2023新教材高中数学第五章三角函数蝗制练习新人教A版必修第一册

5.1.2弧度制

知识对点练

知识点一弧度制的概念

1.下列说法正确的是（）

A.1弧度角的大小与圆的半径无关

B.大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大

C.圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等

D.用弧度表示的角都是正角

答案A

解析长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，与半径的大小无关，故A正

确，B,C错误.弧度可表示任意角，故D错误.

29n

2.角一一彳的终边所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

29Ji19n19n

解析一不-=-4"+不-'的终边位于第四象限.

知识点二角度与弧度的互化

3.-150°角的弧度数是（）

5n4冗2人3n

A.—r-B.——C.-r-D.——

6334

答案A

,JIJI5n

解析V1°=力？・・・-150°=-150X—.

1801806

4.牛对应的角度为（）

A.75°B.125°C.135°D.155°

答案C

解析由于1rad=（华〉,所以等=135°,故选C.

5.（多选）下列转化结果正确的是（）

.、.3n

A.67°30'化成弧度是丁

O

B.一半化成角度是一600°

C.-140。化成弧度是一--

6

I).会化成角度是15°

答案ABD

it3n10Jt10itfl80

解析对于A,67°30'=67.5X—=—,正确；对于B,一一—=——X—

loUooJ\Ji,

—600°,正确；对于C,—1400=-140X—=——,错误；对于D,—=—X—

iouyiziz\,

15°,正确.

6.已知两角和为1弧度，且两角差为1°,则这两个角的弧度数分别是.

1"1n

答案+

2-2-

360360

解析设两个角的弧度数分别为X,y.

_1,2L

JS-2+360,

因为1°rad,所以1Jl解得一

1oUk尸演，

所以所求两角的弧度数分别为2+息,

7.将下列角度与弧度进行互化：

7n4n

(1)20°；(2)-800°；(3)—；(4)一-

1/0

解(1)20°=20*念=微

iouy

4n11JI

8.设。i=510°,。2=-750°,£1=~~二~»£2=一—7.

56

(1)将小,用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；

(2)将B\,自用角度表示出来，并在(一360°,360°)内找出与它们各自终边相同的所

有的角.

解=念rad,

10U

JI17n5n

..“尸51。。=51。义丽=丁=2"+T；

n25n11n

5—75。。=-750X—=-3X2K+—

.•.角明的终边在第二象限，角。2的终边在第四象限.

4n’4冗180'

~x~°=144°.

设出=★•360°+144°UeZ）.

•.•-360°<%<360°,.•.-360°<k•360°+144°<360°,

/.k=—1或k=0.

・•・在（一360°,360°）内与角⑶终边相同的角是一216°.

£八产一11丁JI=（一11丁n义1小80\。=一33。°。・

设4=K360°-330°（A-SZ）.

・360°<%<360°,.,.-360°<k•360°-330°<360°,：.k=0或A=l....在（一

360°,360°）内与角氏终边相同的角是30°.

知识点三用弧度制表示角的集合

9.终边在y轴正半轴上的角的集合是（）

A.{。|4=女兀，AGZ}B.a=kTi

C.{o\a=24兀,AeZ}D.\a。=24兀+彳~,AEZ

答案D

解析A项表示的是终边在x轴上的角；B项表示的是终边在y轴上的角；C项表示的是

终边在x轴正半轴上的角；D项表示的是终边在y轴正半轴上的角，故选D.

10.用弧度制表示与150。角的终边相同的角的集合为（）

A.p£=一*+24口，AGZ|

B.p£=子+4・360°,Z-6Z

[2Ji1

C.j£7?=—+2An,MZ；

[5Ji1

D,£/?=-+2A-JT,AGZ

答案D

解析150°=150*三；=?,故与150°角终边相同的角的集合为

1806

f1

万=-^-+2*”，A-ez|.

11.用弧度制表示终边落在x轴上方的角。的集合为

答案{。|2々31<a<2An+n,A6Z}

解析若角。的终边落在x轴上方，则24。<2后+灭(代Z).

12.角a,£的终边关于直线x+尸0对称，且。=一+，则£=.

答案2kb-jAez

0

解析因为角。，£的终边关于直线x+尸0对称，且。=一；，

所以£=24兀一/，k^Z.

6

13.在平面直角坐标系中，。=一空，当角£的终边与角a的终边分别有如下关系时,

求£：

(1)角。，£的终边关于*轴对称；

(2)角。，£的终边关于y轴对称；

(3)角*B的终边关于原点对称.

