考研数学二(常微分方程)模拟试卷23(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）模拟试卷23(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为()A．y=Cy1(x)。B．y=Cy2(x)。C．y=C1y1(x)+C2y2(x)。D．y=C[y1(x)一y2(x)]。正确答案：D解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=[y1(x)一y2(x)]为该方程的解。知识模块：常微分方程2．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为()A．y=C1x+C2x2+ex。B．y=C1x2+C2ex+x。C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x。D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)。正确答案：C解析：方程y’’+P(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x，故选C。知识模块：常微分方程3．函数y=C1ex+C2e－2x+xex满足的一个微分方程是()A．y’’一y’一2y=3xex。B．y’’一y’一2y=3ex。C．y’’+y’一2y=3xex。D．y’’+y’一2y=3ex。正确答案：D解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2。因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0，故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0。又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为f(x)=Cex(C为常数)。比较四个选项，应选D。知识模块：常微分方程4．微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为()A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)。C．y*=ax2+bx+c+Asinx。D．y*=ax2+bx+c+Acosx。正确答案：A解析：对应齐次方程y’’+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i，对于方程y’’+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，从而其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c，对于方程y’’+y=sinx，i为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，因此y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Beosx)。知识模块：常微分方程填空题5．微分方程xy’=yln的通解为_________。正确答案：y=x．eCx＋1解析：令y=xμ，代入原方程，则有xμ’+μ=μlnμ,即，两边求积分，即得ln｜lnμ一1｜=ln｜x｜+C，去掉对数符号与绝对值符号得y=xeCx＋1，C为任意常数。知识模块：常微分方程6．微分方程3extanydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是_________。正确答案：tany=C(ex一1)3解析：两边同乘以，方程分离变量为积分得ln｜tany｜=3ln｜ex一1｜+C。所以方程有通解为tany=C(ex一1)3。知识模块：常微分方程7．微分方程满足y｜x=1=1的特解为_________。正确答案：y=，x＞e－1解析：令μ=，则原方程变为，分离变量得即，将y｜x=1=1代入上式得C=e。故满足条件的方程的特解为ex=，x＞e－1。知识模块：常微分方程8．微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=的特解为_________。正确答案：y=解析：原方程可等价为y’+y=lnx，于是通解为知识模块：常微分方程9．微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是_________。正确答案：x=y2+y解析：将x看作未知函数，则=y。上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则x==elny(∫y．e－lnydy+C)=y(∫dy+C)=y(y+C)，将x=2，y=1代入，得C=1。故x=y2+y。知识模块：常微分方程10．设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_________。正确答案：y’’一2y’+2y=0解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是λ1，λ2=1±i，因此特征方程为(λ—λ1)(λ一λ2)=λ2一(λ1+λ2)λ+λ1λ2=λ2一2λ+2=0，故所求微分方程为y’’一2y’+2y=0。知识模块：常微分方程11．微分方程y’’+2y’+5y=0的通解为_________。正确答案：y=e－x(C1cos2x+C2sin2x)解析：由题干可知，方程y’’+2y’+5y=0的特征方程为λ2+2λ+5=0。解得λ1，2==一1±2i。则原方程的通解为y=e－x(C1cos2x+C2sin2x)。知识模块：常微分方程12．二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=_________。正确答案：y=C1eX+C2e3x一2e2x解析：特征方程为λ2一4λ+3=0，解得λ1=1，λ2=3。则对应齐次线性微分方程y’’一4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x。设非齐次线性微分方程y’’一4y’+3y=2e2x的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=一2。故通解为y=C1ex+C2e3x—2e2x。