数学（选修44）练习专题训练2

第2章参数方程1．椭圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝4sinθ))上的点到直线4x＋3eq\r(3)y－20＝0的最小距离为()A．eq\f(4\r(43),43) B．eq\f(20\r(43),43)C．eq\f(44\r(43),43) D．2解析：点P(3cosθ，4sinθ)到直线4x＋3eq\r(3)y－20＝0的距离d＝eq\f(|12cosθ＋12\r(3)sinθ－20|,\r(43))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(24sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))－20)),\r(43)).当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1时，d取最小值，为eq\f(4,\r(43))＝eq\f(4\r(43),43).答案：A2．设r＞0，那么直线xcosθ＋ysinθ＝r与圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosφ，,y＝rsinφ))(φ是参数)的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．视r的大小而定解析：易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0,0)到直线的距离为d＝eq\f(|0＋0－r|,\r(cos2θ＋sin2θ))＝r，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．答案：B3．圆心为D的圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋\r(3)cosθ，,y＝1＋\r(3)sinθ，))θ∈[0,2π)，直线y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\r(2)与圆交于A，B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为()A．eq\f(7π,6) B．eq\f(5π,4)C．eq\f(4π,3) D．eq\f(5π,3)解析：由已知，得圆D：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝3.则圆心D到直线y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\r(2)的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)×\r(3)－1＋\r(2))),\r(\f(1,3)＋1))＝eq\f(\r(6),2).故coseq\f(1,2)∠ADB＝eq\f(d,\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,2)∠ADB＝eq\f(π,4)，∠ADB＝eq\f(π,2).又AD＝BD，则∠DBA＝eq\f(π,4).而直线y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\r(2)的倾斜角是eq\f(π,6)，结合图形可知，在直线AD，BD中必有一条直线的倾斜角等于eq\f(π,6)＋eq\f(π,4)，另一条直线的倾斜角等于eq\f(π,6)＋eq\f(π,4)＋eq\f(π,2).因此直线AD，BD的倾斜角之和等于2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＋eq\f(π,2)＝eq\f(4π,3).答案：C4．直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝－1－t))(t为参数)与曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosα，,y＝3sinα))(α为参数)的交点个数为________.解析：直线的普通方程为x＋y－1＝0，圆的普通方程为x2＋y2＝32，圆心到直线的距离d＝eq\f(\r(2),2)＜3.故直线与圆的交点个数是2.答案：25．已知曲线C1的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.则曲线C1与C2交点的平面直角坐标为________.解析：由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)，))即x2＝3y2(x≥0，y≥0)．曲线C2的普通方程为x2＋y2＝4.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,x2＝3y2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1.))故曲线C1与C2的交点坐标为(eq\r(3)，1)．答案：(eq\r(3)，1)6．设直线l1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，,y＝1＋3t))(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x＋4，则l1与l2间的距离为________.解析：将直线l1的参数方程化成普通方程为y＝3x－2.又l2：y＝3x＋4，故l1∥l2.在直线l1上取一点(0，－2)，它到l2：3x－y＋4＝0的距离就是l1与l2的距离，则d＝eq\f(|0＋2＋4|,\r(10))＝eq\f(3\r(10),5).答案：eq\f(3\r(10),5)7．已知x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求S＝3x－y的最值．解：由(x－1)2＋(y＋2)2＝4，可知曲线表示以(1，－2)为圆心，半径等于2的圆．令x＝1＋2cosθ，y＝－2＋2sinθ，则S＝3x－y＝3(1＋2cosθ)－(－2＋2sinθ)＝5＋6cosθ－2sinθ＝5＋2eq\r(10)sin(θ＋φ)(其中tanφ＝－3)．故当sin(θ＋φ)＝1时，S有最大值，为5＋2eq\r(10)；当sin(θ＋φ)＝－1时，S有最小值，为5－2eq\r(10).∴Smax＝5＋2eq\r(10)，Smin＝5－2eq\r(10).8．如图所示，连接原点O和抛物线y＝2x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求点P的轨迹．解：∵抛物线标准方程为x2＝eq\f(1,2)y，∴它的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(1,2)t2，))t为参数．∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)，\f(t2,2))).设P(x，y)，则M是OP的中点．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t＝\f(0＋x,2)，,\f(1,2)t2＝\f(0＋y,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t2，))t为参数．消去参数t，得y＝x2.故点P的轨迹方程为y＝x2，它是以y轴为对称轴，焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))的抛物线．9．(2015·全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，有曲线C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα，))其中t为参数，t≠0,0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，有曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.(1)求曲线C2与C3交点的平面直角坐标．(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解：(1)曲线C2的平面直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的平面直角坐标方程为x2＋y2－2eq\r(3)x＝0.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))故C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.则点A的极坐标为(2sinα，α)，点B的极坐标为(2eq\r(3)cosα，α)．∴|AB|＝|2sinα－2eq\r(3)cosα|＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))).当α＝eq\f(5π,6)时，|AB|取得最大值，最大值为4.10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(2),2)t，,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t，))t为参数．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知圆C的方程为ρ＝2eq\r(5)sinθ.(1)写出直线l的普通方程和圆C的平面直角坐标方程．(2)若点P的坐标为(3，eq\r(5))，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(2),2)t，,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t，))得直线l的普通方程为x＋y－3－eq\r(5)＝0.又由ρ＝2eq\r(5)sinθ，得圆C的平面直角坐标方程为x2＋y2－2eq\r(5)y＝0，即x2＋(y－eq\r(5))2＝5.(2)把直线l的参数方程代入圆C的平面直角坐标方程，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(\r(2),2)t))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\