2022年北京初二（下）期末数学试卷汇编：一元二次方程和它的解法

第1页/共1页2022北京初二（下）期末数学汇编一元二次方程和它的解法一、单选题1．（2022·北京平谷·八年级期末）把一元二次方程配方后，下列变形正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022·北京通州·八年级期末）如果，那么的值是（

）A．0 B．2 C．0，2 D．0，3．（2022·北京通州·八年级期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（

）A．1，3， B．0，3，4 C．0，，4 D．1，，4．（2022·北京房山·八年级期末）方程的根的情况是（

）A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．无法判断5．（2022·北京顺义·八年级期末）一元二次方程配方后可化为（

）A． B． C． D．6．（2022·北京顺义·八年级期末）方程的解是（

）A． B． C．， D．，7．（2022·北京石景山·八年级期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（

）A． B． C． D．8．（2022·北京昌平·八年级期末）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．二、填空题9．（2022·北京通州·八年级期末）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为______．10．（2022·北京延庆·八年级期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________________．11．（2022·北京平谷·八年级期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是_____．12．（2022·北京门头沟·八年级期末）如果关于的一元二次方程的一个根为，那么的值为______．13．（2022·北京顺义·八年级期末）若关于x的方程的一个根是-1，则m的值是______．14．（2022·北京房山·八年级期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为_______．15．（2022·北京石景山·八年级期末）一元二次方程的解为_____________．16．（2022·北京顺义·八年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为______．三、解答题17．（2022·北京延庆·八年级期末）已知关于的一元二次方程．(1)如果该方程有两个相等的实数根，求m的值；(2)如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围．18．（2022·北京延庆·八年级期末）解方程：(1)；(2)．19．（2022·北京平谷·八年级期末）已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0．(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；(2)若此方程有一个根是0，求出m的值和另一个根．20．（2022·北京平谷·八年级期末）解方程：(1)；(2)21．（2022·北京门头沟·八年级期末）阅读材料，并回答问题：王林在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：解：①②③④，⑤，⑥问题：(1)王林解方程的方法是______；A．直接开平方法

B．配方法

C．公式法

D．因式分解法(2)上述解答过程中，从______步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是______；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．22．（2022·北京门头沟·八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)当取正整数时，求此时方程的根．23．（2022·北京门头沟·八年级期末）用适当的方法解方程：．24．（2022·北京房山·八年级期末）已知关于x的一元二次方程．(1)当时，不解方程，判断方程根的情况，并说明理由．(2)若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．25．（2022·北京房山·八年级期末）解方程：(1)；(2)（用配方法）26．（2022·北京顺义·八年级期末）已知：关于x的方程．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程的一个根小于1，求k的取值范围．27．（2022·北京石景山·八年级期末）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：对于任意实数m，该方程总有两个不相等实数根；(2)如果此方程有一个根为0，求m的值．28．（2022·北京石景山·八年级期末）用适当的方法解方程：．29．（2022·北京昌平·八年级期末）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；(2)若方程只有一个根为负数，求m的取值范围．30．（2022·北京朝阳·八年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的直线l：与矩形OABC给出如下定义：设直线l与坐标轴交于点M，N（M，N不重合），直线与矩形OABC的两边交于点P，Q（P，Q不重合），称线段MN，PQ的较小值为直线l的关联距离，记作，特别地，当MN＝PQ时，．已知A（6，0），B（6，3），C（0，3）．(1)若，则MN＝______，PQ＝______；(2)若，，则b的值为______；(3)若，直接写出的最大值及此时以M，N，P，Q为顶点的四边形的对角线交点坐标．

