考研数学二(二次型)模拟试卷12(题后含答案及解析)

考研数学二（二次型）模拟试卷12(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设A，B为n阶可逆矩阵，则()．A．存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵B．存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵C．存在可逆矩阵P，使得P-1(A＋B)P为对角矩阵D．存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ＝B正确答案：D解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ＝B，选D．知识模块：二次型2．n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是()．A．A无负特征值B．A是满秩矩阵C．A的每个特征值都是单值D．A-1是正定矩阵正确答案：A解析：A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，A项不对；若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，B项不对；C项既不是充分条件又不是必要条件；显然D项既是充分条件又是必要条件．知识模块：二次型3．下列说法正确的是()．A．任一个二次型的标准形是唯一的B．若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C．若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D．一次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的正确答案：D解析：A项不对，如f＝χ1χ2，令，则f＝y12－y22；若令则f＝y12－9y22；B项不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；C项不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选D项，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．知识模块：二次型4．设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X()．A．规范形与标准形都不一定相同B．规范形相同但标准形不一定相同C．标准形相同但规范形不一定相同D．规范形和标准形都相同正确答案：B解析：因为A与A-1合同，所以XTAX与XTA-1X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选B．知识模块：二次型5．设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是()．A．可逆矩阵B．实对称矩阵C．正定矩阵D．正交矩阵正确答案：B解析：因为A与对角阵A合同，所以存在可逆矩阵P，使得PTAP＝A，从而A＝(PT)-1AP-1＝(P-1)TAP-1，AT＝[(P-1)TAP-1]T＝(P-1)TAP-1＝A，选B．知识模块：二次型6．设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP＝B，则()．A．A，B合同B．A，B相似C．方程组AX＝0与BX＝0同解D．r(A)＝r(B)正确答案：D解析：因为P可逆，所以r(A)＝r(B)，选D．知识模块：二次型7．设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是()．A．r(A)＝r(B)B．｜A｜＝｜B｜C．A～BD．A，B与同一个实对称矩阵合同正确答案：D解析：因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B合同，则A，B的正负惯性指数相同，从而A，B与合同，选D．知识模块：二次型8．设，则A与B()．A．相似且合同B．相似不合同C．合同不相似D．不合同也不相似正确答案：C解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为1，3，－5，由｜λE－B｜＝0得B的特征值为1，1，－1，所以A与B合同但不相似，选C．知识模块：二次型9．设A，B为三阶矩阵，且特征值均为－2，1，1，以下命题：(1)A～B；(2)A，B合同；(3)A，B等价；(4)｜A｜＝｜B｜中正确的命题个数为()．A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：B解析：因为A，B的特征值为－2，1，1，所以｜A｜＝｜B｜＝－2，又因为r(A)＝r(B)＝3，所以A，B等价，但A，B不一定相似或合同，选B．