量子力学的基本理论

量子力学初步iHeethYY量子力学初步量子力学初步第二十三章quantummechanicspreliminaryremarksofchapter231编辑ppt本章内容本章内容Contentschapter23波函数及其统计解释wavefunctionanditsstatisticalexplanation薛定谔方程Schrodingerequation隧道效应tunneleffect不确定关系uncertaintyrelation2编辑ppt第一节wavefunctionanditsstatisticalexplanation波函数及其统计解释波函数及其统计解释23-1ssss3编辑ppt引言

量子力学是描述微观粒子运动规律的学科。它是现代物理学的理论支柱之一，被广泛地应用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多领域。本章主要介绍量子力学的基本概念及原理，并通过几个具体事例的讨论来说明量子力学处理问题的一般方法。4编辑ppt波函数回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设速度为v质量为m的自由粒子,Ep.,一方面可用能量

和动量

来描述它的粒子性nl另一方面可用频率

和波长

来描述它的波动性一、波函数

波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。波函数及其统计解释波函数及其统计解释5编辑ppt自由粒子波函数在量子力学中用复数表达式：应用欧拉公式取实部eifcosfisinf应用德布罗意公式phlhnEEnhl1php2hh1p2hh即即即的自由粒子的波函数为Y,()xteiAnp2l(tx)沿X方向匀速直线运动

在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程A,y()xtcosp2Tl(tx)cosnp2l(tx)Aei,y()xtnp2l(tx)Aeih(tx)pEA沿方向匀速直线运动r的自由粒子的波函数为Y,()trei(t)pErhA6编辑ppt续上在量子力学中用复数表达式：应用欧拉公式取实部eifcosfisinf应用德布罗意公式phlhnEEnhl1php2hh1p2hh即即即沿方向匀速直线运动r的自由粒子的波函数为Y,()trei(t)pErh的自由粒子的波函数为Y,()xteiAnp2l(tx)沿X方向匀速直线运动

在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿X轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程A,y()xtcosp2Tl(tx)cosnp2l(tx)Aei,y()xtnp2l(tx)Aeih(tx)pExAAY,()tre(t)pErihA自由粒子的波函数

自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布罗意波是平面波。不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是量子力学的一个基本假设。7编辑ppt概率密度二、波函数的统计解释设描述粒子运动状态的波函数为，则Y,()tr空间某处波的强度与在该处发现粒子的概率成正比；在该处单位体积内发现粒子的概率（概率密度）P,()tr与的模的平方成正比。,()trYP,()trY,()tr2Y,()tr*Y,()tr*Y,()trY,()tr是的共轭复数德布罗意波又称概率波波函数又称概率幅取比例系数为1，即MaxBorn(1882~1969)玻恩1926年提出了对波函数的统计解释8编辑ppt波函数归一化rXYzOxyzdVxddyzd因概率密度P,()trY,()tr2故在矢端的体积元内rdVxddyzd发现粒子的概率为dVxddyzdP,()trY,()tr2在波函数存在的全部空间V中必能找到粒子，即在全部空间V中

粒子出现的概率为1。dVY,()tr2VVY,()tr*Y,()trdV1此条件称为波函数的归一化条件满足归一化条件的波函数称为归一化波函数波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：9编辑ppt概率波与经典波德布罗意波（概率波）不同于经典波（如机械波、电磁波）德布罗意波经典波是振动状态的传播不代表任何物理量的传播波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，不影响粒子的概率密度分布，即和C所描述德布罗意波的状态相同。YY因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大C倍，则个处的能流密度增大C倍，变为另一种能流密度分布状态。2波函数存在归一化问题。波动方程无归一化问题。波函数存在归一化问题。10编辑ppt波函数标准条件波函数的三个标准条件：连续因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；单值因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的；有限因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件YYYYXOXOOXOX符合不符合不符合不符合11编辑ppt算例例设某粒子的波函数为Y,()xt0exApasinithE()x0,xa()x0a求归一化波函数概率密度概率密度最大的位置解法提要0aeAithExpasin((eAithExpasin((xd令YY*2Yxdxd0a0a1A,求2Yxd0aA20asinxpa2xd1积分得：a2A21,A2a得到归一化波函数：Y,()xt0expasinithE()x0,xa()x0a2a概率密度P,()xtY,()xt2()x0,xa()x0a0sinxpa2a2P,()xt得令dPxd0求极大值的x坐标dxd0sinxpa2a2((2asinxpa2p2解得xa2((0,a另外两个解x处题设Y0处P,()xt最大YP2Y0aXX0aa2a22a2a1112编辑ppt随堂小议结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议下列波函数中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）13编辑ppt小议链接1结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议下列波函数中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）14编辑ppt小议链接2结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议下列波函数中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）15编辑ppt小议链接3结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议下列波函数中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）16编辑ppt小议链接4结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议下列波函数中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）17编辑ppt第二节Schrodingerequation23-2ssss薛定谔方程薛定谔方程18编辑ppt薛定谔方程引言经典力学牛顿力学方程pFmddtvddt根据初始条件可求出经典质点的运动状态r()t,p()tr0p0r()tp()tXYzO经典质点有运动轨道概念不考虑物质的波粒二象性量子力学一、引言针对物质的波粒二象性微观粒子无运动轨道概念zXYOYr(t,(运动状态Yr(t,(波函数量子力学方程？是否存在一个根据某种条件可求出微观粒子的薛定谔方程薛定谔方程19编辑ppt基本算符量子力学中的

