2022年北京初二（上）期末数学试卷汇编：勾股定理

第1页/共1页2022北京初二（上）期末数学汇编勾股定理一、单选题1．（2022·北京亦庄实验中学八年级期末）如图，字母B所代表的正方形的面积是（

）A．194 B．144 C．13 D．122．（2022·北京房山·八年级期末）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它被第24届国际数学家大会选定为会徽，是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定．“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形的两条直角边分别为a、b，大正方形边长为3，小正方形边长为1，那么ab的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022·北京顺义·八年级期末）下列以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（

）A．a＝1，b＝1，c＝ B．a＝2，b＝3，c＝C．a＝3，b＝5，c＝7 D．a＝6，b＝8，c＝104．（2022·北京怀柔·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(，0)，点C在x轴上．若ABC为等腰三角形时，∠ABC=30°，则点C的坐标为（

）A．(-2，0)，(，0)，(-4，0) B．(-2，0)，(，0)，(4+，0)C．(-2，0)，(，0)，(，0) D．(-2，0)，(1，0)，(4-，0)5．（2022·北京平谷·八年级期末）如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（

）A． B．C． D．6．（2022·北京通州·八年级期末）如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为（

）A．2 B． C． D．7．（2022·北京延庆·八年级期末）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（

）A．5，12，13 B．1，2， C．1，，2 D．4，5，68．（2022·北京亦庄实验中学八年级期末）下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（）A．5、12、14 B．6、8、9 C．1、2、3 D．3、4、5二、填空题9．（2022·北京亦庄实验中学八年级期末）平面直角坐标系中两点，其中点的坐标为，点的坐标为，则两点间的距离是_________．10．（2022·北京平谷·八年级期末）如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半如果BC＝2，那么点C到AB的距离为________．11．（2022·北京石景山·八年级期末）如图，在中，，，以为直角边作等腰直角，再以为直角边作等腰直角，…，按照此规律作图，则的长度为______，的长度为______．12．（2022·北京平谷·八年级期末）如图，∠AOB＝90°，按以下步骤作图：①以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D；②分别以C、D为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线OP．如图，点M在射线OP上，过M作MH⊥OB于H，若MH＝2，则OM＝________．13．（2022·北京昌平·八年级期末）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为________．14．（2022·北京房山·八年级期末）如今人们锻炼身体的意识日渐增强，但是发现少数人保护环境的意识仍显淡薄，应提醒注意．下图是房山某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角（），于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC”．已知米，米，他们踩坏了______米的草坪，只为少走______米的路．15．（2022·北京延庆·八年级期末）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是___．16．（2022·北京亦庄实验中学八年级期末）如图是我校的长方形彩色操场，如果一学生要从角走到角，至少走________米；三、解答题17．（2022·北京亦庄实验中学八年级期末）已知：如图，，，，，，求四边形的面积．18．（2022·北京亦庄实验中学八年级期末）如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，．(1)求的长．(2)求的长．19．（2022·北京顺义·八年级期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图1，在△ABC中，AB＝AC，的值为△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）．（1）若∠A＝90°，则△ABC的正度为；（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；若△ACD的正度是，求∠A的度数．（3）若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为，△ABC的周长为22，是否存在点D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．20．（2022·北京石景山·八年级期末）如图，在中，，，．AD平分交BC于点D．（1）求BC的长；（2）求CD的长．21．（2022·北京房山·八年级期末）数学课上，老师出示了一个题：如图，在中，，，，的平分线交CB于点D，求CD的长．晓涵同学思索了一会儿，考虑到角平分线所在直线是角的对称轴这一特点，于是构造了一对全等三角形，解决了这个问题．请你在晓涵同学的启发下（或者独立思考后有自己的想法），解答这道题．22．（2022·北京门头沟·八年级期末）已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．（1）求证：AE＝DE；（2）如果AC＝3，，求AE的长．23．（2022·北京通州·八年级期末）如图，在中，，，在中，，与交于点，且．求证：（1）；（2）．24．（2022·北京延庆·八年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC＝，BD＝2．求线段DF的长度．25．（2022·北京延庆·八年级期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均落在格点上．(1)计算线段AB的长度；(2)判断△ABC的形状；(3)写出△ABC的面积；(4)画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1．26．（2022·北京昌平·八年级期末）一个三角形三边长分别为a，b，c．（1）当a＝3，b＝4时，①c的取值范围是________；②若这个三角形是直角三角形，则c的值是________；（2）当三边长满足时，①若两边长为3和4，则第三边的值是________；②在作图区内，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：已知两边长为a，c（a＜c），求作长度为b的线段（标注出相关线段的长度）．27．（2022·北京昌平·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C90°．（1）用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：在边BC上求作一点D，使得点D到AB的距离等于DC的长；（2）在（1）的条件下，若AC＝6，AB＝10，求CD的长．28．（2022·北京昌平·八年级期末）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．（1）如图1，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．①若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”：_______（填“是”或“否”）；②当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝，则DE＝_______；③当0°＜∠BAC＜180°时，判断DE与AH之间的数量关系，并证明；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，DA⊥BA，DC⊥BC，且DA＝DC．①画出△OAB与△OCD，使它们互为“底余等腰三角形”；②若△OCD的“余高”长为a，则点A到BC的距离为_______（用含a的式子表示）．