知识模块：二次型10．设，则A与B()．A．合同且相似B．相似但不合同C．合同但不相似D．既不相似又不合同正确答案：C解析：显然A，B都是实对称矩阵，由｜λE－A｜＝0，得A的特征值为λ1＝1，λ2＝2，λ3＝9，由｜λE－B｜＝0，得B的特征值为λ1＝1，λ2＝λ3＝3，因为A，B惯性指数相等，但特征值不相同，所以A，B合同但不相似，选C．知识模块：二次型11．设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X，有XTAX＝0，则()．A．｜A｜＝0B．｜A｜＞0C．｜A｜＜0D．以上都不对正确答案：A解析：设二次型＝XTAXλ1y12＋λ2y22＋λ3y32，其中Q为正交矩阵．取Y＝，则f＝XTAX＝λ1＝0，同理可得λ2＝λ3＝0，由于A是实对称矩阵，所以r(A)＝0，从而A＝O，选A．知识模块：二次型填空题12．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1－2χ2)2＋4χ2χ3的矩阵为_______．正确答案：解析：因为f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22－4χ1χ2＋4χ2χ3，所以A＝知识模块：二次型13．设，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为_______．正确答案：解析：令正交规范化的向量组为γ1＝知识模块：二次型14．设二次型2χ12＋χ22＋χ32＋2χ1χ2＋aχ2χ3的秩为2，则a＝_______．正确答案：解析：该二次型的矩阵为A＝，因为该二次型的秩为2，所以｜A｜＝0，解得a＝．知识模块：二次型15．设5χ12＋χ22＋tχ32＋4χ1χ2－2χ1χ3－2χ2χ3为正定二次型，则t的取值范围是_______．正确答案：t＞2解析：二次型的矩阵为A＝，因为二次型为正定二次型，所以有5＞0，－1＞0，｜A｜＞0，解得t＞2．知识模块：二次型16．f(χ1，χ2，χ3，χ4)＝XTAX的正惯性指数是2，且A2＝2A＝O，该二次型的规范形为_______．正确答案：y12＋y22解析：A2－2A＝Or(A)＋r(2E－A)＝4A可以对角化，λ1＝2，λ2＝0，又二次型的正惯性指数为2，所以λ1＝2，λ2＝0分别都是二重，所以该二次型的规范形为y12＋y22．知识模块：二次型解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．用配方法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ2χ3为标准二次型．正确答案：令即X＝PY，其中则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAXYT(PTAP)Y＝y12＋y22－y32．涉及知识点：二次型18．用配方法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ1χ2＋2χ1χ3－4χ32为标准形．正确答案：f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ1χ2＋2χ1χ3－4χ32＝(χ1＋χ2＋χ3)2－(χ2＋χ3)2－4χ32，即X＝PY，其中P＝则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAXy12－y22－4y32．涉及知识点：二次型19．设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中B＝(1)求正交变换X＝QY将二次型化为标准形；(2)求矩阵A．正确答案：(1)由AB＋B＝O得(E＋A)B＝O，从而r(E＋A)＋r(B)≤3，因为r(B)＝2，所以r(E＋A)≤1，从而λ＝－1为A的特征值且不低于2重，显然λ＝－1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ1＝λ2＝－1，λ3＝5．由(E＋A)B＝O得B的列组为(E＋A)X＝0的解，故为λ1＝λ2＝－1对应的线性无关解．令α3＝为λ3＝5对应的特征向量，因为AT＝A，令Q＝(γ1，γ2，γ3)，则f＝XTAX＝－y12－y22＋5y32．(2)由QTAQ＝涉及知识点：二次型20．用正交变换法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3－4χ2χ3为标准二次型．正确答案：f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，其中X＝由｜λE－A｜＝＝(λ＋3)(λ＋3)2＝0得λ1＝－3，λ2＝λ3＝3．由(－3E－A)X＝0得λ1＝－3对应的线性无关的特征向量为α1＝；由(3E－A)X＝0得λ2＝λ3＝3对应的线性无关的特征向量为将α1，α2正交化得则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAXYT(QTAQ)Y＝－3y12＋3y22＋3y32．