分析与解：7点时分针指向12,时针指向7（见右图），分针在时针后面5X7=35（格）。时针与分针垂直，即时针与

分针相差15格，在7点与8点之间，有下图所示的两种情况：

（1）顺时针方向看,分针在时针后面15格。从7点开始,分针要比时针多走35-15=20（格），需

I9

（5X7-15）+（1--）=21yp（分）

（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走35+15=50（格），需

（5X7+15）4-（1令）=54-^-（分）

96

答：所求时刻是7点21—分或是54—分。

钟表上的相遇问题

钟表相遇问题主要表现为时针与分针交换位置，它们一共走了一圈360。，60小格；

还有就是在某点开始，时针与分针在整点数两边角度相同，它们共同走了整点数X5小格。

每分钟时，时针速度：每分钟走5小格，白X6°=0.5°,每分钟走0.5°,