专题03-命题形式变化及真假判定(解析版)

专题03命题形式变化及真假判定【热点聚焦与扩展】（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则（1）否命题：“若，则”（2）逆命题：“若，则”（3）逆否命题：“若，则”2、，（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是全是→不全是至少一个→都没有至多个→至少个小于→大于等于（2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时均变为：或→且且→或（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题：存在性命题：规律为：两变一不变①两变：量词对应发生变化（），条件要进行否定②一不变：所属的原集合的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联.1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同.而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联2、，，如下列真值表所示：或真真真真假真假真真假假假且真真真真假假假真假假假假简而言之“一真则真”简而言之“一假则假”3、：与命题真假相反.4、全称命题：真：要证明每一个中的元素均可使命题成立假：只需举出一个反例即可5、存在性命题：真：只需在举出一个使命题成立的元素即可假：要证明中所有的元素均不能使命题成立【经典例题】例1、【2020年高考全国Ⅱ卷文理16】设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中所有真命题的序号是．①②③④【答案】①③④【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假．再利用复合命题的真假可得出结论．【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内，同理与的交点也在平面内，∴，即，命题为真命题；对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，命题为真命题．综上可知，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题．故答案为：①③④．【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活应用，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义及其真值表．例2．【四川省宜宾市2020届高三三模】下列命题是假命题的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，其值域为，所以A项错误；因为，所以B项正确；令，，当时，，当时，，所以函数在上单调减，在上单调增，所以在处取得最小值，且，所以在上恒成立，所以C项正确；借助于三角函数线，可知，所以D项正确；故选：A.【专家解读】该题考查的是有关命题真假的判断，涉及到的知识点有三角函数的值域，导数的应用，属于简单题目.例3．【2020届陕西省西安中学高三四模】已知命题：，；命题：，，则下列说法中正确的是A．是假命题 B．是真命题C．是真命题 D．是假命题【答案】C【解析】命题p，，即命题p为真，对命题q，去，所以命题q为假，为真所以是真命题，故选：C.【专家解读】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可；(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.例4．【湖南省长沙市长郡中学2020届高三三模】已知命题，，则命题的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】命题为特称命题，其否定为，.故选：C.【专家解读】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.例5．【河北省鸡泽县第一中学2020年高三三模】下列命题是真命题的为()A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则＝ D．若x<y，则x2<y2【答案】A【解析】由得x=y，而由x2=1得x=±1，由x=y，不一定有意义，而x＜y得不到x2＜y2，故选A．例6．【河南省名校联盟2020年高三三模】下列命题为真命题的个数是（）①是无理数，是无理数；②若，则或；③命题“若，，，则”的逆否命题为真命题；④函数是偶函数.A． B． C． D．【答案】B【解析】对于①中，当时，为有理数，故①错误；对于②中，若，可以有，不一定要或，故②错误；对于③中，命题“若，，，则”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，，且函数的定义域是，定义域关于原点对称，所以函数是偶函数，故④正确.综上，真命题的个数是.故选：B.【专家解读】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力.例7．【安徽省六安市第一中学2020届高三三模】下列命题错误的是()A．命题“若，则x，y中至少有一个为零”的否定是：“若，则x，y都不为零”B．对于命题，使得，则，均有C．命题“若，则方程有实根”的逆否命题为“若方程无实根，则”D．“”是“”的充分不必要条件【答案】A【解析】A选项中命题的否定是：若，则x，y都不为零，故A不正确；B选项是一个特称命题的否定，变化正确；C选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题条件和结论都否定再交换位置，C正确；D选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出，故D正确，故选：A.【专家解读】本题考查了命题的否定，逆否命题，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.【精选精练】1．【2020届湖南长沙市第一中学高三三模】已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是：（）A． B． C． D．【答案】B【解析】可知:命题：，为假命题，由函数图象可知命题为真命题，所以为真命题．2．【河南省开封市2020届高三二模】已知，，则为（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】因为，是全称命题，故为：，；故选：A．【专家解读】本题考查含量词命题的否定，属于基础题．3．