广东省东莞市篁村中学高三数学文测试题含解析

广东省东莞市篁村中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合,，则

A．

B．

C.

D．参考答案：D2.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是

（

）A．若，则

B．若，则C．若，则

D．若，则参考答案：A3.已知集合，若，则实数的取值范围是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C4.已知球O的内接圆柱的体积是2π，底面半径为1，则球O的表面积为（）A．6π B．8π C．10π D．12π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】圆柱的底面半径为1，根据球O的内接圆柱的体积是2π，所以高为2，则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径，确定球的半径，进而可得球的表面积．【解答】解：由题意得，圆柱底面直径为2，球的半径为R，由于球O的内接圆柱的体积是2π，所以高为2，则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径，即2=2R，∴R=，∴球的表面积=4πR2=8π，故选：B．【点评】本题考查球内接多面体与球的表面积的计算，正确运用公式是关键，属于基础题．5.若函数f（x）=x3﹣x2+x+1在x=1处的切线的倾斜角为α，则的值是(

) A． B． C．﹣ D．参考答案：D考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；三角函数的化简求值．专题：导数的综合应用．分析：通过函数的导数求出切线的斜率，求出切线的倾斜角的正切值，然后化简表达式为正切函数的形式即可求解结果．解答： 解：f（x）=x3﹣x2+x+1，∴函数f′（x）=x2﹣x+．∵f（x）=x3﹣x2+x+1在x=1处的切线的倾斜角为α，∴tanα=．∴===．故选：D．点评：本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查二倍角的三角函数的化简求值，学生的计算能力，属于基础题．6.已知复数，则复数（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略7.已知函数，则关于a的不等式的解集是（

）A． B．(－3,2) C．(1,2) D．参考答案：A因为函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，又在上为增函数，则可化为，则，解得．8.函数与函数的图像关于直线对称，则函数与二次函数在同一坐标系内的图像可能是（

）A

B

C

D参考答案：A9.已知集合，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A10.设函数f（x）＝（a>0，且a≠1），[m]表示不超过实数m的最大整数，则实数[f（x）－]＋[f（－x）－]的值域是

（A）[－1，1]

（B）[0，1]

（C）{－1，0}

（D）{－1，1}

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为

．参考答案：π【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．12.已知点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，则alnb的最大值为．参考答案：e【考点】对数的运算性质；基本不等式．【分析】点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，可得，两边取对数可得lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=alnb，可得lnt=lna?lnb，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，∴，可得lnb=2﹣lna，即lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=alnb，∴lnt=lna?lnb≤=1，当且仅当lna=lnb=1，即a=b=e时取等号．∴t≤e．故答案为：e．13.若函数=，则不等式的解集为

．参考答案：略14.已知数列{an}满足，，则当时，an=．参考答案：解：数列满足，

，，则，，，，由此可得当时，．故答案为：．15.曲线在点（1，1）处的切线方程为.参考答案：，故切线方程的斜率又，故曲线在点处的切线方程为整理得即答案为16.不论m取任何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标是

．参考答案：17.抛掷两枚均匀的正方体骰子，则事件“其向上的点数刚好相差1”的概率为．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计．【分析】求出所有的基本事件，列举出所有符合条件的基本事件，代入古典概型的概率公式计算．【解答】解：抛掷两枚均匀的正方体骰子，共有6×6=36个基本事件，其中，向上导数刚好相差1共有10个基本事件，分别是（1，2），（2，1）（2，3），（3，2）（3，4），（4，3），（4，5），（5，4），（5，6），（6，5）．∴P==．故答案为．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数.（1）当时，函数有两个极值点，求a的取值范围；（2）若在点处的切线与x轴平行，且函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a的取值范围.参考答案：（1）；（2）分析：（1）求得导函数，题意说明有两个零点，即有两个解，或直线与函数的有两个交点，可用导数研究的性质（单调性，极值等），再结合图象可得的范围；（2）首先题意说明，从而有且，其次时，恒成立，因此的最小值大于0，这可由导数来研究，从而得出的范围．详解：（1)）当时，，，所以有两个极值点就是方程有两个解，即与的图像的交点有两个.∵，当时，，单调递增；当时，，单调递减.有极大值又因为时，；当时，.当时与的图像的交点有0个；当或时与的图像的交点有1个；当时与图象的交点有2个；综上.（2）函数在点处的切线与轴平行，所以且，因为，所以且；在时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当时，恒成立，即，令，∴设，，因为，所以，∴，∴在单调递增，即在单调递增，

∴，当且时，，所以在单调递增；∴成立

当，因为在单调递增，所以，，所以存在有；当时，，单调递减，所以有，不恒成立；所以实数的取值范围为.点睛：本题考查函数的单调性、极值、零点、函数与方程、不等式等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，考查数形结合、分类与整合、转化与化归等数学思想．解题时转化的方法有多种多样，第（1）小题人等价转化还可这样转化求解：当时，，，令，①时，，∴在单调递增，不符合题意；②时，令，，∴在单调递增；令，，∴在单调递减；令，∴又因为，，且，所以时，有两个极值点.即与的图像的交点有两个.19.（本小题满分12分)已知函数．（1）求的值；（2）求函数在的最大值．参考答案：20.已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程;(2)求的单调区间.参考答案：(1)因为，，所以切线方程为即（2）当时，所以在区间上，在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，可得.所以，在区间和上，在区间上故的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，，故故的单调递增区间是当时，由得所以在区间和上，在区间上故的单调递增区间是和，单调递减区间是.21.如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=PA=BC=2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．（Ⅰ）求证：MN∥BC；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）DE为△ABC的中位线，从而得到DE∥BC，然后根据线面平行的判定定理及性质定理即可得到DE∥MN，从而BC∥MN，即MN∥BC；（Ⅱ）过B作BZ∥PA，容易说明BC，BA，BZ三条直线互相垂直，从而以B为原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，这样即可求得的坐标．从而可求出平面PBC的一个法向量坐标，设直线AC与平面PBC所成角为α，根据sinα=即可求出α；（Ⅲ）根据图形设M（0，y，z），由M点在棱BP上，便可得到，从而表示M为M（0，2λ，2λ），根据直线EM与直线AP所成角的余弦值，设直线EM与直线AP所成角为θ，从而通过cosθ=即可求出λ，从而求出M点坐标，由两点间距离公式即可求出MC．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点；∴DE∥BC，BC?平面PBC，DE?平面PBC；∴DE∥平面PBC，平面DENM∩平面PBC=MN；∴DE∥MN；∴MN∥BC；（Ⅱ）如图，在平面PAB内作BZ∥PA，则根据：PA⊥底面ABC，及AB⊥BC即知，BC，BA，BZ两两垂直；∴以B为坐标原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；∴，；设平面PBC的法向量为；则由得：，令z1=1，得x1=0，y1=﹣1；∴；设直线AC和平面PBC所成角为α，则：sinα==；又；∴；即直线AC和平面PBC所成角为；（Ⅲ）设M（0，y，z），M在棱PB上，则：；∴（0，y，z）=λ（0，2，2）；∴M（0，2λ，2λ），E（1，1，0）；∴；因为直线EM与直线AP所成角的余弦值；设直线EM和直线AP所成角为θ；所以cosθ=；∴8λ2﹣18λ+9=0；解得，或（舍去）；∴M（0，）；∴．22.（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数．（1）当时，求函数的最小值；（2）当函数