解(1)如图①，可得£=?+24”，Aez.

JI

(2)如图②，可得£=一彳+24"，AGZ.

O

JI

(3)如图③，可得尸=W+2AJI,kGZ.

o

14.(1)把一1480°写成a+2An々GZ)的形式，其中0Wa<2n；

(2)用弧度表示顶点在原点，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示).

解

74n,16Ji16Ji16n

丁10天十丁5X2JT+—,其中<z=—.

（2）330°=360°-30°=2”一3，而60°=之，

b3

nn

它所表示的区域位于一云与可之间且跨越x轴的正半轴，

o3

71JI

二角的集合为92^31--<0<2kn+—,z-ez.

o3

知识点四扇形的弧长公式与面积公式的应用

15.已知扇形的半径为2,面积为4,则这个扇形的圆心角的弧度数为（）

A.#B.2C.2^/2D.2小

答案B

解析设扇形的圆心角的弧度数为a,则扇形面积S=［。*2?=4,解得a—2.

16.如图，点48,，是圆0上的点，且444,N/G?=30°,则劣弧46的长为（）

JIJT

A————

6,3

4n

C.4.~

,5

答案D

解析连接4。，如因为乙所以//如=《，△/必为等边三角形，故圆。的半

63

—it4Ji

径r=AB=4,劣弧AB的长为77><片=".

17.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面

积所用的经验公式为：弧田面积=/弦义矢+矢2）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公

式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为手,

半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）

A.6m?B.9m2C.12m2D.15m2

答案B

解析根据题设，弦=2X4sinT"=4#m,矢=4-2=2m,故弧田面积=；(弦X矢+

矢2)=1x(4V3X2+22)=dV3+2^9(m2).

18.已知扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为蜉弧度.则这个圆心角所对的弧长为

O

,这个扇形的面积为

答案号等

因为扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为冷弧度，所以半径J____2_

解析

O尹

99Ji4A/Bn

所以这个圆心角所对的弧长，=忑乂3一=竺六.

扇形的面积S=；X奉X"g』~=等.

/y/3»y

19.已知一个扇形的周长为外求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个

最大值.

解设扇形的弧长为A半径为八圆心角为明面积为£

由已知,得2r+J=a,即/=a—2r.

1,1/\.3

S=-l•r=-（a-2r）•r=-r2+p——

Vr>0,l=a-2r>0,

a才

当时，Wax=正.

,,,aa1

此时，l=a-2•7=-,，。=一=2.

42r

2

故当扇形的圆心角为2rad时，扇形的面积最大，最大值%

易错特别练

易错点角度制和弧度制混用致错

求终边在如图所示阴影部分内（不包括边界）的角。的集合.

易错分析本题容易出现以下错解：

错解一：{。|4・360°+330°<3600+60°,AeZ}.

错解二：{。|24又一30。<a<2kn+60°,AGZ}.

上述错解一中若给左赋一个值，则集合中不等式右边的角反而小于左边的角.错解二中,

同一不等式中混用了角度制与弧度制.

正解J。2AJt-y<a<2kn+y,AeZJ,也可写成{。|公360°—

30°<a<k>360°+60°,AGZ}.

综合练

一、单项选择题

O兀

1.把一M化成角度是（）

O

A.-960°B.-480°C.-120°D.-60°

答案B

=一4800.

2.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是（）

答案D

解析将分针拨快10分钟，则分针转过的角度为一60°,-60°=-60X*;=—5

loUo

故选I）.

3.若。=-3,则角。的终边在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案c

JIJI

解析因为5＜3＜兀，所以一“＜一3〈一万，故角。的终边在第三象限.

4.将一1485°化成a+2C（0Wa〈2n,々《Z）的形式是（）

n7n

A.———8nB.^-r—8n

44

n7n

C.——10nD.10n

4

答案D

7JT

解析一14850=-5X360°+315°，化为。+24兀（0W。＜2n,4eZ）的形式为一;­一

10n,选D.

5,若集合4=xAn+冗，AWZ,夕=3—24后2},则力门6为（）

jiJi

A.[―l,0]u[y,1B.—,2

"ji-]rJI_1rJT

C.[—2,0]U—,2D.—2,—U—,2

o4J

答案c

解析力=（才左冗+可WxW/rn+兀，〃WZ2JiJT

=…UounU…

T3

JI

406=[—2,0]U—,2.

o

JIJT

6.集合。在n+了WaW%n+万，4eZ中的角所表示的范围（阴影部分）是（）

答案C

解析当幺=2m,mWZ时，2/»n+-^-WaW2加"十万，加eZ；当仁2W+1,/»WZ时,

5n3n,

2加九十-Wa+-^-,/eZ.故选C.

