不定积分第一类换元法

_PAGE不定积分第一类换元法（凑微分法）方法简介设具有原函数，即，，如果是中间变量，，且设可微，那么根据复合函数微分法，有从而根据不定积分的定义得.则有定理：设具有原函数，可导，则有换元公式由此定理可见，虽然是一个整体的记号，但如用导数记号中的及可看作微分，被积表达式中的也可当做变量的微分来对待，从而微分等式可以方便地应用到被积表达式中。几大类常见的凑微分形式：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)，，，；eq\o\ac(○,3)，；eq\o\ac(○,4)，，；eq\o\ac(○,5)；；eq\o\ac(○,6)复杂因式【不定积分的第一类换元法】已知求【凑微分】【做变换，令，再积分】【变量还原，】【求不定积分的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：（2）凑微分：（3）作变量代换得：（4）利用基本积分公式求出原函数：（5）将代入上面的结果，回到原来的积分变量得：【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。二、典型例题eq\o\ac(○,1)；例1.例2.[1]例3.[1]例4.[1]1．解：令,,2．解：令，3．解：令原式4．解：eq\o\ac(○,2)，，，；例1.[2]例2.[2]例3.[1]例4.[1]例5.[1]例6.[1]例7.设为常数，且，计算[1]1.解：设，，2．解：3．解：4.解：5.解：6.解：令，再令，有7．解：eq\o\ac(○,3)，；例1.[3]例2.[2]例3.[2]例4.[2]例5.[1]例6.[1]例7.[1]例8.[2]1.解：2.解：令，3.解：令，，4.解：令，5.解：6.解：7.解：令,,,原式8.解：eq\o\ac(○,4)，，；例1.[2]例2.[4]例3.[4]例4.[1]例5[1]例6.[1]例7[1]1.解：2.解：3.解：对于右端第一个积分，凑微分得第二个积分中，用代换原式4.解：5.解：6.解：7.解：eq\o\ac(○,5)；例1.[3]例2.[4]例3.[1]例4.[1]例5.[1]1.解：2.解：3.解：4．解：5．解：令，eq\o\ac(○,6)复杂因式例1.[4]例2.[1]例3.[1]例4.[1]例5.[1]例6.[1]1.解：2.解：3.解：4.解：5.解：6.解：1．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：(1)dxd(ax+b)(a≠0)；(2)dxd(7x3)；(3)xdxd(5)；(4)xdxd(1)；(5)dxd(32);(6)dxd()；(7)dxd(1+);(8)d(5ln｜x｜);(9)d(1arcsinx);(10)d;(11)d(arctan3x);(12)d(arctanx);(13)(32)dxd(2x)；(14)cos（1）dxdsin（1）．1求dx.2求.3求xdx．4求dx．5求dx．6求dx(a＞0)．7求xdx．8求xdx．例9求dx(a为常数，a≠0)．例10求dx．例11求cos2xdx．例12求dx．例13求dx２.求下列不定积分：(1);(2)dx;(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12);(13);(14);

1、解被积函数中，cos2x是cosu与u2x的复合函数，常数因子2恰好是中间变量u2x的导数，因此作变量代换u2x,便有dx·２dx·（２x)′dx＝udu＝sinu+C．再以u2x代入，即得cos2xdxsin2x+C.2、解可看成与u2x+5的复合函数，被积函数中虽没有u′2这个因子，但我们可以凑出这个因子：··２··(2x+5)′，从而令u2x+5,便有dx·(2x+5)dx＝d(2x+5)＝duln+C＝ln+C．一般地，对于积分(ax+b)dx，总可以作变量代换uax+b，把它化为＝f(ax+b)d(ax+b)＝．3、解xdxdx＝(cosx)′dx＝d(cosx)duln+Cln+C．类似地可得xdxln+C．4、解dxdx＝d(1）du+C+C．在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量u，只需做到“心中有数”即可．5、解dx·dxd（）arctan+C．6、解dxarcsin+C．7、解xdx＝sinxdxd(cosx)(cosx)+xd(cosx)cosx+x+C．8、解xdxdxxd(2