【黑龙江省大庆实验中学2020届高三三模】下列说法错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”B．“”是“”的充分而不必要条件C．若且为假命题，则、均为假命题D．命题“存在，使得”，则非“任意，均有”【答案】C【解析】对于选项A，命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，即原命题为真命题；对于选项B，当时，，当，或，即原命题为真命题；对于选项C，若且为假命题，则、中至少有一个为假命题，即原命题为假命题；对于选项D，命题“存在，使得”，则非“任意，均有”，即原命题为真命题；故选C.【专家解读】本题考查了命题的逆否命题的真假、充分必要条件、复合命题的真假及特称命题的否定，重点考查了逻辑推理能力，属中档题.4．【吉林省长春市2020届高考数学二模】命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题.、、都是假命题.故选：A【专家解读】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.5．【四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟】已知、是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，命题p：“若，，则”；命题q：“若，，，则”，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】命题p中，若，，则与可能平行，也可能，故命题p为假命题；命题q中，若，，，与的位置关系可能是，，也可能与相交，故命题q为假命题.因此，，都是假命题，为真命题.故选：C.【专家解读】本题主要考查判断复合命题的真假，涉及线面位置关系，属于基础题型.6．【辽宁省沈阳二中2020届高三五模试题】已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是()A． B．C． D．【答案】B【解析】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．故选B．【专家解读】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.7．【2020届重庆市南开中学高三三模】已知，命题“若，则或”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由于，则，所以原命题为真命题，其逆否命题也是真命题.否命题为“若，则且”，如，所以否命题为假命题，故逆命题也是假命题.所以真命题的个数为.故选：B【专家解读】本小题主要考查四种命题的真假性的判断，属于基础题.8．【黑龙江省哈尔滨三中2020届四模试题】下列命题错误的是（）A．若“”为真命题，则与均为真命题B．命题“为真”是“为真”的必要不充分条件C．若，，则，D．“”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】若“”为真命题，则与均为真命题，故A正确；若“为真，则真，真，此时“为真成立，若“为真，则有可能一真一假，此时“为假，所以命题“为真”是“为真”的充分不必要条件，故B错误；由特称命题的否定为全称命题可得若，，则，，故C正确；若“”，则“”成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确；故选：B.【专家解读】本小题主要考查复合命题的真假、全称命题与特称命题的相互转化以及充分条件，必要条件等基础知识，属于基础题.9．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三三模】下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C．“若为的极值点，则”的逆命题为真D．命题：，的否定是，【答案】C【解析】对于A，由逆否命题的概念可得命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；对于B，若，则函数在区间上为增函数；若函数在区间上为增函数，则只需满足；所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故B正确；对于C，“若为的极值点，则”的逆命题为“若，则为的极值点”，对函数，，但不是函数的极值点，所以原命题的逆命题为假命题，故C错误；对于D，由全称命题的否定可知命题：，的否定是，，故D正确.故选：C.【专家解读】本题考查了逆否命题、逆命题的改写、全称命题的否定，考查了充分条件、必要条件的判断及对数函数性质、极值点的概念，属于基础题.10．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月模拟】已知命题：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；命题：棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形，下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于命题，因为棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，故棱锥的侧面为等边三角形，如果该棱锥是六棱锥，则六个侧面顶角的和为，但六棱锥的侧面的顶角和小于，矛盾，故为假命题.对于命题，斜棱柱有侧面不是长方形，故命题为假命题.故为真命题.故选：D.【专家解读】复合命题的真假判断为“一真必真，全假才假”，的真假判断为“全真才真，一假必假”，的真假判断是“真假相反”．11．【广东省肇庆市2020届高中毕业班第三次统一检测】如图，正方体的棱长为1，为的中点，在侧面上，有下列四个命题：①若，则面积的最小值为；②平面内存在与平行的直线；③过作平面，使得棱，，在平面的正投影的长度相等，则这样的平面有4个；④过作面与面平行，则正方体在面的正投影面积为．则上述四个命题中，真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过作平面，是垂足，过作，交于，连结，则，，，，，，，设，则，，∵，∴，解得，∴，，，∴，当时，，①正确；对于，平面，所以也与平面相交．故②错；③过作平面，使得棱，，在平面的正投影的长度相等，因为，且，故在平面的正投影的长度等于在平面的正投影的长度，使得棱，，在平面的正投影的长度相等，即使得使得棱，，面的正投影的长度相等，若棱，，面的同侧，则为过且与平面平行的平面，若棱，，中有一条棱和另外两条棱分别在平面的异侧，则这样的平面有3个，故满足使得棱，，在平面的正投影的长度相等的平面有4个；③正确．④过作面与面平行，则正方体在面的正投影为一个正六边形，其中平面，而分别垂直于正三角形和，所以根据对称性，正方体的