7.如图是一个半径为火的扇形，它的周长为4兄则这个扇形所含弓形（阴影区域）的面

积是（）

A.g(2—sinlcosl)#

^sinlcosl

B.

c.%

D.(1—sinlcosl)

答案I)

ATIIL-11O1I

解析，：1=4R—2R=2R,：.。=R=2.；S弓彩=S阚彩一8=5a〃一点27fcin-j•

=~X2XA?—#sinlcosl=(1—sinlcosl)

8.若角〃与角x+宁有相同的终边,角万与角x一?有相同的终边，那么〃与£间

的关系为()

A.。+£=0B.。一£=0

C.a+B=2kb(AeZ)D.。—£=24冗+万(4eZ)

答案D

JIn

解析a=x+—r+2k\n(AGZ),£=x--7+242兀(jfeeZ),/.o—j3=—+2(k\—

4

：.k-k^l.：.。一万=^-+2AJI(A-eZ).

kz)•w(k£Z,A2eZ).VAiSZ,&ez,

二、多项选择题

9.下列命题中，真命题是()

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.1°的角是周角的焉，1rad的角是周角的/

C.1rad的角比1°的角要大

D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关

答案ABC

解析根据1度、1弧度的定义可知A,B,C为真命题，D为假命题，故选ABC.

10.下列结论中正确的为()

n

A.-rad=60°B.10°=-rad

lo

n5n

C.36°=_radD.rad=115°

58

答案ABC

,,Jl1JlJT

解析Vrad=-x180°=60°,A正确；10°=10XTTTrad=—rad,B正确；36°

ooloUlo

JIn.5兀5

=36X--TTrad=—rad,C正确；rad=-TX180°=112.5°，D错误.故选ABC.

loUOoo

11.下列各对角中，终边相同的是（）

3H3n，兀_22兀

和2〃nT-（A^Z）B.—三和—-

N/0□

答案AC

解析在弧度制下，终边相同的角相差2贝的整数倍.故选AC.

12.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm）下列选项中可能正确的有（）

A.圆的半径为2

B.圆的半径为1

C.圆心角的弧度数是1

D.圆心角的弧度数是2

答案ABC

‘2r+ar=6,

解析设扇形半径为「，圆心角弧度数为。，则由题意得2解得

g"=2,

r=l,|r=2,

或可得圆的半径为1或2,圆心角的弧度数是4或1.故选ABC.

a=4I67=1.

三、填空题

13.已知集合4={x|2AnWxW24w+贝，AeZ},集合Q{不|-4WxW4},贝ljHCQ

答案[-4,n]

解析如图所示,

-2n-4-x0x42TC3nx

-Jt]U[0,K].

14.（1）1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为米;

(2)1rad的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为米・

/、180/、

答案(D—(2)1

解析(1)因为I。1=1°=7^7?/=1,

loU

11180

所以二百=三=丁

180

1

⑵因为a所以广

7=1,||=1,­a=1.

15.角的集合+"|"'kwZJI

与集合Xx=2k^±万，keZ之间的

关系为

答案A=B

ji

解析|x|x=2kn+~^-,分别表示终边在y轴的

正、负半轴上的集合，,集合8表示终边落在y轴上的角的集合，••.4=8.

JI

16.若角a的终边与角高的终边关于直线y=x对称，且ae(—4",4n),则。=

O

11冗5JiJT7n

答案T"T,~

解析由题意,角a与角的终边相同,

5o

,，n

故a=—+2kTi,攵£Z.

o

又ae(-4n,4n),—4Jt<4Jt,"GZ,

15

—%蹙..•.2—2,—1,0,1.

11n5nn7n

故a

33~

四、解答题

17.一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2km,一列火车用30km/h的速度通过,

求火车经过10s后转过的弧度数.

解10s内火车转过的圆形弧长为

瀛X30/(km).

1

?21

所以转过的角。=方=方(弧度).

18.己知a=-800°.

(D把a改写成B+2k工GeZ,0W£<2〃)的形式，并指出a是第几象限的角；

(2)求角y,使y与角a的终边相同，且蚱(一，，

,14n

解(1)因为一8000=-3X360°+280°,280°=的一，

14Ji

所以。=^-+(-3)X2n.

y

因为角a与1看4n终边相同，所以角a是第四象限角.