涉及知识点：二次型21．设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(a－1)χ12＋(a－1)χ22＋2χ32＋2χ1χ2(a＞0)的秩为2．(1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．正确答案：(1)A＝，因为二次型的秩为2，所以r(A)＝2，从而a＝2．(2)A＝，由｜λE－A｜＝0得λ1＝λ2＝2，λ3＝0．当λ＝2时，由(2E－A)X＝0得λ＝2对应的线性无关的特征向量为当λ＝0时，(0E－A)X＝0得λ＝0对应的线性无关的特征向量为α3＝因为α1，α2两两正交，单位化得令则f＝XTAXYT(QTAQ)Y＝2y12＋2y22．涉及知识点：二次型22．设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2＝A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形；(2)｜E＋A＋A2＋…＋An｜的值．正确答案：(1)因为A2＝A，所以｜A｜｜E－A｜＝0，即A的特征值为0或者1，因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)＝r得A的特征值为λ＝1(r重)，λ＝0(n－r重)，则二次型XTAX的标准形为y12＋y22＋…＋yr2．(2)令B＝E＋A＋A2＋…＋An，则B的特征值为λ＝n＋1(r重)，λ＝1(n－r重)，故｜E＋A＋A2＋…＋An｜＝｜B｜＝(n＋1)r．涉及知识点：二次型23．设A为n阶实对称可逆矩阵f(χ1，χ2，…，χN)＝．(1)记X＝(χ1，χ2，…，χn)T，把二次型f(χ1，χ2，…，χn)写成矩阵形式；(2)二次型g(X)＝XTAX是否与f(χ1，χ2，…，χn)合同?正确答案：(1)f(X)＝(χ1，χ2，…，χn)因为r(A)＝n，所以｜A｜≠0，于是A*＝A-1，显然A*，A-1都是实对称矩阵．(2)因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与A-1合同，故二次型f(χ1，χ2，…，χn)与g(X)＝XTAX规范合同．涉及知识点：二次型24．设A是三阶实对称矩阵，且A2＋2A＝O，r(A)＝2．(1)求A的全部特征值；(2)当k为何值时，A＋kE为正定矩阵?正确答案：(1)由A2＋2A＝O得r(A)＋r(A＋2E)≤3，从而A的特征值为0或－2，因为A是实对称矩阵且r(A)＝2，所以λ1＝0，λ2＝λ3＝－2．(2)A＋kE的特征值为k，k－2，k－2，当k＞2时，A＋kE为正定矩阵．涉及知识点：二次型25．设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22＋2χ32＋2tχ1χ2＋2χ1χ3为正定二次型，求t的范围．正确答案：二次型的矩阵为A＝，因为该二次型为正定二次型，所以有解得涉及知识点：二次型26．设A是n阶正定矩阵，证明：｜E＋A｜＞1．正确答案：因为A是正定矩阵，所以存在正交阵Q，使得QTAQ＝其中λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此QT(A＋E)Q＝于是｜QT(A＋E)Q｜＝｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)…(λn＋1)＞1．涉及知识点：二次型27．用配方法化下列二次型为标准形：f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22－5χ32＋2χ1χ2－2χ1χ3＋2χ2χ3．正确答案：令，则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ22－5χ32＋2χ1χ2－2χ1χ3＋2χ2χ3＝(χ1＋χ2－χ3)2＋(χ2＋2χ3)2－10χ32，显然P可逆，且f(χ1，χ2，χ3)YT(PTAP)Y＝y12＋y22－10y32．涉及知识点：二次型28．用配方法化下N--次型为标准形：f(χ1，χ2，χ3)＝2χ1χ2＋2χ1χ3＋6χ2χ3．正确答案：令，或X＝P1Y，其中且P1可逆，则f(χ1，χ2，χ3)2y12－2y22＋8y1y3＋4y2y3＝2(y1＋2y3)2－2(y2－y3)－6y32，令P＝P1P2＝，P可逆，且f(χ1，χ2，χ3)XTAXZT(PTAP)Z＝2z12－2z22－6z32涉及知识点：二次型29．二次型f(x1，z2，z3)一z；+ax；+z；一4x1z2—8x1z3—4x2．273经过正交变换化为标准形5y12＋by22＋4y32，求：(1)常数a，b；(2)正交变换的矩阵Q．正确答案：(1)令，则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX矩阵A的特征值为λ1＝5，λ2＝6，λ3＝－4，从而A＝，特征值为λ1＝λ2＝5，λ3＝－4．