参考答案1．B【分析】如图，利用勾股定理得到a2+b2=c2，再根据正方形的面积公式得到a2=21，c2=169，则可计算出b2=144，从而得到字母B所代表的正方形的面积．【详解】解：如图，∵a2+b2=c2，而a2=25，c2=169，∴b2=169-25=144，∴字母B所代表的正方形的面积为144．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理：会利用勾股定理进行几何计算．2．B【分析】根据大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，可得直角三角形的面积，即可求得ab的值．【详解】解：∵大正方形边长为3，小正方形边长为1，∴大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，∴一个直角三角形的面积是(9-1)÷4=2，又∵一个直角三角形的面积是ab=2，∴ab=4．故选：B．【点睛】本题考查了与弦图有关的计算，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．3．C【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【详解】解：、，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；、，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；、，该三角形不是直角三角形，故此选项符合题意；、，该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4．A【分析】分别以AB为腰和底两种情况结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∵点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(，0)，∴AO=2，BO=在Rt中，由勾股定理得：①当AB为的腰时，∴;∴②当AB为底边时，∵∴∴由勾股定理得，∴∴综上,点C的坐标为(-2，0)，(，0)，(-4，0)故选A【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的定义、勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握线等腰三角形的性质是解题的关键．5．C【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．【详解】A、对于△ABD，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意；B、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意；C、对于△ABC，由于，则此三角形是直角三角形，同理△BDC也是直角三角形，故符合题意；D、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△BDC也不是直角三角形，故不合题意．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，其内容是：两条短边的平方和等于长边的平方，则此三角形是直角三角形，为便于利用平方差公式计算，常常计算两条长边的平方差即两条长边的和与这两条长边的差的积，若等于最短边的平方，则此三角形是直角三角形．6．D【分析】先根据勾股定理求出AB，再利用三角形面积求出BD即可．【详解】解：∵，，，∴根据勾股定理，∵，∴S△ABC=，即，解得：．故选择D．【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式是解题关键．7．D【分析】根据勾股定理的逆定理逐项分析解题即可．【详解】解：A.5，12，13能构成直角三角形，故A不符合题意；B.1，2，能构成直角三角形，故B不符合题意；C.1，，2能构成直角三角形，故C不符合题意；D.，4，5，6不能构成直角三角形，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．D【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】A、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意；B、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意；C、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意；D、，能作为直角三角形三条边，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．9．5【分析】利用勾股定理即可求解．【详解】∵A(1,1)，B(4,5)，∴，即AB之间的距离为5．故答案为：5．【点睛】本题考查了应用勾股定理求解直角坐标系中两点之间的距离的知识，熟练掌握勾股定理并灵活运用是解答本题的关键．10．【分析】根据题干所给结论和勾股定理可求得AB和AC，再根据等面积法即可求得h．【详解】解：依据题意可得，根据勾股定理可得，设点C到AB的距离为h，则，即，解得，即点C到AB的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形，掌握等面积法是解题关键．11．

【分析】根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍分别求解即可．【详解】解：∵，∴同理可得，⋯故答案为：，．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，熟记等腰直角三角形斜边等于直角边的倍是解题的关键．12．【分析】先根据题意发现OP是∠AOB的角平分线，可得△OMH是等腰直角三角形，可得OH=MH=2,最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：由题意可得OP是∠AOB的角平分线，即∠MOH=∠AOB=45°∵MH⊥OB∴∠OMH=45°∴△OMH是等腰直角三角形∴OH=MH=2,∴OM=．故答案是．【点睛】本题主要考查了角平分线的做法、运用勾股定理解直角三角形，根据题意发现OP是∠AOB的角平分线是解答本题的关键．13．25【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得的值，再利用勾股定理可得的值，由此即可得．【详解】解：如图，，，则所代表的正方形的面积为25，故答案为：25．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．14．

