数学归纳法（导学案）-高二上学期数学人教A版选择性

4.4数学归纳法导学案一、明确目标（一）学习目标（二）学习重点数学归纳法及其应用．（三）学法指导1．自学思考法；2．复习类比法.二、知识梳理自学课本4447页，并完成下列思考题.知识点一数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)以“”为条件，推出“”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．知识点二数学归纳法中的两个步骤之间的关系记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：(1)P(n0)为真；(2)若为真，则也为真．结论：P(n)为真．在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．完成这两步，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明．思考题(1)数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是(C)A．k∈N B．k>1，k∈N*C．k≥1，k∈N* D．k>2，k∈N*(2)用数学归纳法证明eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋…＋eq\f(1,2n)<1(n∈N*，n≥2)时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边需添加的项是(A)A．eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2（k＋1）)－eq\f(1,k)B．eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2（k＋1）)C．eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,k)D．eq\f(1,2（k＋1）)(3)用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N*”时，若n＝1，则左端应为______1×4__．三、典例探究题型一利用数学归纳法证明恒等式例1证明：当n≥2，n∈N*时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n2)))＝eq\f(n＋1,2n).[证明]①当n＝2时，左边＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，右边＝eq\f(2＋1,2×2)＝eq\f(3,4).∴当n＝2时，等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k2)))＝eq\f(k＋1,2k).当n＝k＋1时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,（k＋1）2)))＝eq\f(k＋1,2k)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,（k＋1）2)))＝eq\f(k＋1,2k)·eq\f(k（k＋2）,（k＋1）2)＝eq\f(k＋2,2（k＋1）)＝eq\f(（k＋1）＋1,2（k＋1）).∴当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，对任意n≥2，n∈N*，等式成立．题型二利用数学归纳法证明不等式例2证明：2n＋2>n2，n∈N*.[证明]①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边>右边；当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边.因此当n＝1，2，3时，不等式成立．②假设当n＝k(k≥3，且k∈N*)时，不等式2k＋2>k2成立.当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)，由于k≥3，则k－3≥0，k＋1>0，所以(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.所以2k＋1＋2>(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．由①②，知原不等式对于任何n∈N*都成立．题型三利用数学归纳法证明几何命题例3有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N*).[证明]①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以当n＝1时命题成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立．即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．则当n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.所以当n＝k＋1时，命题成立．综合①②可知，对一切n∈N*，命题成立．题型四归纳—猜想—证明例4设Sn为数列{an}的前n项和，且对于n∈N*，都有Sn＝eq\f(n2,2)＋eq\f(an,2)成立．(1)求a1，a2，a3；(2)猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．[解](1)∵对于n∈N*，都有Sn＝eq\f(n2,2)＋eq\f(an,2)成立，∴S1＝eq\f(1,2)＋eq\f(a1,2)，a1＝S1＝1，S2＝eq\f(22,2)＋eq\f(a2,2)，a1＋a2＝eq\f(4,2)＋eq\f(a2,2)，a2＝2，S3＝eq\f(32,2)＋eq\f(a3,2)，a1＋a2＋a3＝eq\f(9,2)＋eq\f(a3,2)，a3＝3.(2)由(1)猜想an＝n.证明：①当n＝1时，a1＝1，显然成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，ak＝k成立，则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝eq\f(（k＋1）2,2)＋eq\f(ak＋1,2)－eq\f(k2,2)－eq\f(ak,2)＝eq\f(（k＋1）2,2)＋eq\f(ak＋1,2)－eq\f(k2,2)－eq\f(k,2)，∴ak＋1＝k＋1，即当n＝k＋1时，等式也成立，由①②可知，an＝n对一切n∈N*都成立．四、激情展示（8min）1．自由展示：展示“同伴互助”环节本组还没解决的问题，其他组代表给出方案，代表回答不完善的，本组同学优先补充，其他组可以质疑.2．预设展示：例4变式：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n－an，n∈N*，先计算前4项后猜想an，并用数学归纳法证明．解当n＝1时，S1＝a1＝2－a1，∴a1＝1，当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝eq\f(3,2)，当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝eq\f(7,4)，当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝eq\f(15,8).∴猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1).用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝1，猜想成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)成立.那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋eq\f(2k－1,2k－1)＝eq\f(2k＋1－1,2k－1)，∴ak＋1＝eq\f(2k＋1－1,2k)，即当n＝k＋1时猜想成立．由①②可知，对任意n∈N*，猜想均成立．五、总结提升数学归纳法的证明方法及应用六、达标测评1．用数学归纳法证明“n边形内角和定理：f(n)＝(n－2)·180°”时，第一步应验证n＝________时成立．()A．1B．2C．3D．4答案C解析∵多边形的边数最少是3，即三角形，∴第一步验证nC.2．下列四个选项中，正确的是()A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)，当n＝1时为1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)，当n＝1时为1＋kC．式子eq\f(1,1)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n＋1)(n∈N*)，当n＝1时为1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D．设f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋4)答案C解析A中，当n＝1时应为1＋k，A错误；B中，当n＝1时应为1，B错误；D中，f(k)＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k＋1)，而f(k＋1)＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋4)，所以f(k＋1)＝f(k)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋4)－eq\f(1,k＋1)，D错误．故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．eq\f(（k＋1）4＋（k＋1）2,2)D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2答案D解析∵当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.【课上选学】求证：x2n－y2n(x，y，n∈N*)能被x＋y整除．附课上