算符是表示对某一函数进行某种数学运算的符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。算符劈形算符数学运算符号拉普拉斯算符seexi+yjee+zeekeex++22yee22zee22s2动量算符pihs动能算符T2mh2s2哈密顿算符()含动、势能H2mh2s2+()rU,t位矢算符rr力学量算符统称举例F()若作用在某函数上的效果FY和与某一常量的乘积相当，YF即FYFY则F称为的本征值FY称为的本征函数FY所描述的状态称为本征态力学量的可能值是它的本征值力学量的平均值由下述积分求出FFY*FYxyzddd20编辑ppt薛定谔方程二、薛定谔方程二、薛定谔方程1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程获1933年诺贝尔物理学奖薛定谔EnwinSchrodinger:（1887-1961）薛定谔EnwinSchrodinger:当其运动速度远小于光速时它的波函数所满足的方程为Y质量为的粒子m在势能函数为的势场中运动()trU,它反映微观粒子运动状态随时间变化的力学规律，又称含时薛定谔方程。2mh2eex++22yee22zee22()()rU,t+H式中，为哈密顿算符，H2mh22s()rU,t+iHeethYY薛定谔方程薛定谔方程21编辑ppt三、定态薛定谔方程可分离变量，写成解释：U()rU若则Y()r,tY()r,tY()rf()tihf()tdtdEf()t积分f()t解得CteihEC将常量归入中，得Y()rYY()rteihE定态波函数此外，对得HYEY定态薛定谔方程ihY()reetf()tHY()rf()t故ihY()rf()tHY()rE常量()时间的函数空间的函数tf()tddHEY()rY()r由对应一个可能态有一常量E定态薛定谔方程势场只是空间函数U()rU即若粒子所在的E有一个能量定值HYEYY()r,tiHeethYY含时薛定谔方程HU()r,t+2mh22sYHU()r+2mh22sYY()rteihE定态波函数对应于一个可能态，则定态薛定谔方程22编辑ppt其概率密度P(),trY(),trY(),tr*2Y(),trY()rteihEY()retihEY()r2与时间无关所描述的状态。它的重要特点是：所谓“定态”，就是波函数具有形式Y()rteihEY(),tr定态波函数Y()rteihEY(),tr中的称为振幅函数Y()r（有时直称为波函数）。Y()rY()r的函数形式也应满足统计的条件连续、单值、有限的标准条件；归一化条件；对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。HYEY若已知势能函数，应用定态薛定谔方程()rU可求解出，并得到定态波函数Y()rY()rteihEY(),tr续上23编辑ppt态跌加原理四、态叠加原理

