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文档简介
2020-2021学年贵港市覃塘区九年级(上)期末数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,共36.0分)
1.如果点在第四象限,则6的取值范围是()
A.m>0B.0<m<1C.m<1D.m>1
2,已知一元二次方程a/+力%+。=Q(a。o).
①若方程两根为一1和2,则2。+c=0;
@b>a+c,则一元二次方程Q/+力%+。=。有两个不相等的实数根;
③若b=2a+3c,则一元二次方程a/+8%+。=0有两个不相等的实数根;
④若仅是方程Q%2+卜%+c=0的一个根,则一定有力2—4ac=(2am+6产成立.
其中正确的是()
A.只有①②③B.只有①③④C.只有①②③④D.只有①④
3.已知反比例函数y=-|的图象上有两点8(%2,丫2),若%iV0<%2,则下列判断正确
的是()
A.yi<y2VoB.0<y2<y1C.<0<y2D.y2<0<7i
4,计算:tan6(r—2Ms30=()
A.-逋B.-立C.0D.3V3
36
5.若方程/—8%+m=0可以通过配方写成。—n)2=6的形式,那么%2+8%+m=5可以配
成()
A.(%—九+5/=1B.(%+n)2=1
C.(x-n+5)2=11D.(x+n)2=11
6.如图,P是Na的边。4上一点,点P的坐标为(12,5),则tcma等于(
5
A.
13
12
B.
13
12
D.
下列图形中,形状一定相同的两个图形是()
A.两个直角三角形B.两个正三角形
C.两个矩形D.两个梯形
8.二次函数丫=a/+6%+c的y与x的部分对应值如下表:则下列判断正确的是()
X-1012
y-5131
A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴
C.当x=4时,y>0D.抛物线的对称轴为x=1
9,在A/IBC中,D、E分别为48、北边上中点,且DE=6,则8C的长度是()
10.
C.2
D.1
11.下列四个三角形中,与图中的三角形相似的是()
12.+6x+c的图象如图,点C在y轴的正半轴上,且
OA=OC,贝女)
A.QC+1=b
B.ab+1=c
C.he+1=a
D.以上都不是
二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)
13.函数y=73-x的定义域是______.
14.如图是抛物线丫=。/+法+(;的一部分,其对称轴为直线%=
根据图象,可知一元二次方程ax?+匕刀+©=0的一个解是%=
另一个解是__•
-1^...—?~>
!\c
c
15.如图,矩形R4BC的顶点P在抛物线y=-(%-I)2-2上运动,点/、3均在%轴上,且PC=2尸4
则矩形P4BC周长的最小值为__.
16.如图,在菱形4BCD中,AC=6,BD=8,贝Usin乙4BC=
17.如图,在矩形48co中,点E在BC上,且AE平分Z_b4C,若BE=4,
AC=15,则△AEC的面积为
18.顶角为30度的等腰三角形的腰长为5,这个等腰三角形的面积是
三、计算题(本大题共1小题,共10.0分)
19.(1)计算4cos45。—V8+(TT+V3)°+(-1)2
%+y=1
2x—y=5"
四、解答题(本大题共7小题,共56.0分)
20.如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,的顶点都在格点
上,点人的坐标是(2,8).
(1)以。为位似中心,在第三象限内作△AB'C',使△AB'C'与△ABC位似,且相似比为1:2;
(2)写出点B的对应点夕的坐标.
:
置
u—一▲一L一
iiii
r-1-1-r-
21.如图,反比例函数yi=子的图象有一个动点4,过点4。作直线
y2=ax,交
图象的另一支于点B.
□X
(1)若点力的坐标是(一1,2),则有
①点B的坐标是;
②当久满足时,Yi>y2;
(2)若在第一象限内有一点C,满足AC=BC,当点4运动时,点C始终在反比
例函数y=(的图象上运动,且tan/CAB=2,求k的值.
22.某商店按图(I)给出的比例,从甲、乙、丙三个厂家共购回饮水机150台,商店质检员对购进的
这批饮水机进行检测,并绘制了如图所示的统计图(口).请根据图中提供的信息回答下列问题.
