抛物线的标准方程（五大题型）

3．3．1抛物线的标准方程课程标准学习目标（1）能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义．（2）能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进步体会曲线方程的建立方法．（1）理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程.（2）掌握抛物线的定义及其标准方程的应用.（3）了解抛物线定义的实际应用．知识点01抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．知识点诠释：（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线．（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．【即学即练1】（2023·高二课时练习）若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线【答案】B【解析】动点到点的距离和它到直线的距离相等，而点不在直线，所以动点的轨迹是以点到直线的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线.故选：B知识点02抛物线的标准方程标准方程的推导如图，以过F且垂直于的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系．设（），那么焦点F的坐标为，准线l的方程为．设点是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合，将上式两边平方并化简，得．①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是．抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，，，．知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线的一次项的系数为，故其焦点坐标是．一般情况归纳：方程图象的开口方向焦点准线时开口向右时开口向左时开口向上时开口向下④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．【即学即练2】（2023·全国·高二随堂练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为；(2)准线方程为：；(3)焦点到准线的距离为6.【解析】（1）因为焦点为，故抛物线焦准距为，则抛物线标准方程为；（2）抛物线准线方程为：，则，焦点在y轴正半轴上，则抛物线标准方程为；（3）焦点到准线的距离为6，即，焦点位置不确定，故抛物线标准方程为或或或.题型一：抛物线的定义例1．（2023·江苏盐城·高二校联考阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（

）.A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】由抛物线方程知：，即，根据抛物线定义知：焦点到准线的距离是.故选：B例2．（2023·江苏·高二假期作业）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】D【解析】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线例3．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线上一点P到y轴的距离为2，焦点为F，则（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】由题得抛物线的准线方程为，所以点P到准线的距离为，由抛物线的定义得3.故选：B变式1．（2023·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）若动点满足，则点M的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】D【解析】由题意，动点满足，即，即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，又由点不在直线上，根据抛物线的定义，可得动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线.故选：D.题型二：抛物线的标准方程例4．（2023·全国·高二期中）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为；(2)顶点在原点，且过点；(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.【解析】（1）由题意顶点在原点，准线方程为，可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，故抛物线标准方程为；（2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上，则设抛物线标准方程为或，分别将代入，求得，故抛物线标准方程为或；（3）由于直线与x轴的交点为，由题意可知抛物线焦点为，则，故抛物线标准方程为；（4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5，则设抛物线方程为，焦点为，准线为，故，故抛物线标准方程为.例5．（2023·全国·高二课堂例题）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点.求该抛物线的标准方程.【解析】由于抛物线关于x轴对称，顶点在原点，并且经过点，因此抛物线焦点在x轴正半轴上，可设它的标准方程为，将点的坐标代入方程，得，即.因此，所求抛物线的标准方程为.例6．（2023·全国·高二课堂例题）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为；(2)准线方程为.【解析】（1）因为抛物线焦点为在y轴的负半轴上，设焦准距为p，则，即.因此，所求抛物线的标准方程为.（2）由抛物线准线方程为知，焦点在x轴的负半轴上，并且，即，因此，所求抛物线的标准方程为.变式2．（2023·高二课前预习）已知抛物线对称轴为坐标轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求抛物线的标准方程.【解析】根据题意，当抛物线焦点在轴上时，经过点，设抛物线方程为，，解得，所以抛物线的标准方程为.当抛物线焦点在轴上时，经过点，设抛物线方程为，，解得，所以抛物线的标准方程为.综上，抛物线的标准方程为或.变式3．（2023·高二课前预习）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图，已知接收天线的口径（直径）为，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.【解析】如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.设抛物线的标准方程是.由已知条件得，点A的坐标是，代入方程，得，即.所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是.题型三：轨迹方程—抛物线例7．（2023·全国·高二专题练习）设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离，所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．故选：A.例8．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以，轨迹方程为，故选：D例9．（2023·高二课时练习）已知在平面直角坐标系中有一定点，动点到y轴的距离为d，且，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】动点到y轴的距离为d，且，动点到定点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线的定义可知：动点的轨迹是抛物线，并且其焦点为：，准线为：，所以其抛物线的方程为.故选：B.变式4．（2023·江苏·高二专题练习）与圆：外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（