知识模块：常微分方程13．三阶常系数线性齐次微分方程y’’’一2y’’+y’一2y=0的通解为y=________。正确答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx解析：微分方程对应的特征方程为λ3一2λ2+λ一2=0。解上述方程可得其特征值为2，±i，于是其中一组特解为e2x，cosx，sinx。因此通解为y=C1e2x+C2cosx+C3sinx。知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14．求微分方程y’’一a(y’)2=0(a＞0)满足初始条件y｜x=0=0，y’｜x=0=一1的特解。正确答案：令y’=p，则y’’=，将之代入原方程，得一ap2=0，分离变量并积分=∫adx，由此得=ax+C1，由x=0，y’=0，y’=p=一1，得C1=1，即由x=0，y=0，得C2=0，所以y=ln(ax+1)。涉及知识点：常微分方程已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex。15．求f(x)的表达式；正确答案：齐次微分方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为λ2+λ一2=0，特征根为λ1=1，λ2=一2，因此该齐次微分方程的通解为f(x)=C1ex+C2e－2x。再由f’’(x)+f(x)=2ex得2C1ex一3C2e－2x=2ex，因此可知C1=1，C2=0。所以f(x)的表达式为f(x)=ex。涉及知识点：常微分方程16．求曲线y=f(x2∫0xf(－t2)dt的拐点。正确答案：曲线方程为y=ex2∫0xe－t2dt，则y’=1+2xex2∫0xe－t2，y’’=2x+2(1+2x2)ex2∫0xe－t2dt，令y’’=0得x=0。下面证明x=0是y’’=0唯一的解，当x＞0时，2x＞0，2(1+2x2)ex2∫0xe－t2dt＞0，可知y’’＞0；当x＜0时，2x＜0，2(1+2x2)ex2∫0xe－t2dt＜0，可知y’’＜0。可知x=0是y’’=0唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线y=f(x2)∫0xf(－t2)dt在x=0左、右两边的凹凸性相反，因此(0，0)点是曲线y=f(x2)∫0x(一t2)dt唯一的拐点。涉及知识点：常微分方程17．用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1一x2)y’’一xy’+y=0，并求其满足y｜x=0=1，y’｜x=0的特解。正确答案：代入原方程，得+y=0。解此微分方程，得y=C1cost+C2sint=C1x+C2，将y｜x=0=1，y’｜x=0=2代入，得C1=2，C2=1。故满足条件的特解为y=2x+。涉及知识点：常微分方程18．设f(μ，ν)具有连续偏导数，且满足fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=μν。求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。正确答案：由y(x)=e－2xf(x，x)，两边对x求导有，y’=一2e－2xf(x，x)+e－2xf1’(x，x)+e－2xf2’(x，x)=一2e－2xf(x，x)+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]=一2y+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]。已知fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=μν，即f1’(μ，ν)+f2’(μ，ν)=μν，则f1’(x，x)+f2’(x，x)=x2。因此，y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x2e－2x。由一阶线性微分方程的通解公式得y=e－∫2dx(∫x2e－2xe∫2dxdx+C)=e－2x(∫x2dx+C)=e－2x(+C)(C为任意常数)。涉及知识点：常微分方程在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)。19．求L的方程；正确答案：设曲线L的方程为y=f(x)，则由题设可得y’一=ax，这是一阶线性微分方程，其中P(x)=，Q(x)=ax，代入通解公式得y==x(ax+C)=ax2+Cx，又f(1)=0，所以C=一a。故曲线L的方程为y=ax2一ax(x≠0)。涉及知识点：常微分方程20．当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值。正确答案：L与直线y=ax(a＞0)所围成的平面图形如图1—5—2所示。所以D=∫02[ax一(ax2一ax)]dx=a∫02(2x一x2)dx=，故a=2。涉及知识点：常微分方程21．设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记α为曲线l在点(x，y)处切线的倾角，若，求y(x)的表达式。正确答案：由=tanα，两边对x求导得sec2α=y’’，即(1+y’2)y’=y’’，因此可知令y’=p，y’’==p(1+p2)，分离变量得由y(0)=0，且再次积分可得y(x)=。涉及知识点：常微分方程22．设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式。正确答案：由题意得SOCMA=X[1+f(x)]，SCBM=∫x1f(t)dt，即有1+f(x)+xf’(x)一2f(x)=x2。当x≠0时，化简得f’(x)一，即。此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为曲线过点B(1，0)，代入上式，得C=一2。所以f(x)=x2+1—2x=(x一1)2。涉及知识点：常微分方程23．设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线yf(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。正确答案：根据旋转体的体积公式，V=∫1tπf2(x)dx=π∫1tf2(x)dx，而曲边梯形的面积为s=∫1tf(x)dx，则由题意可知V=πts可以得到V=π∫1Tf2(x)dx=πt∫1t