江苏省2020年普通高校对口单招文化统一考试数学试卷答案

江苏省2020年普通高校对口单招文化统考数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑）1.已知集合M=｛1,4｝，N=｛1,2,3｝，则M∪N等于A.｛1｝B.｛2,3｝C.｛2,3,4｝D.｛1,2,3,4｝【答案】D【分析】考察集合的并集的定义。【解析】由题可知的定义知，集合的所有元素为1,2,3,4,则=，故选：D2.若复数z满足，则z的模等于A.B.C.2D.3【答案】A【分析】考察复数的除法的运算及复数的模长公式。【解析】∵，∴，∴，故选：A3.若向量=（2，-3，1）和=（1，，4）满足条件，则的值是A.—1B.0C.1D.2【答案】D【分析】考察向量数量积的坐标公式。【解析】∵向量=（2，-3，1）和=（1，，4）满足条件∴，∴，故选：D.4.在逻辑运算中，“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用逻辑运算的性质即可判断结论。【解析】当时，可得∴；当时，可得或或，∴或，∴”是“”的充分不必要条件，故选：A.5.从5名男医生、4名女医生中任选5人组成一个医疗小分队，要求其中男医生、女医生均不少于2人，则所有不同的组队方案种数是A.80B.100C.240D.300【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论:①选出的5人中有2名男医生,3名女医生②选出的5人中有3名男医生，2名女医生，由分类加法计数原理计算可得答案。【解析】根据题意,分2种情况讨论：①选出的5人中有2名男医生，3名女医生,有种选法；②选出的5人中有3名男医生，2名女医生,有种选法；则有40+60=100种组队方法，故选：B.6.过抛物线的顶点，且与直线垂直的直线方程是A.B.C.D.【答案】B【分析】求出抛物线的顶点坐标，求出直线的斜率，然后求得直线方程即可。【解析】抛物线的顶点，直线的斜率为，过抛物线的顶点，且与直线垂直的直线斜率为，所求直线方程是，整理得，故选：B.7.在正方体中（题7图），异面直线与之间的夹角是A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【分析】连接,根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义,我们可得即为异面直线与所成的角,连接BD后,解即可得到异面直线与所成的角。【解析】连接,由正方体的几何特征可得，则即为异面直线与所成的角，连接BD，易得，∴，故选：C.8.题8图是某项工程的网络图（单位：天），则该工程的关键路径是A.B.C.D.【答案】D【分析】结合所给的工程的流程图，可得答案。【解析】从节点①到节点⑤最长耗时为9，对应关键路径为:A→B→D;从节点⑤到节点⑧最长耗时为9,对应关键路径为:G→I；从节点⑧到节点⑩最长耗时为5,对应关键路径为J；因此关键路径为：.故选：D.9.若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于A.B.2C.D.3【答案】C【分析】考查正弦型函数的对称性和单调性，最值，周期等性质。【解析】∵在区间上单调递增，在区间上单调递减∴，∴，解得，故选：C.10.已知函数，则使成立的实数的集合为A.B.C.D.【答案】A【分析】根据题意，结合函数的解析式分2种情况讨论。①当时，，②当时，先求出的解析式，进而分析的解集，综合可得答案。【解析】根据题意，函数，对于，分2种情况讨论。①当时，，，符合题意；②当时，，，解得，∴实数的集合为，故选：A.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.题11图是一个程序框图，执行该程序框图，则输出的T值是.【答案】【分析】按照程序框图的流程写出前3次循环的结果,直到不满足判断框中的条件;最后执行运算及输出,求出输出的值即可.【解析】根据程序框图,运行如下:S=2,n=0,T=0，S=10,n=2,T=4，S=18,n=4,T=20,此时T>S,退出循环故输出T=2×（20-4）=32.12.与曲线和直线都相切，且半径最小的圆的标准方程是.【答案】【分析】化参数方程为普通方程，求圆心坐标,再求圆心到直线的距离,求出最小的圆的半径,圆心坐标,可得圆的方程.【解析】由曲线,消去参数，可得圆的普通方程为，则圆的圆心坐标为,半径为.作出圆与直线如图:圆心到直线的距离为.∴所求的最小圆的圆心在直线上，且半径为.∴所求小圆的圆心到直线的距离为,可得圆心坐标为，故所求圆的标准方程为.故答案为：13.已知是等比数列，，，则=.【答案】【分析】由等比数列的前n项和公式，列出方程组，求出首项和公比，由此求出。【解析】∵是等比数列，，，∴，解得，，∴.14.已知，，则=.