参考答案1．C【分析】掌握配方法解一元二次方程即可得出答案．【详解】，，，故选C．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，准确掌握方法是本题的关键．2．D【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】解：∵，∴，即或，故选：D．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程．能正确对等式左边分解因式是解题关键．3．D【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-3，-4．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．4．C【分析】根据一元二次方程的判别式，即可得出∆=-30,方程无实数根.【详解】一元二次方程x2-x+1=0的判别式，∆=1-4=-30,所以，方程无实数根,答案:C.【点睛】记住当∆<0时，方程无实数根；当∆=0,方程有相等的实数根；当∆>0时，方程有两个不相等的实数根.5．D【分析】方程移项后，两项加上一次项系数的一半的平方配方得到结果，即可作出判断．【详解】方程移项得：，配方得：，即，故选：D．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．6．C【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可．【详解】解：原方程化为，∴，，故选：C．【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程结构灵活选用一元二次方程的解法是解答的关键．7．A【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．【详解】解：，，则，即，故选：A．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．8．A【分析】根据二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤：①将常数项移到等于号的右边，②两边同时加上一次项系数的一半的平方，转化成完全平方式即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程中的配方法，熟练掌握配方的步骤是解答本题的关键．9．9【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可得到答案．【详解】解：△=（-6）2-4c=0，解得c=9，故答案为9．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根据根的情况列出方程是解题的关键．10．【分析】根据一元二次方程根有两个不相等的实数根时，判别式，代入计算即可得出答案．【详解】解：由题可知，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的符号与一元二次方程根的关系是本题的关键．11．2【分析】根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系可知，∆=b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，代入即可得出答案．【详解】解：由题可知，，解得，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，∆=b2-4ac=0是本题的关键．12．-3【分析】把x=1代入已知方程可以列出关于a的新方程，通过解新方程即可求得a的值．【详解】关于的一元二次方程的一个根为，，解得，．故答案是：．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．13．【分析】把代入方程进行求解即可．【详解】解：把代入方程可得：，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．14．m＞2且m≠3【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到3−m≠0且Δ＞0，然后解不等式组即可．【详解】解：根据题意得：3−m≠0且Δ＝（−2）2−4（3−m）＞0，解得：m＞2且m≠3．故答案为：m＞2且m≠3．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．15．，【分析】利用因式分解法解方程．【详解】解：（x-2）（x-5）＝0，x-2＝0或x-5＝0，所以，．故答案为，．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．16．1【分析】由关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式△，继而可求得的值．【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，△，解得：，故答案为：1．【点睛】此题考查了一元二次方程判别式的知识，解题的关键是注意掌握一元二次方程有两个相等的实数根，即可得△．17．(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用判别式即可求解．（2）利用因式分解变形得，可得方程的解，再根据方程有一个根小于0即可求解．（1）解：依题意，得：，∵方程有两个相等的实数根，∴，∴．（2）解：解得，，∵方程有一个根小于0，∴，∴．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及根据根的情况求参数问题，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．用因式分解法解含在参数的一元二次方程是本题的难点．18．(1)，(2)，【分析】（1）运用配方法解一元二次方程即可；（2）运用公式法解一元二次方程即可．（1）解：所以，原方程的解为，（2）解：，，∴∴原方程的解为，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，灵活选用方法和准确计算是本题的关键．19．(1)见解析(2)m=2，方程的另一个根是2．【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值正负即可得证；（2）把x=0代入方程求出m的值，即可确定出另一根．【详解】（1）证明：Δ=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4，∵（m-2）2≥0，∴（m-2）2+4＞0，即Δ＞0，∴方程总有两个不等实数根；（2）解：∵方程有一个根是0，∴m-2=0，解得：m=2，∴x2-2x=0，即x（x-2）=0，解得：x1=0，x2=2，∴此方程的另一个根是2．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义以及因式分解法解一元二次方程．20．(1)，(2)，【分析】（1）移项后，直接开平方得出结果．（2）用因式分解法可以得出结论．（1）解：直接开平方得：解得：，．（2）解：因式分解得：解得：，．【点睛】本题考查一元二次方程的几种常见解法：开平方法，分解因式法；掌握概念并熟练运用是解题的关键．21．(1)B(2)②；方程右边没有加上(3)，；正确的解答过程见解析【分析】（1）根据题意可得王林解方程的方法为配方法，即可；（2）根据题意可得从步开始出现了错误，发生错误的原因是方程右边没有加上，即可；（3）利用配方法求出方程的解，即可求解．（1）解：王林解方程的方法为配方法；故选：B；（2）解：上述解答过程中，从步开始出现了错误，发生错误的原因是方程右边没有加上；故答案为：；方程右边没有加上；（3）解：正确解答为：，，，，，，或，所以，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．22．(1)的取值范围为(2)当取正整数时，此时方程的根为和【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）由（1）的结论结合m为正整数，即可得出m=1，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解．【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：，的取值范围为；（2）为正整数，，原方程为，即，解得：，，当取正整数时，此时方程的根为和．【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．23．，【分析】利用提公因式法把方程的左边变形，计算即可．【详解】，解：，或，解得：，．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．24．(1)方程有两个不同的实数根，理由见解析；(2)取m=2，n=1，方程为的根为．（答案不唯一）【分析】（1）将求出根的判别式，其中n=m-3，判断的范围，即可判断方程根的情况；（2）由判别式可得出，若取m=2，n=1，原方程为，即可求出方程的根．(1)解：∵一元二次方程，其中n=m-3，∴，∴方程有两个不同的实数根．(2)解：∵要使方程有两个相等的非零实数根，∴，取m=2，n=1，则原方程为，解得：．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，方程(a≠0)其判别式为：，若＞0，则方程有两个不同的实数根，若=0，则方程有两个相同的实数根，若＜0，则方程无实数根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．25．(1)x1=0，x2=5；(2)．【分析】（1）根据因式分解法即可求解；（2）根据配方法即可求解．(1)解：，，，∴x=0或x-5=0，∴x1=0，x2=5；(2)解：，，，，，∴．【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的解法及配方法解一元二次方程是解题的关键．26．(1)有两个实数根(2)【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及完全平方公式，可得原方程有两个实数根；（2）由一元二次方程的求根公式可得，，分和两种情况进行讨论即可．（1）解：∵≥0．