）A． B．（）和（）C．（） D．（）和（）【答案】D【解析】将化为，则圆心的坐标为，半径为2．设动圆的圆心为，半径为，则根据题意，且，即．当时，得，即，当时，得，即．故选：D.变式5．（2023·全国·高二专题练习）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵点到点的距离比它到直线的距离大1，∴点到点的距离等于它到直线的距离，∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程是.故选：D.变式6．（2023·福建宁德·高二统考期末）已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝12y D．x2＝－12y【答案】A【解析】设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等.∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.故选：A.变式7．（2023·江苏·高二专题练习）已知圆C与过点且垂直于x轴的直线仅有1个公共点，且与圆外切，则点C的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，直线，且圆，设点到直线的距离为，则点到与点到的距离相等，都是，故点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故方程为.故选：A.变式8．（2023·高二课时练习）已知动圆过点，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】方法一：设动圆圆心坐标为，由题可知，圆心到的距离和到直线的距离相等，都等于动圆的半径，即，整理得：．故选：C．方法二：由题可知动圆圆心到定点的距离和到定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故其轨迹方程为.故选：C.题型四：抛物线距离和与差的最值问题例10．（2023·高二课时练习）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为．【答案】【解析】如图所示：由圆的标准方程为可知圆心，半径为，抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线定义可知，圆外一点到圆上点的距离满足，即；所以，当且仅当三点共线时，等号成立；即的最小值为．故答案为：例11．（2023·陕西延安·高二校考期末）已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为.【答案】【解析】抛物线，即，其焦点为，抛物线的准线为，圆变形为，则圆心为抛物线的焦点，半径为.点为抛物线上任意一点，当三点共线，取最小值时，最小值为.如图，过点作于点，由抛物线定义可知，所以取最小值时，即取最小值，，当三点共线，当时，等号成立..则的最小值为.故答案为：.例12．（2023·全国·高二专题练习）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值.【答案】4【解析】设圆心为，则为抛物线的焦点．设，则，要使最小，则需最大，，且，，当且仅当，即时取等号，的最小值是4．故答案为：4．变式9．（2023·全国·高二专题练习）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为．【答案】【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，延长交准线于点，如图所示．根据抛物线的定义知，，所以，当且仅当点为线段与抛物线的交点时，等号成立．故答案为：.变式10．（2023·全国·高二假期作业）已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，点，则周长的最小值为.【答案】7【解析】当时，，所以点在抛物线内，由，得焦点为，准线为，过作于，过作于，则，所以的周长为，由图可知当三点共线时，取得最小值，此时的最小值为，因为，所以的最小值为7，即的周长的最小值为7，故答案为：7变式11．（2023·西藏日喀则·高二统考期末）若点的坐标为，F为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使最小，点的坐标应为．【答案】【解析】由以及抛物线可知，点在抛物线内部，如下图所示：抛物线的焦点坐标，准线方程为；作垂直于准线，垂足为，由抛物线定义可得，则，当且仅当三点共线时，取最小值，此时三点纵坐标相同，所以点的纵坐标为，代入抛物线方程可得.故答案为：变式12．（2023·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为【答案】【解析】抛物线的焦点为，准线为，过点作，垂足为点，如下图所示：由抛物线的定义，可得，则，当、、三点共线，即当时，取最小值，此时直线的方程为，联立，解得，即点.因此，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为.故答案为：.变式13．（2023·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知点P为抛物线C：上的动点，直线l：，点为圆M：上的动点，设点P到直线l的距离为d，则的最小值为．【答案】/【解析】由题意可得：抛物线的焦点为，准线为直线l：，圆M：的圆心，半径，由抛物线的定义知，，则，当P，F，M三点共线时，取最小值为．故答案为：.题型五：抛物线的实际应用例13．（2023·高二课时练习）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度，拱高，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱的长度为.（精确到）【答案】【解析】以为原点，方向分别为轴正向，建立如下图所示的直角坐标系：由题意，，所以，，又抛物线开口向下，所以设，将点的坐标代入，解得，所以抛物线方程为，又由题意在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，由图可知有14个空格，因此每一个空格的长度为，所以，所以设点，又因为点在抛物线上，所以将其坐标代入抛物线方程得.故答案为：例14．（2023·河南周口·高二校联考期中）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为cm.【答案】【解析】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，设抛物线的标准方程为，则，解得.故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.故答案为：例15．（2023·广东·高二统考期末）图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则桥拱顶点O离水面l的距离为.【答案】【解析】如图所示，建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，，设，水面下降2m后，水面宽8m，对应的坐标为，则，解得，故拱顶点O离水面l的距离为.故答案为：变式14．（2023·全国·高二专题练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，若行车道总宽度为，则车辆通过隧道时的限制高度为m.【答案】【解析】由题意，如图建系：则，，，，如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得，故抛物线方程为，将代入抛物线方程，可得，.故答案为：3.8.变式15．（2023·福建福州·高二校联考期末）如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm时，水面宽度为6cm，当水面再上升2cm时，水面宽度为cm.【答案】【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，由题意得：点在抛物线上，所以，解得：，抛物线方程为，则当水面再上升2cm时，即时，故，解得：，故水面宽度为cm.故答案为：.变式16．（2023·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期中）如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为米.【答案】【解析】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将A（6，3）代入，得，∴，代入B得，故水面宽为米，故答案为：．变式17．（2023·海南海口·高二校考期中）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，则暴雨后的水面离拱顶的距离为.【答案】/【解析】如图，以抛物线顶点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由已知得且，所以，解得，所以，即暴雨后的水面离桥拱顶的距离为故答案为：一、单选题1．（2023·湖南·高三雅礼中学校联考阶段练习）圆的圆心在抛物线上，则该抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆的圆心坐标为，则，得，所以该抛物线的焦点坐标为．故选：A．2．（2023·贵州贵阳·高二校考期中）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（