【答案】【分析】由已知可得，进而根据诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解。【解析】∵，，∴，∴.15.已知函数的最大值为3，则实数的取值范围是.【答案】【分析】利用分段函数的单调性以及函数的最值转化求解即可。【解析】①当时，，恒成立。②当时，必须满足恒成立，即，∴函数在时时减函数，可得，则，解得故答案为。三、解答题（本大题共8小题，共90分）16.（8分）若函数在上单调递减.（1）求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.【答案】(1)实数的取值范围为；(2)不等式的解集为.【解析】(1)∵函数，∴函数的对称轴为.∵函数在上单调递减，∴，∴，∴，∴实数的取值范围；(2)由（1）知，∴为增函数.∵，∴，∴，∴，不等式的解集为.17.（10分）已知是定义在R上的奇函数，且对任意实数恒有，当时，.（1）求证：函数的周期是4；（2）求的值；（3）当时，求的解析式.【答案】(1)略(2)(3)，【解析】(1)∵，∴，∴，∴函数的周期是4；(2)=，∵是定义在R上的奇函数，∴，，∴原式=.(3)∵，∴，∴，∵当时，，∴，∴，.18.（12分）袋中装有5张分别写着1，2，3，4，5的卡片。（1）若从中随机抽取一张卡片，然后放回后再随机抽取一张卡片，求事件A={两次抽取的卡片上的数相同}的概率；（2）若从中随机抽取一张卡片，不放回再随机抽取一张卡片。①求事件B={第二次抽取的卡片上的数大于第一次抽取的卡片上的数}的概率；②若第一次抽取的卡片上的数记为a，第二次抽取的卡片上的数记为b，求事件C={点在圆内}的概率。【答案】(1)(2)①②【解析】(1)试验包含基本事件总数为，事件A包含基本事件总数为5，∴.(2)①试验“从中随机抽取一张卡片，不放回再随机抽取一张卡片”包含基本事件试验包含基本事件总数为20个.事件B包含的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5),(3,4)，(3,5)，(4，5)，基本事件个数为10.∴.②事件C包含的基本事件：，基本事件个数为6，∴.19.（12分）已知函数，又在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，，求△ABC的面积.【答案】(1)(2)，【解析】(1)∵，∴，∴，∴，∴，∴.(2)∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴由正弦定理得，∴，∴.20.（10分）某地建一座桥，总长为240米，两端的桥墩已建好，余下工程需要建若干个桥墩以及各桥墩之间的桥面。经估算，一个桥墩的工程费用为400万元，距离为米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为万元.（1）试写出关于的函数关系式；（2）需要新建多少个桥墩才能使最小，其最小值是多少？【答案】(1)(2)需要新建11个桥墩才能使最小，其最小值是9440元.【解析】(1).(2)∵，当且仅当4800，即当20时取等号，∴最小值是9440元，此时桥墩个数为：，∴需要新建11个桥墩才能使最小，其最小值是9440元.21.（14分）已知数列满足，.（1）求，并证明数列为等差数列；（2）设，计算的值；（3）设，数列前项和为，证明.【答案】(1)(2)(3)略【解析】(1)∵，∴，∴，∴为等差数列，首项为，公差为2.∴，∴，∴.(2)∵∴=，∴，(3)∵，∴，∴为等比数列，首项为，公比为，∴，∵，∴.22.（10分）某运输公司在疫情期间接到运送物资的任务.该公司现有9辆载重为8吨的甲型卡车和6辆载重为10吨的乙型卡车，共有12名驾驶员，要求该公司每天至少运送640吨物资.已知每辆甲型卡车每天往返的次数为12次，每辆乙型卡车每天往返的次数为8次.若每辆卡车每天所需成本为甲型卡车240元、乙型卡车360元.问每天派出甲型卡车和乙型卡车各多少辆时，运输公司所花成本最少？并求最小成本.【答案】每天派出甲型卡车7辆，乙型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为1680元.【解析】(1)设每天派出辆甲型卡车辆，乙型卡车辆，运输队所花成本为元,则，，目标函数，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示:由图可知，当直线，经过点A时,截距z最小,解方程组得点A的坐标为，又，∴点A不是最优解，∴在可行域的整数点中，点（7，0)使取得最小值，即，∴每天派出甲型卡车7辆，乙型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为1680元.23.（14分）已知椭圆的焦距为，短轴长为2.（1）求椭圆E的方程；（2）设A为椭圆的左顶点，过点A的直线与椭圆交于另一点B.①若，求直线的斜率；②若点在线段