为薛定谔方程的两个解，分别代表体系的两个可能状态。Y12Y设Y为它们的线性叠加即Y+1CY12C2Y1C2C为复常数将上式两边对时间ih求偏导数并乘以eetihYih1CeetY1+2C2Yeet因Y12Y都满足薛定谔方程iheetY1HY1i2YeethH2Y即1CHY1+2CHY2(H1CY1+2CY2(HY这表明：体系两个可能状态的叠加仍为体系的一个可能态。称为态叠加原理24编辑ppt一维无限深势阱五、一维无限深势阱粒子在某力场中运动，若力场的势函数U具有下述形式该势能函数称作一维无限深势阱。0U()x8L(x0)L(x0,x)0LX88U()x应用定态薛定谔方程可求出运动粒微观系统中，有关概率密度、能量这是一个理想化的物理模型，子的波函数，有助于进一步理解在量子化等概念。25编辑ppt续上求解2mh22x2Y()xddEY()x阱内U()x0阱外U()x8Y()x只有0因Y()xY()xddx及要连续、有限，薛定谔方程才成立，在阱外故粒子在无限深势阱外出现的概率为零。m设质量为的微观粒子，处在一维无限深势阱中，该势阱的势能函数为0U()x8L(x0)L(x0,x)阱外阱内建立定态薛定谔方程HYEY一维问题H+U()x2mh22eex2+U()xY()x2mh22x2Y()xddEY()x0LUX88()x26编辑ppt续上求解求定态薛定谔方程的通解阱内2mh22x2Y()xddEY()x即02x2Y()xdd+Y()xE2mh2令2kE2mh2得2x2Y()xdd+2k0Y()x此微分方程的通解为+Y()xAexkiBxkie其三角函数表达形式为()Y()xsindAxk+A式中和为待定常数d根据标准条件确定常数d和k,并求能量的可能取值EAsinkL0以及x0在边界和xL处Y()xA0又因d0,得Y()0Asind0()Y()LAsinkL+d0的取值应与阱外连续，Y()x0边界处的Y()x故得及kLpn,()n0+1,2+,n0时阱内不合理舍去,Y()x0n的负值和正值概率密度相同。同一取kpnL()n1,2,得Epnh222L22m()n1,2,n27编辑ppt续求解求归一化定态波函数()Y()xsindAxk+由上述结果L(x0,x)阱外Y()x0阱内L(x0)及kpnL()n1,2,d0,得AsinxpnLY()xn()n1,2,Y()xn应满足归一化条件88Y()xnx2d2xdA0LsinxpnL21得积分2dA0LsinxpnL2pnLxpnL()xpnL()2ApnL12241sin2xpnL()0L22AL1A2L归一化定态波函数Y()xn0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)概率密度PY()xnn()x20L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)228编辑ppt势阱问题小结能量量子化极不明显，可视为经典连续。间距太小在微观粒子可能取Esn()2+n1ph22L22m如，电子m9.1×10–31kg处在宽度10-10m(原子线度)的势阱中L算得Esn()2+n1×37.7eV能量量子化明显处在宽度10–2m(宏观尺度)的势阱中L算得Esn()2+n1×37.7×10

