广东省东莞市达标名校2024年高考数学五模试卷含解析

广东省东莞市达标名校2024年高考数学五模试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．2．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．3．过点的直线与曲线交于两点，若，则直线的斜率为()A． B．C．或 D．或4．已知数列为等差数列，且，则的值为（）A． B． C． D．5．如图，圆的半径为，，是圆上的定点，，是圆上的动点，点关于直线的对称点为，角的始边为射线，终边为射线，将表示为的函数，则在上的图像大致为（）A． B． C． D．6．已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是()A． B．C． D．7．已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]8．设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（）A． B． C． D．10．如图，在平面四边形中，满足，且，沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为（）A．12 B． C． D．11．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸12．将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，两个同心圆的半径分别为和，为大圆的一条直径，过点作小圆的切线交大圆于另一点，切点为，点为劣弧上的任一点（不包括两点），则的最大值是__________．14．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．15．已知平面向量，的夹角为，且，则=____16．如图，在平行四边形中，，,则的值为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.（1）设直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C交于两点A．B，求AB的长；（2）设M、N是曲线C上的两点，若，求面积的最大值.18．（12分）已知为各项均为整数的等差数列，为的前项和，若为和的等比中项，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求最大的正整数，使得.19．（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.图：设备改造前样本的频率分布直方图表：设备改造后样本的频率分布表质量指标值频数2184814162（1）求图中实数的值；（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间或内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为(单位：元)，求的分布列和数学期望.20．（12分）已知，，不等式恒成立.（1）求证:（2）求证:.21．（12分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为（），直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求r的值.22．（10分）△的内角的对边分别为,且．(1)求角的大小(2)若,△的面积,求△的周长．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用即可得解.【详解】平面，底面是边长为2的正方形，如图建立空间直角坐标系，由题意：，，，，，为的中点，.，，，异面直线与所成角的余弦值为即为.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.2、B【解析】

三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，把该几何体补成如下图所示的圆柱，其体积为，故原几何体的体积为.故选：B.【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.3、A【解析】

利用切割线定理求得，利用勾股定理求得圆心到弦的距离，从而求得，结合，求得直线的倾斜角为，进而求得的斜率.【详解】曲线为圆的上半部分，圆心为，半径为.设与曲线相切于点，则所以到弦的距离为，，所以，由于，所以直线的倾斜角为，斜率为.故选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.4、B【解析】

由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．【详解】解：由等差数列的性质可得，解得，，故选：B．【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．5、B【解析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.【详解】由题意，当时，P与A重合，则与B重合，所以,故排除C,D选项；当时，，由图象可知选B.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.6、A【解析】

由题知，利用求出，再根据题给定义，化简求出的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.【详解】根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为，所以的周期为，则，所以，由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选：A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.7、B【解析】

作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在的交点（）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.8、A【解析】

由复数的除法运算可整理得到，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.【详解】由得：，对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：.【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.9、B【解析】

根据程序框图知当时，循环终止，此时，即可得答案.【详解】，.运行第一次，，不成立，运行第二次，，不成立，运行第三次，，不成立，运行第四次，，不成立，运行第五次，，成立，输出i的值为11，结束.故选：B.【点睛】本题考查补充程序框图判断框的条件，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.10、C【解析】

过作于，连接，易知，，从而可证平面，进而可知，当最大时，取得最大值，取的中点，可得，再由，求出的最大值即可.【详解】在和中，，所以，则，过作于，连接，显然，则，且，又因为，所以平面，所以，当最大时，取得最大值，取的中点，则，所以，因为，所以点在以为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，所以的最大值为椭圆的短轴长的一半，故最大值为，所以最大值为，故的最大值为.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.11、B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.12、B【解析】设折成的四棱锥的底面边长为，高为，则，故由题设可得，所以四棱锥的体积，应选答案B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

以为坐标原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，从而可得、，，，然后利用向量数量积的坐标运算可得，再根据辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】以为坐标原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则、，由，且，所以，所以，即又平分，所以，则,设，则，，所以，所以，，所以的最大值是.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、利用向量解决几何问题，同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质，属于中档题.14、【解析】

代入求解得,再求准线方程即可.【详解】解：双曲线经过点,,解得,即．又,故该双曲线的准线方程为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.15、1【解析】

根据平面向量模的定义先由坐标求得，再根据平面向量数量积定义求得；将化简并代入即可求得.【详解】，则，平面向量，的夹角为，则由平面向量数量积定义可得，根据平面向量模的求法可知，代入可得，解得，故答案为：1.【点睛】本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题.16、【解析】

根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值．【详解】∵AB＝2，AD＝1，∴＝1﹣4＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）1.【解析】

（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（2），，由（1）通过计算得到，即最大值为1.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为，即；再将，，代入上式，得，故曲线C的极坐标方程为，显然直线l与曲线C相交的两点中，必有一个为原点O，不妨设O与A重合，即.（2）不妨设，，则面积为当，即取时，.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.18、（1）（2）1008【解析】

（1）用基本量求出首项和公差，可得通项公式；（2）用裂项相消法求得和，然后解不等式可得．【详解】解：（1）由题得，即解得或因为数列为各项均为整数，所以，即（2）令所以即，解得所以的最大值为1008【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，考查裂项相消法求数列的和．在等差数列和等比数列中基本量法是解题的基本方法．19、（1）（2）详见解析【解析】

（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1可计算出值；（2）由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为.，选2件产品，支付的费用的所有取值为240，300，360，420，480，由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望．【详解】解：（1）据题意，得所以（2）据表1分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为.随机变量的所有取值为240，300，360，420，480.随机变量的分布列为240300360420480所以（元）【点睛】本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题时掌握性质：频率分布直方图中所有频率和为1．本题考查学生的数据处理能力，属于中档题．20、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）先根据绝对值不等式求得的最大值，从而得到，再利用基本不等式进行证明；（2）利用基本不等式变形得，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案.【详解】（1）∵，∴.∵，，，∴，∴，∴.（2）∵，，即两边开平方得.同理可得，.三式相加，得.【点睛】本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和推理论证能力.21、【解析】

先将曲线C和直线l的极坐标方程