(1)求该商店从乙厂购买的饮水机台数;
(2)求所购买的饮水机中,非优等品的台数;
(3)从优等品的角度考虑,哪个工厂的产品质量较好些?为什么?
23.如图,有长为46米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度25米
),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃4BCD为了方便出入,
在BC上用其他材料建了两扇宽为1米的门,问:当4B的长是多
B“沛
少米时,围成长方形花圃4BCD的面积为180机2?
24.在矩形48CD中,力B=8,点H是直线4B边上的一个点,连接交直线CB的干点E,交直线4C
于点F,连接BF.
(1)如图①,点H在4B边上,若四边形A8CD是正方形,求证:AADFWAABF;
(2)在(1)的条件下,若AB”尸为等腰三角形,求“尸的长;
(3)如图②,若tan〃DH=%是否存在点H,使得△为等腰三角形?若存在,求该三角形的腰
长;若不存在,试说明理由.
D
图②
25.如图,0G平分AMON,P为射线OG上一点,以P为圆心,10cm为半径作OP,分别与NMON的
两边相交于4、B和C、D,连接P4此时有P4〃0M.
(1)求证:AP=A0,
(2)若tan/GON=
26.如图,四边形2BCD中,48=AD,/.BAD=120°,乙BCD=60°,Z.EAF=60°.
(1)若CB=CD,AE=AF,证明:EF=DF+BE;
(2)若没有条件CB=CD,AE=AF,还有关系EF=DF+BE吗?为什么?
参考答案及解析
1.答案:D
解析:解:•・,点P(m,1-m)在第四象限,
.(m>0
tl—m<0?
解得?n>1,
故选:D.
根据点尸(犯1-6)在第四象限列出关于m的不等式组,解之可得.
本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取
小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
2.答案:B
解析:
利用根与系数的关系判断①;取特殊值判断②;由判别式可判断③;将%=TH代入方程得。加2=
—(bm+c),再代入(2am+6尸变形可判断④.
本题考查了一元二次方程a/+以+。=o(aw0)的根与系数的关系及根的判别式△=b2-4ac:当
△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=(),方程有两个相等的实数根;当△<(),方程没有实数
根.
解:若方程两根为一1和2,则"一"2=-2,
即c=—2a,2a+c=2a—2a=0,故①正确;
若b>a+设a=-4,b=0,c=—5,则4<0,
一元二次方程a/+bx+c=0没有实数根,故②错误;
若b=2a+3c,则4=b2—4ac=4(a+c)2+5c2>0(因为aW0,所以△二。不成立),
一元二次方程a/+力%+。=0有两个不相等的实数根,故③正确.
若m是方程a/+力%+。=。的一个根,
所以有am2+bm+c=0,即am?——(bm+c),
而(2azn+b)2=4a2m2+4abm+b2
=4矶—(bm+c)]+4abm+b2
=4abm—4abm—4ac+b2
=b2—4ac.故④正确;
故选:B.
3.答案:D
解析:解:如图,
若久1<0<%2>贝!1%<0<.
故选:D.
首先根据函数关系式画出图象,再根据/<0<久2,可比较出月、%的大小,进而得到答案.
此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征,关键是根据函数关系式画出草图,可以直观的
得到乃、力的大小.
4.答案:C
解析:
本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.
将特殊角的三角函数值代入求解.
解:原式=百—2x当
=0.
故选C.
5.答案:D
解析:
已知方程——8x+m—0可以配方成(x—n)2=6的形式,把/-8x+m=0配方即可得到一个关
于m的方程,求得ni的值,再利用配方法即可确定/+8x+机=5配方后的形式.
考查了解一元二次方程-配方法,配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的
系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,最好
使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
解:%2—8%+m=0,
•••x2—8%=—m,
•••%2—8%+16=-m+16,
(%—4)2=—m+16,
依题意有九=4,—m+16=6,
n=4,m=10,
•••/+8%+TH=5是/+8%+5=0,
・•・/+8%+16=-5+16,
••.(%+4)2=11,
即(%+n)2=11.