-15eV能量量子化是微观世界的固有现象从能级绝对间隔看，从能级相对间隔sEnEn()2+n1n2看，则n8sEnEn()0的各种能态中，随着值增大，逐渐向经典过渡。n一维无限深势阱中的微观粒子（小结）()n1,2,n2ph22L22mEn能量量子化Enph22L22mE1称基态能或零点能相邻能级的能量间隔EsnEn+1En()2+n1ph22L22mEnn1E1n24E1E19n3波函数Y()xn0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)0LX1Y()x3Y()x0LXn3Y20LX()xn2n1Y()xn,tY()xnteihEn好比驻波Enwnh0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)2概率密度Pn()xY()xn20LX1()xn120LX()xn2PP30LXPn3()xPn()x0的称节点位置Pn()x极大的称最概然位置xxn增大,节点数增多,最概然位置间隔变小。很大，概率n密度趋近经典均匀分布。29编辑ppt势垒一、势垒()xU0a0UX()xU0U0a))x0,x))x0a粒子在某力场中运动，若力场的势函数U具有下述形式该势能函数称作一维矩形势垒。按经典力学观点，在量子力学中，能量的粒子E0U不可能穿越势垒。后才能下结论。应求解定态薛定谔方程隧道效应隧道效应23-3ssss30编辑ppt隧道效应二、势垒贯穿隧道效应E2mh22k102x2Ydd+Y2k102x2Ydd+Y2k2E2mh22k0U()2))x0aa))x0,x区YB2+xAekixkieA12+xekixkie1+xekixkie1CBCIIIIII(((区区(((,式中得上述微分方程的解为1()xU0a0UXIIIIII设：一矩形势垒的()xU0U0a))x0,x))x0a势能函数在势函数定义的全部空间粒子的波函数都应满足薛定谔方程HYEYHU+2mh22x2dd()x,一质量为、能量为E0Um的粒子由区向势垒运动I31编辑ppt续上YB+xAekiA2xkie1+xeki1+xeki1xkieC2xkieBC区IIIIII((((((区区1入射波()xUX0aIIIIII+反射波透射波CIII区无反射，0Y入入射波反Y反射波透Y透射波根据边界条件和处x0axY和xdYd必须连续，可求方程中各系数的关系。透射粒子数入射粒子数透射系数D透YY入22AC22为描述粒子透过势垒的概率引入e2a2kD8h2mE0U()k2为原设a为势垒宽度估算表明,,可见，粒子能穿过比其能量更高的势垒，这种现象称为势垒贯穿亦称隧道效应。这是微观粒子波动性的表现。隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、超导器件、物质表面探测等现代科技领域中有着重要的应用。32编辑ppt扫描隧道显微镜三、扫描隧道显微镜（STM）两金属的平均逸出电势垒高度210U120U+()0Ud0U120U金属1金属2逸出电势垒高金属1逸出电势垒高金属2金属中的电子由于隧道效应有可能穿越比其能量更高的表面势垒（逸出电势垒）而逸出金属表面，在金属外表面附近形成电子云，电子云的分布形式与金属晶体的结构和表面性质有关。若两块金属表面相距很近，至使表面的电子云发生相互重叠，此时若在两金属间加一微弱电压（操作电压），则会有微弱的电流（隧道电流）从一金属流向另一金属，并可表示为dVTIT实验表明，只要改变0.1nm(原子直径线度），就会引起变化一千倍左右。扫描隧道显微镜利用隧道效应中的这种灵敏特性，将一金属做成极细的探针（针尖细到一个原子大小），在另一金属样品表面附近扫描，它能够以原子级的空间分辨率去观察物质表面的原子结构。dITIT8VTed0UAd0U若势垒宽度和势垒平均高度分别以nm和eV为单位时，约为1。A33编辑ppt续上测试样品测试样品扫描探针扫描探针电子云dITVTSi(111)表面7×7元胞的STM图像亮点表示突起，暗部表示下凹IT8VTed0UA电子测控及数据处理系统计算机显示系统XYz横向()XY分辨率达0.1nmz纵向()分辨率达0.005nm真空或介质沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反馈信号调节针尖到样品表层原子点阵的距离，IT使保持不变。针尖的空间坐标的变化反映了样品表面原子阵列的几何结构及起伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。STM可用于金属、半导体、绝缘体和有机物表面的研究。是材料科学、生命科学和纳米科学与技术的有力武器。AtomicResolutionSTMonSi(111)34编辑ppt不确定关系海森伯因创立用矩阵数学描述微观粒子运动规律的矩阵力学，获1932年诺贝尔物理奖rxprx（注：不确定关系又称测不准关系，在上述表达式中的和都具有统计含义，分别代表有关位置和动量的方均根偏差。）位置和动量的不确定关系rxprx2h称为海森伯位置和动量的不确定关系，它说明，同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。微观粒子不能同时具有确定的位置和动量，位置的不确定量rx该方向动量的不确定量prx同一时刻的关系1927年，德国物理学家海森伯提出WernerHeisenberg(1901~1976)海森伯不确定关系不确定关系23-4ssss35编辑ppt续上电子束j缝宽X衍射图样rxprxp电子通过单缝时发生衍射，概略地用一级衍射角所对应的动量变化分量粗估其动量的不确定程度prxrx得rxprxphp即rxprxh考虑到高于一级仍会有电子出现取rxprxh从电子的单缝衍射现象不难理解位置和动量的不确定关系j衍射图样prxp单缝衍射一级暗纹条件ljsinrx德布罗意波长lhpprxsinjprx缝宽可用来粗估电子通过单缝时其位置x的不确定程度。根据右图可粗估为了减小位置测量的不确定程度，可以减小缝宽，但与此同时，被测电子的动量的不确定量却变大了。rxprxrxprx与的关系。同时为零，即微观粒子的位置和动量不可能同时精确测定，这是微观粒子具有波粒二象性的一种客观反映。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限，如果在某一具体问题中，普朗克常数可以看成是一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，可用经典力学处理。rxprxh通常也作为不确定关系的一种简明的表达形式，它表明rxprx和不可能36编辑ppt例题一质量速度速度不确定量某飞行中的子弹m=0.01kgv

=500m/s△v