四川省广安市贤明中学高三数学理期末试题含解析

四川省广安市贤明中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.关于x的方程ax=﹣x2+2x+a（a＞0，且a≠1）的解的个数是（）A．1 B．2 C．0 D．视a的值而定参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】分a＞1和0＜a＜1两种情况画出函数y=ax，y=﹣（x﹣1）2+1+a的图象，再根据其单调性即可得出结论．【解答】解：①当a＞1时，画出f（x）=ax，g（x）=﹣（x﹣1）2+1+a图象，当x=1时，f（1）=a＜1+a=g（1），故其图象有两个交点，即关于x的方程ax=﹣x2+2x+a（a＞1）的解的个数是2．②当0＜a＜1时，画出f（x）=ax，g（x）=﹣（x﹣1）2+1+a图象，当x=1时，f（1）=a＜1+a=g（1），故其图象有两个交点，即关于x的方程ax=﹣x2+2x+a（1＞a＞0）的解的个数是2．故选B．2.若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（） A． B． C．(1,+∞)

D．

参考答案：A略3.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点且，则下列结论中错误的是A.

B.三棱锥的体积为定值C.

D.异面直线所成的角为定值参考答案：D4.已知命题：抛物线的准线方程为；命题：平面内两条直线的斜率相等是两条直线平行的充分不必要条件；则下列命题是真命题的是A、

B、

C、

D、参考答案：C略5.我国古代名著《庄子?天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完。现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是A.

B.

C.D.参考答案：D6.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是

()参考答案：A7.（2009福建卷理）阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是

A．2

B.4 C.8

D.16

参考答案：C解析由算法程序图可知，在n=4前均执行”否”命令，故n=2×4=8.故选C8.已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是（

）A．B．

C．

D．参考答案：D略9.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．10.已知R是实数集，M==（）A．（﹣1，2） B．[一l，2] C．（0，2） D．[0，2]参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先通过解不等式及函数的值域求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∵＜1，∴﹣1＜0，∴＞0，∴x（x﹣2）＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∴?RM=[0，2]，∵y=x2﹣1≥﹣1，∴N=[﹣1，+∞），∴?RM∩N=[0，2]，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数是定义在R上的奇函数，且对任意都有，当时，，则＝

.参考答案：略12.曲线在点（1,－1）处的切线方程是

．参考答案：x－y－2=013.在△ABC中,D是边BC上的一点,,,则AB=

．参考答案：在中,由,，得,,过点作,交的延长线于点,如下图,则，，，，在中,用正弦定理得，则.14.的展开式中的第3项含有，则的值为

．参考答案：1015.在的展开式中，含项的系数是

。参考答案：16.集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x2＜1}，则A∪B等于．参考答案：（﹣1，2）【考点】并集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∪B即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}=（0，2）；B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）；所以A∪B=（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．17.已知函数满足对任意的都有成立，则＝

。参考答案：7三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设，，，求证：．参考答案：证明：因为所以19.椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点.当m＝0时，(1)求C的方程；(2)求证：为定值.参考答案：略20.（本小题满分12分）

已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.参考答案：1)由已知可设椭圆的方程为

其离心率为,故,则

故椭圆的方程为

(2)解法一

两点的坐标分别记为

由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,因此可以设直线的方程为

将代入中,得,所以

将代入中,则,所以由,得,即解得,故直线的方程为或

解法二

两点的坐标分别记为

由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,因此可以设直线的方程为

将代入中,得,所以

由,得,

将代入中,得,即

解得,故直线的方程为或.略21.在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，且M，N分别为AB，BC上的点，沿线段MD，DN，NM分别将△AMD，△CDN，△BNM折起，A，B，C三点恰好重合于一点P．（1）证明：平面PMD⊥平面PND；（2）若cos∠DPN=，PD=5，求直线PD与平面DMN所成角的正弦值．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）运用折叠的性质和线面垂直的判定，可得PM⊥平面PND，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）设点P到平面DMN的距离为h，运用三角形的面积公式和梯形的面积公式，再由V三棱锥P﹣MND=V三棱锥M﹣PND，运用三棱锥的体积公式，计算即可得到h，进而得到所求线面角的正弦值．【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，PM⊥PD，PM⊥PN，且PD∩PN=P，∴PM⊥平面PND，又∵PM?平面PMD，∴平面PMD⊥平面PND；（2）解：∵，∴在梯形ABCD中，有，过点D作DD'⊥BC，垂足为D'，则DD'=AB=5sin∠DCN=4，D'C=5sin∠DCN=3，由题可知，，则S△PDN=S△DNC=×4×4=8，S△MND=S梯形ABCD﹣S△AMD﹣S△BMN﹣S△DNC=×（5+8）×4﹣×5×2﹣×2×4﹣8=9，设点P到平面DMN的距离为h，V三棱锥P﹣MND=V三棱锥M﹣PND，即，解得，即点P到平面DMN的距离为，设直线PD与平面DMN所成角为θ，则其正弦值．22.(本题满分12分）已知，其中是自然常数，．（1）讨论时,的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数，使的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

参考答案：（1），

1分∴当时，，

当时，，

3分

在（0,1）单调递减；在（1，e）单调递增.∴的极小值为；

4分

（2）的极小值为1，即在上的最小值为、∴，

令，，当时，，

在上

单调递增，

6分

∴,

7分在(1)的条件下，；

8分

（3）假设存在实数，使有最小值，