50

20【分析】根据勾股定理计算AC，计算AB+BC-AC的值即可．【详解】∵，，，∴AC==50（米），∴AB+BC-AC=30+40-50=20（米），故答案为：50，20．【点睛】本题考查了勾股定理，准确用定理计算是解题的关键．15．【分析】根据勾股定理可计算出OB的长度，即点P在数轴正半轴表示的数．【详解】解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，∴OB=，∴以点O为圆心，OB为半径与正半轴交点P表示的数为．故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理的应用及数轴上点的坐标的表示，根据题意先计算OB的长度是解题的关键．16．100【分析】根据两点之间线段最短及勾股定理解答即可．【详解】解：因为两点之间线段最短，所以AC的长即为从A到C的最短距离，根据矩形的对边相等，得，BC=AD=80米，再根据勾股定理，得，AC=（米）故答案为100.【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理．还要熟记6，8，10勾股数，从而能够快速进行求解．17．36【分析】利用勾股定理求出BC，再利用勾股定理的逆定理证出△BCD是直角三角形，得到四边形的面积就等于两个直角三角形的面积之和.【详解】∵∠A=90°，AB=4，AC=3，∴．∵BC=5，BD=12，CD=13，∴，∴△BCD是直角三角形，且斜边为CD，∴．即四边形ABCD的面积为36．【点睛】此题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判定△BCD是直角三角形是解决此题的关键.18．(1)8(2)【分析】（1）先求出∠B=∠C=30°，再根据DE垂直平分AC，可得AD=CD，∠DEC=90°，在Rt△CDE中，∠C=30°，DE=2，可得CD=2DE=4，即AD=CD=4，在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=4，即BD可求；（2）在Rt△ABD中利用勾股定理即可求解．（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=，∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠DEC=90°，∴∠DAC=∠C=30°，∴∠DAB=∠BAC-∠CAD=90°，在Rt△CDE中，∠C=30°，DE=2，∴CD=2DE=4，∴AD=CD=4，在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=4，∴BD=2AD=8，即BD的值为8；（2）∵∠DAB=90°，∴在Rt△ABD中，BD=8，AD=4，，即AB的值为．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用含30°角的直角三角形的性质．19．（1）（2）图见解析，∠A=45°（3）存在，正度为或．【分析】（1）当∠A＝90°，△ABC是等腰直角三角形，故可求解；（2）根据△ACD的正度是，可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形，故可作图；（3）由△ABC的正度为，周长为22，求出△ABC的三条边的长，然后分两种情况作图讨论即可求解．【详解】（1）∵∠A＝90°，则△ABC是等腰直角三角形∴AB=AC∵AB2+AC2=BC2∴BC=∴△ABC的正度为故答案为：；（2）∵△ACD的正度是，由（1）可得△ACD是以AC为底的等腰直角三角形故作CD⊥AB于D点，如图，△ACD即为所求；∵△ACD是以AC为底的等腰直角三角形∴∠A=45°；（3）存在∵△ABC的正度为，∴＝，设：AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x，∵△ABC的周长为22，∴AB＋BC＋AC＝22，即：3x+5x+3x＝22，∴x＝2，∴AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，AC＝3x＝6，分两种情况：①当AC＝CD＝6时，如图过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝5，∵CD＝6，∴DE＝CD−CE＝1，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝，在Rt△AED中，由勾股定理得：AD＝∴△ACD的正度＝；②当AD＝CD时，如图由①可知：BE＝5，AE＝，∵AD＝CD，∴DE＝CE−CD＝5−AD，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2−DE2＝AE2，即：AD2−（5−AD）2＝11，解得：AD＝，∴△ACD的正度＝．综上所述存在两个点D，使△ABD具有正度．△ABD的正度为或．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是理解正度的含义、熟知勾股定理与等腰三角形的性质．20．（1）；（2）3．【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得DE=DC，利用面积法得到关于CD的方程，求解即可．【详解】解：（1）∵AB=10，AC=6，∴BC=；（2）作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，∴DE=DC，∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴×10×DE+×6×CD=×6×8，∴CD=3．【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．21．【分析】在AB上截取，连接DE，根据证明，证得，最后利用勾股定理列一元二次方程求解即可．【详解】解：在AB上截取，连接DE∵，，∴，∵AD平分，∴在和中，∴，∴，∵，∴设，则，∵∴即，解得，∴CD的长为．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程，构造全等三角形是解决本题的关键．22．（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质得出∠EAD＝∠ADE即可；（2）过点D作DF⊥AB于F，求出DF＝DC＝，设AE＝x，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：（1）∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD．∴∠EAD＝∠ADE．∴AE＝DE．（2）过点D作DF⊥AB于F．∵∠C＝90°，AC＝3，，∴在Rt△ACD中，由勾股定理得．∴．∵AD平分∠BAC，∴DF＝DC＝．又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，∴Rt△DAC≌Rt△DAF．∴AF＝AC＝3．∴Rt△DEF中，由勾股定理得．设AE＝x，则DE＝x，，∴，∴x＝2．