∴原方程有两个实数根．（2）解：∵，其中，，，，∵∴，若，则，∵该方程的一个根小于1，∴，即，这与矛盾，应舍去；若，则，∵该方程的一个根小于1，∴，即，符合题意，综上，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和求根公式，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．27．(1)见解析；(2)m等于0或2．【分析】（1）根据a=，b=-（m-1），c=m2-2m，求出Δ=b2-4ac的值，进而作出判断；（2）把x=0代入方程列出m的一元二次方程，因式分解法解方程即可．(1)证明：∵a=，b=-（m-1），c=m2-2m，∴Δ=b2-4ac=＞0，∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；(2)当x=0时，m2-2m=0，解得m等于0或2．【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式△与根个数的关系以及解一元二次方程的方法步骤，此题难度不大．28．，．【分析】先利用根的判别式差别根的情况，再利用求根公式求解．【详解】解：在中，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，理解根的判别式是解答关键．29．(1)见解析(2)【分析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；（2）解方程得到x1=-1，x2=-m+1，根据方程只有一个根为负数，得到不等式，解不等式即可得到结论．【详解】（1）证明：∵a＝1，b＝m，，∴．∵，∴，∴无论m为何值，方程总有两个实数根．（2）∵a＝1，b＝m，，∴解方程，得，∴，，∵该方程只有一个根为负数，∴，解得：．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．30．(1)5，2.5；(2)1或3.5(3)的最大值为2.5，四边形的对角线交点坐标为()【分析】（1）根据点坐标及b=3画出图形，得到点M，N，P，Q的位置，利用勾股定理求出MN，PQ；（2）分两种情况：①当MN较小时，②当PQ较小时，分别求出点M，N，P，Q的坐标，利用勾股定理列式计算可得b的值；（3）先确定-3<b<0，两直线平行，且关系直线对称，勾股定理求出MN，PQ，当MN=PQ时，求出b=-1.5，当-1.5<b<0时，d1=MN，且d1随b的减小而增大；当b=-1.5时，d1=MN=PQ；当-3<b<-1.5时，d1=PQ，且d1随b的减小而增大；故当b=-1.5时，d1有最大值，此时d1=MN=PQ，得到P（0，1.5），Q（2，3），M（2，0），N（0，-1.5），求出d1及△CQP≌△OMN，得到四边形MNPQ是平行四边形，进而得到四边形对角线交点坐标．（1）当b=3时，直线，与x轴交点坐标为M（-4，0），与y轴交点N(0，3)，此时点N与点C重合，直线中，当y=0时，得x=4；当x=6时，得y=1.5，