故选:D.
6.答案:C
解析:解:过P作PEI%轴于E,
•・・P(12,5),
・•.PE=5,OE=12,
FE5
tana=-----=—
OE12
故选:c.
7.答案:B
解析:解:4两个直角三角形,对应角不一定相等,对应边不一定成比例,所以不一定相似,故本
选项错误;
B,两个正三角形,对应角都是60。,相等,对应边一定成比例,所以一定相似,故本选项正确;
C、两个矩形,对应角对应相等,对应边不一定相等,所以不一定相似,故本选项错误;
。、两个梯形,对应角不一定对应相等,对应边也不一定成比例,所以不一定相似,故本选项错误.
故选:B.
根据相似图形的定义,对应边成比例,对应角相等,然后对各选项分析判断后利用排除法求解.
本题考查了相似图形的定义,注意从对应角与对应边两方面考虑.
8.答案:D
解析:解:根据表格可知,当x=l时,y有最大值3,••.抛物线开口向下,故A说法错误;
当久=0时,y=l,.•.抛物线与y轴交于正半轴,故B说法错误;
根据抛物线具有对称性,当x=3时,y=—5,.•.当x=4时,y<0,故C说法错误;
当x=l时,y最大,值为3,.•.抛物线的对称轴为久=1,故。说法正确.
故选:D.
根据表格中的数据,利用抛物线的对称性,逐项判断即可.
本题主要考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识的综合应用,解决此类问题时,先找到当
x为何值时,y有最大(最小)值,找到对称轴是解题的关键.
9.答案:D
解析:解:•・•△4BC中,D、E分别是边AB、AC的中点且DE=6,
BC=2DE=2X6=12,
故选:D.
根据三角形的中位线等于第三边的一半,那么第三边应等于中位线长的2倍,计算即可.
此题考查的是三角形中位线的性质,即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
10.答案:B
解析:解:设N的横坐标是a,则纵坐标是-上
CL
则。M=ON=[匠+->鱼,则MN的最小值是2&.
故选:B.
设N的横坐标是a,则纵坐标是一工,利用a即可表示出。N的长度,然后根据不等式的性质即可求解.
a
本题是反比例函数与不等式的性质的综合应用,关键是理解不等式的性质.
11.答案:B
解析:试题分析:本题主要应用两三角形相似的判定定理,三边对应成比例,做题即可.
设单位正方形的边长为1,给出的三角形三边长分别为近,2鱼,VIU.仅8项中三角形三边2,4,2V5
与它的各边成正比例.
故选8.
12.答案:A
解析:解:当x=0时,y-ax2+bx+c=c,则C(0,c)(c〉0),
•••OA=OC,
■•X(—c,0),
a•(—c)2+b-(—c)+c=0,
ac—b+1=0,
即ac+1=b.
故选:A.
根据图象易得C(0,c)且c>0,再利用。4=。。可得4(—c,0),然后把4(—c,0)代入y=a/+bx+c即
可得到a、6、c的关系式.
本题考查了二次项系数与系数的关系:对于二次函数y=a/+6%+c(a去0),二次项系数a决定抛
物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b
和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时
(即防<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异);常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交
于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:△=炉-4四>0时,抛物线与久轴有2个交点;-
4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=62—4ac<0时,抛物线与无轴没有交点.
13.答案:x<3
解析:本题考查函数的概念,函数的取值应使解析式有意义,函数解析式为二次根式,所以3-xN0,
解得x<3.
14.答案:%=1
解析:解:根据图示知,抛物线y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-1,与无轴的一个交点坐
标为力(-3,0),
根据抛物线的对称性知,抛物线y=a%2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x=-1对称,即抛
物线y=ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与2(3,0)关于直线x=-1对称,
・•・另一个交点的坐标为(1,0),
二方程a/+bx+c=。的另一个解是x=1;
故答案是:x=1.