∴AE＝2．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理，解题关键是利用角平分线和平行线证明等腰，设未知数，依据勾股定理列方程．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理确定，，再根据等角的余角相等即可证明；（2）延长交延长线于点．先根据全等三角形的判定定理得到，进而得到，再根据全等三角形的判定定理得到，进而得到，最后根据勾股定理即可证明．【详解】证明：（1）如下图所示，标出，，．∵，，∴，．∵和是对顶角，∴．∴，即．（2）在（1）中图延长交延长线于点．由（1）可知，即．∵，∴．∵，∴．∴．在和中，∵∴．∴．∴．∵，即，∴．∴．由（1）可知，即．在和中，，∵∴．∴．∴∵在中，，∴．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，等角的余角相等，全等三角形的判定定理和性质，勾股定理，综合应用以上知识点是解题关键，同时注意等价代换思想的使用．24．1【分析】由勾股定理可求CD＝1，由“AAS”可证△BFD≌△ACD，可得CD＝DF＝1．【详解】解：∵AD和BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°．∴∠C＋∠DAC＝90°；∠C＋∠DBF＝90°．∴∠DAC＝∠DBF．∵∠ABC＝45°，∴∠DAB＝45°．∴∠ABC＝∠DAB．∴DA＝DB．

在△ADC与△BDF中，∴△ADC≌△BDF（ASA）．∴AC＝BF＝．在Rt△BDF中，∠BDF＝90°，

∴BD2＋DF2＝BF2．∵BD＝2，BF＝，∴DF＝1

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．25．(1)(2)直角三角形(3)5(4)图形见解析【分析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）求出BC、AC的长即可判断△ABC的形状；（3）由（2）可知△ABC是直角三角形，直接利用公式求面积；（4）分别画出A、B、C关于直线l的轴对称点，再依次链接即可．（1）（2），∴∴△ABC的形状是一个直角三角形（3）由（2）可知△ABC是直角三角形∴（4）图形如图所示：【点睛】本题考查网格中作对称及利用勾股定理求边长，属于常规题，解题的关键是熟练在网格中找到线段所在的直角三角形．26．（1）①；②或5；（2）①2或或5；②图见解析．【分析】（1）①根据三角形的三边关系定理即可得；②分斜边长为和斜边长为两种情况，分别利用勾股定理即可得；（2）①先根据已知等式得出，再分中有一个为3，；中有一个为4，；中有一个为3，另一个为4三种情况，分别代入求解即可得；②先画出射线，再在射线上作线段，然后在射线上作线段，最后作线段的垂直平分线，交于点即可得．【详解】解：（1）①由三角形的三边关系定理得：，即，故答案为：；②当斜边长为时，，当斜边长为时，，综上，的值为或5，故答案为：或5；（2）①由得：，因此，分以下三种情况：当中有一个为3，时，不妨设，则，将代入得：，解得，符合题设，当中有一个为4，时，不妨设，则，将代入得：，解得，符合题设，当中有一个为3，另一个为4时，不妨设，则，将代入得：，解得，符合题设，综上，第三边的值是2或或5，故答案为：2或或5；②由得：，如图，线段即为所求．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的三边关系定理、作线段和线段垂直平分线（尺规作图）等知识点，较难的是题（2）①，正确分三种情况讨论是解题关键．27．（1）图见详解；（2）3.【分析】（1）根据题意作∠BAC的平分线交B