(2)将λ1＝λ2＝5代入(λE－A)X＝0，即(5E－A)X＝0，由5E－A＝得λ1＝λ2＝5对应的线性无关的特征向量为将λ3＝－4代入(λE－A)X＝0，即(4E＋A)X＝0。由4E＋A＝得λ3＝－4对应的线性无关的特征向量为所求的正交变换矩阵为Q＝涉及知识点：二次型30．设C＝为正定矩阵，令P＝，(1)求PTCP；(2)证明：D－BA-1BT为正定矩阵．正确答案：(1)因为C＝为正定矩阵．所以AT＝A，DT－D，(2)因为C与合同，且C为正定矩阵，所以为正定矩阵，故A与D－BA-1BT都是正定矩阵．涉及知识点：二次型31．设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，tr(A)＝1，又B＝且AB＝O．(1)求正交矩阵Q，使得在正交变换X＝QY，下二次型化为标准形．(2)求矩阵A．正确答案：(1)由AB＝O得＝0，即为λ＝0的两个线性无关的特征向量，从而λ＝0为至少二重特征值，又由tr(A)＝1得λ3＝1，即λ1＝λ2＝0，λ3＝1．令λ3＝1对应的特征向量为α3＝因为AT＝A，所以解得λ3＝1对应的线性无关的特征向量为所求的正交矩阵为Q＝且XTAXy32．(2)由涉及知识点：二次型32．设A为m×n阶实矩阵，且r(A)＝n．证明：ATA的特征值全大于零．正确答案：首先ATA为实对称矩阵，r(ATA)＝n，对任意的X＞0，XT(ATA)X＝(AX)T(AX)，令AX＝α，因为r(A)＝n，所以α≠0，所以(AX)T(AX)＝αTα＝｜α｜2＞0，即二次型XT(ATA)X是正定二次型，ATA为正定矩阵，所以ATA的特征值全大于零．涉及知识点：二次型33．设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，PTAP为正定矩阵．正确答案：首先AT＝A，因为(PTAP)T＝PTAT(PT)T＝PTAP，所以PTAP为对称矩阵，对任意的X≠0，XT(PTAP)X＝(PX)TA(PX)，令PX＝α，因为P可逆且X≠0，所以α≠0，又因为A为正定矩阵，所以αTAα＞0，即XT(PTAP)X＞0，故XT(PTAP)X为正定二次型，于是PTAP为正定矩阵．涉及知识点：二次型34．设P为可逆矩阵，A＝PTP．证明：A是正定矩阵．正确答案：显然AT＝A，对任意的X≠0，XTAX＝(PX)T(PX)，因为X≠0且P可逆，所以PX≠0，于是XTAX＝(PX)T(PX)＝｜PX｜2＞0，即XTAX为正定二次型，故A为正定矩阵．涉及知识点：二次型35．设A，B为n阶正定矩阵．证明：A＋B为正定矩阵．正确答案：因为A，B正定，所以AT＝A，BT＝B，从而(A＋B)T＝A＋B，即A＋B为对称矩阵．对任意的X≠0，XT(A＋B)X＝XTAX＋XTBX，因为A，B为正定矩阵，所以XTAX＞0，XTBX＞0，因此XT(A＋B)X＞0，于是A＋B为正定矩阵．涉及知识点：二次型36．三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y12＋y22－2y32，且A*＋2E的非零特征值对应的特征向量为α1＝，求此二次型．正确答案：因为f＝XTAX经过正交变换后的标准形为f＝y12＋y22－2y32，所以矩阵A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝2．由｜A｜＝λ1λ2λ3＝－2得A*的特征值为μ1＝μ2＝2，μ3＝1，从而A*＋2E的特征值为0，0，3，即α1为A*＋2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ3＝－2的特征向量．令A的属于特征值λ1＝λ2＝1的特征向量为α＝，因为A为实对称矩阵，所以有α1Tα＝0，即χ1＋χ3＝0故矩阵A的属于λ1＝λ2＝1的特征向量为所求的二次型为f＝XTAX＝－χ12＋χ22－χ32－3χ1χ3．涉及知识点：二次型37．设二次型f＝2χ12＋2χ22＋aχ32＋2χ1χ2＋2bχ1χ3＋2χ2χ3经过正交变换X＝QY化为标准形f＝y12y22＋4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．正确答案：二次型f＝2χ12＋2χ22＋aχ33＋2χ1χ3＋2bχ1χ3＋2χ2χ3的矩阵形式为f＝XTAX其中因为QTAQ＝B＝，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．而｜λE－A｜＝λ3－(a＋4)λ2＋(4a－b2＋2)λ＋(－3a－2b＋2b2＋2)，所以有λ3－(a＋4)λ2＋(4a－b2＋2)λ＋(－3a－2b＋2b2＋2)＝(λ－1)2(λ－4)，解得a＝2，b＝1．当λ1＝λ2＝1时，由(E－A)X＝0得由λ3＝4时，由(4E－A)X＝0得ξ3＝．显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交．单位化为涉及知识点：二次型38．设齐次线性方程组有非零解，A＝为