根据抛物线的对称性知,抛物线与X轴的两个交点关于直线久=-1对称,据此可以求得抛物线与X轴
的另一个交点,即一元二次方程a/+6久+C=0的另一个解.
本题考查了抛物线与X轴的交点.解得该题时,充分利用了抛物线的对称性.
15.答案:12
解析:解:抛物线丫=一0-1)2-2的顶点坐标为(1,—2),
当点P位于抛物线的顶点处时,矩形的周长最小,此时P4=2,
•••PC=2PA,
PC=4,
二周长的最小值为2X(2+4)=12,
故答案为:12.
显然当点P位于抛物线的顶点时,矩形的周长最小,从而确定两边的长,求得周长即可.
本题考查了二次函数的性质,解题的关键是了解当点P位于抛物线的顶点处时,矩形的周长最小,难
度不大.
16.答案:||
解析:解:如图,设AC、BD相交于点0,
在菱形ABC。中,AC1BD,OX=|T4C=|X6=3,-L
OB=-BD=ix8=4,
22C
由勾股定理得,AB=y/OA2+OB2=V32+42=5.
过点2作2E1BC,贝!=5x/l£=|x6x8,
解得力E=y,
所以,sinN4BC=^|=|^.
AD25
故答案为:||.
设ac、BD相交于点。,根据菱形的对角线互相垂直平分可得ACIB。,再求出04、0B,利用勾股
定理列式求出菱形的边长4B,过点4作4E1BC,利用菱形的面积列出方程求出4E,再根据锐角的
正弦等于对边比斜边列式计算即可得解.
本题考查了菱形的性质,解直角三角形,勾股定理,锐角三角函数的定义,熟记性质并作辅助线构
造出乙4BC所在的直角三角形是解题的关键.
17.答案:30
・・・四边形/BCD是矩形,
•••乙B=90°,
•・•4E平分NR4C,
BE=EF=4.
.11
.-.AAEC的面积=IAC-EF=^x15x4=30,
,故答案为:30.
利用角平分线的性质定理可得AC边上的高.进而求得所求三角形的面积.
本题考查了矩形的性质,角平分线的性质;难点是作辅助线,即三角形上的高,然后利用三角形的
面积公式求解.
18.答案:6.25
解析:解:如图,•••AC=AB5,44=30。,.
vBDlAC^D,/\
•••AADB=90°,/\
BD=-AB=2.5,/\
2/\D
.•.这个等腰三角形的面积=|x2.5x5=6.25,
故答案为:6.25.
根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论.
本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
19.答案:(1)解:原式=4x孝—2-\[2+1+1-1+1
=2
(2)Ify=1®
\2x—y=5
①+②得:3x=6,
x-2,
把%=2代入①得:2+y=1,
•••y=-1
・••方程组的解为:后二:「
解析:(1)利用特殊角的三角函数、零指数幕的意义计算;
(2)根据加减消元法解答即可.
本题考查了解二元一次方程组.也考查了实数的运算,关键是利用特殊角的三角函数、零指数幕的
意义计算.
20.答案:解:(1)如图,即为所求作.
r
I
2,—1).
解析:本题考查作图一位似变换,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
(1)分别作出4B,C的对应点A,B',C'即可.
(2)根据点B'的位置写出坐标即可.
21.答案:解:
(1)①:直线%=以过点4
—ci=2,解得a=-2,
二直线解析式为丫2=-2支,
解得心厂或心=1
联立直线和反比例函数解析式可得
=一2'
5(1,-2),
故答案为:(1,-2);
②为>%,即反比例函数图象在直线的上方所对应的”的取值范围,
二当-1<X<0或X>1时,有为>、2,
故答案为:一1(无<0或x〉l;
(2)如图,过力作2D1久轴于点D,过C作CE1久轴于点E,连接。C,
••・COLAB.
•••tanZ.CAB=2,
co.
・•・一=2,
AO
又乙AOD+(COE=乙COE+乙OCE=90°,
^AOD=2LOCE,且4/DO=4CE。,
COE~XOAD,
CEOEco「
•••——=—=—=2,
ODADAO
设—])(t<0),贝!J。。——t,AD=—(,
4
・•.CE=2OD=-23OE=2AD=
4
4
k=-2tx(--)=8.