）A．6 B．2 C．5 D．8【答案】A【解析】拋物线的焦点为，圆C：的圆心为，半径，，所以F到圆C上点的距离的最大值为.故选：A3．（2023·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】设，抛物线，则，焦点恰好是的重心，则，故．故选：A．4．（2023·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考阶段练习）在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（）A．抛物线 B．直线C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确【答案】C【解析】由题意，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，可得该动点到定点和到定直线距离相等，当定点不在定直线上时，根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是抛物线；当定点在定直线上时，动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线.故选C．5．（2023·高二课时练习）O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．8【答案】C【解析】设点，,所以，得，,所以的面积.故选：C6．（2023·广东·高三校联考阶段练习）抛物线的焦点，点在抛物线上，且，的延长线交轴于点，若为线段FN的中点，则（

）A．2 B． C．4 D．6【答案】C【解析】过点作⊥轴于点，交抛物线的准线于点，由题意得，设，由抛物线定义可知，，因为若为线段FN的中点，所以，所以，将其代入中，解得.故选：C7．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点为上一点，为靠近点的三等分点，若，则点的纵坐标为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，如图所示，设准线与轴的交点为，因为为靠近点的三等分点，可得，又因为，可得,又由抛物线的准线方程为，可得点的纵坐标为，即点点的纵坐标为.故选：C.8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过C上一点A作l的垂线，垂足为B.若，则的外接圆面积为（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】设，由抛物线的定义可知，所以，代入抛物线的方程中得到，由几何关系可知，.设的外接圆半径为R，由正弦定理可知，解得，所以的外接圆面积为.故选：A二、多选题9．（2023·贵州黔西·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（

）A．F的坐标为 B．C． D．【答案】BCD【解析】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上，则焦点，所以A错误；由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确；由，可得，所以，则，所以C正确；由，所以D正确．故选：BCD．10．（2023·高二课时练习）（多选）设斜率为2的直线l过抛物线的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】抛物线焦点坐标为，直线l的方程为.令，得，故的面积为，故.故选：BD.11．（2023·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）对于抛物线上，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为【答案】ACD【解析】由已知抛物线标准方程是，，，所以焦点坐标为，开口方向向上，A正确，B错误；焦点到准线的距离为，C正确；准线方程是，D正确．故选：ACD．12．（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（

）A． B．C． D．的坐标为【答案】ABC【解析】由抛物线，可得，因为点在抛物线上，且，根据抛物线的定义，可得，解得，又因为，所以，即，则.故选：ABC.三、填空题13．（2023·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）已知直线过定点且该点在抛物线上，则的值为.【答案】【解析】直线，可化为，联立方程组，解得，即直线恒过点，因为点在抛物线上，可得，解得.故答案为：.14．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知抛物线上一点到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则．【答案】4【解析】设抛物线焦点为,由于在抛物线上，故，根据题意可得,由抛物线定义可得，故答案为：415．（2023·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于点M，且，则．【答案】4【解析】把代入抛物线方程（），得，得，根据抛物线的定义有，解得，故答案为：416．（2023·广东深圳·高三校联考期中）已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，点A在第一象限，线段AB的中点为M，其中点A的横坐标为3，，则点M到y轴的距离为.【答案】/【解析】因为，所以抛物线C：，则，所以直线l的斜率为，则直线AB：，故把直线与抛物线进行联立，得，因为，所以设，，则，，故答案为：.四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于A，两点(1)求抛物线的准线方程；(2)求的面积（为坐标原点）.【解析】（1）由已知可得，，焦点在轴上，所以，抛物线的准线方程为.（2）∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为.又∵倾斜角为的直线，所以斜率为，∴直线AB的方程为：.代入抛物线方程消去y并化简得.解法一：解得，所以．又点到直线的距离为，所以.解法二：，设，则，过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示．．点到直线的距离为，所以.18．（2023·江西上饶·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为3，且点到焦点的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）.【解析】（1）由题意知,所以.（2）由(1)知,抛物线,直线过,可设直线的方程为,联立设,不妨设，∴，当且仅