解析:本题为反比例函数的综合应用,涉及待定系数法、函数图象的交点、三角函数的定义、相似
三角形的判定和性质、方程思想及数形结合思想等知识.在(1)中求得8点的坐标是解题的关键,在(2)
中构造相似三角形,用力点的坐标表示出C点坐标是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,
难度适中.
(1)①由4点坐标可求得直线解析式,联立两函数解析式可求得B点坐标;②由2、B坐标,结合函数
图象,可求得满足条件的x的范围;
(2)过4作2D1久轴于点D,过C作CE1久轴于点E,连接。C,可知。C14B且平分4B,由三角函数
的定义可求得整=2,可设出力点坐标,由△ADOs^OEC,可表示出C点坐标,则可求得k的值.
22.答案:解:(1)150x40%=60(台)
设商店从乙厂购买的饮水机台数为60台;
(2)由图(〃)知优等品的台数为50+51+26=127(台)
二非优等品的台数为150-127=23(台);
(3)由题意知:
甲厂的优等品率为人建;
乙厂的优等品率为$=系
丙厂的优^等品率为1一50-X2-0%=-30;
又劲>卫>卫,
306060
・•・丙厂的产品质量较好.
解析:(1)由图(/)可知乙所占的比例是40%:该商店从乙厂购买的饮水机台数总数乘以乙所占的比例;
(2)由图(〃)知优等品的台数为50+51+26,则非优等品的台数为总台数减去优等的台数;
(3)分别求出各种饮水机的台数,已知每种的优等品德个数,即可分别计算优等率.
23.答案:解:设4B=久,
BC=46—3x+2—48—3x,
由题意可知:48-3%<25,
解得:
..x(48—3x)=180,
解得:x=6(舍去)或x=10,
答:当AB的长是10米时,围成长方形花圃48CD的面积为180M2
解析:设4B=久,所以BC=46-3久+2=48-3久,根据题意列出方程即可求出答案.
本题考查一元二次方程,解题的关键是正确找出题中的等量关系,本题属于基础题型.
24.答案:(1)证明:如图①中,
••・四边形48CD是正方形,
・・・AB=AD,AFAB=2LFAD=45°,
•・,AF=AF,
・・・△AOF三△AB尸(S4S).
(2)解:如图①中,
・・・乙BHF>乙HAD,
・•・4是钝角,
是等腰三角形,
・・・BH=FH,
・♦・乙HBF=乙BFH,
ADFzAABF,
・•・Z.ADF=乙ABF,
•・•乙AHD=乙HBF+乙BFH,
・・・乙AHD=2乙ADH,
•・•Z.AHD+AADH=90°,
・•・(ADH=30°,
•••AH=AD-tan30°=—,
3
BH=HF=8-—.
3
(3)解:如图②中,存在.理由如下:
图②
••,四边形4BCD是矩形,
AB=CD=8,ABI/CD,Z.DAH=90°,
tanZ.ADH=—=
AD3
.••可以假设4H=4k,AD=3k,则DH=5k,
•••△BHF是等腰三角形,4BH尸是钝角,
HF=BH,设==
•••AH//CD,
AH_HF
CD-DF
VAH+BH=8,
••・4k+%=8②,
由①②可得,X=:或曰(舍弃),
・•・存在,该三角形的腰长为*
解析:【试题解析】
本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,等腰三角
形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题,属于中考压轴题.
(1)根据S4S证明三角形全等即可.
(2)想办法证明乙4D”=30°,求出4”即可解决问题.
⑶如图②中,可以假设AH=4k,AD=3k,DH=5k,因为△BHF是等腰三角形,NBHF是钝角,
推出HF=BH,设=HF=x,构建方程组解决问题即可.
25.答案:(1)证明:・•・OG平分NMON,
乙MOG=乙NOG,\
•-PA//OM,0---V
乙MOP=AAPO,
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