广东省深圳市竹子林中学高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省深圳市竹子林中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若变量x，y满足则z=3x+2y的最大值是（）A．90 B．80 C．70 D．40参考答案：C【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步求出目标函数z=3x+2y的最大值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图示：由图可知，当x=10，y=20时，z=3x+2y有最大值70故选C．2.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】渐近线方程y=x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，由此能求出此直线的斜率的取值范围．【解答】解：渐近线方程y=x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点（因为双曲线正在与渐近线无限接近中），那么在斜率是[]两条直线之间的所有直线中，都与双曲线右支只有一个交点．此直线的斜率的取值范围[]．故选：A．3.函数的单调递减区问为

A.

B.

C.

D.参考答案：B4.若双曲线的中心在坐标原点，顶点在椭圆上，且与抛物线有相同的焦点,则其渐近线方程为A.

B.C.

D.参考答案：B∵双曲线的中心在坐标原点，顶点在椭圆上，且与抛物线有相同的焦点∴双曲线的顶点在轴上，且半焦距，顶点坐标为∴双曲线的半实轴长为，则双曲线的半虚轴长为∴其渐近线方程为故选B

5.如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图像大致是参考答案：B略6.已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2 C． D．参考答案：C【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】转化思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，|AC|+|AF|=2a，由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，由C（0，4），F（，0），可得A（，2），代入抛物线的方程可得，4=2p?，解得p=2，即有a=+=，A（，2），可得C到直线OA：y=2x的距离为d==，可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=．故选：C．【点评】本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．7.等差数列{an}中，已知S15=90，那么a8=（） A．12 B．4 C．3 D．6参考答案：D【考点】等差数列的性质． 【分析】由题意可得：S15=（a1+a15）=90，由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，代入可得答案． 【解答】解：因为数列{an}是等差数列， 所以，a1+a15=2a8， 则S15=（a1+a15）=15a8， 又S15=90，所以，15a8=90，则a8=6． 故选：D． 【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题． 8.已知数列是等比数列，且，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.若正数a，b满足，的最小值为（）A．1 B．6 C．9 D．16参考答案：B【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】正数a，b满足，可得a＞1，且b＞1；即a﹣1＞0，且b﹣1＞0；由变形为a﹣1=；化为+9（a﹣1）应用基本不等式可求最小值．【解答】解：∵正数a，b满足，∴a＞1，且b＞1；变形为=1，∴ab=a+b，∴ab﹣a﹣b=0，∴（a﹣1）（b﹣1）=1，∴a﹣1=；∴a﹣1＞0，∴=+9（a﹣1）≥2=6，当且仅当=9（a﹣1），即a=1±时取“=”（由于a＞1，故取a=），∴的最小值为6；故选：B．10.设i为虚数单位，若复数z满足z=，则z=（

）A．1+i

B．1－i

C．－1+i

D．－1－i参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列{an}的前项和为Sn，且，用[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣0.1]=﹣1，[1.6]=1，设bn=[an]，则数列{bn}的前2n项和b1+b2+b3+b4+…+b2n﹣1+b2n=．参考答案：﹣n﹣【考点】8E：数列的求和．【分析】运用数列的递推关系，n≥2时将n换为n﹣1，相减可得数列{an}的通项公式，再由取整函数的定义，运用不完全归纳法，即可得到所求和．【解答】解：由，①可得a2﹣S1=，a2=a1+=，将n换为n﹣1，可得an﹣Sn﹣1=，n≥2②由an=Sn﹣Sn﹣1，①﹣②可得，an+1=2an，则an=a22n﹣2=?2n﹣2=?2n，上式对n=1也成立．则an=?2n，bn=[an]=[?2n]，当n=1时，b1+b2=0+1=1=﹣1﹣；当n=2时，b1+b2+b3+b4=0+1+2+5=8=﹣2﹣；当n=3时，b1+b2+b3+b4+b5+b6=0+1+2+5+10+21=39=﹣3﹣；当n=4时，b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8=0+1+2+5+10+21+42+85=166=﹣4﹣；…则数列{bn}的前2n项和为b1+b2+b3+b4+…+b2n﹣1+b2n=﹣n﹣．另解：设T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n﹣1+b2n，由T2n﹣T2n﹣2=22n﹣1﹣1，累加可得数列{bn}的前2n项和为﹣n=﹣n﹣．故答案为：﹣n﹣．12.已知x，y∈R+，x+y=1，则的最小值为__________．参考答案：3考点：基本不等式．专题：转化思想；不等式的解法及应用．分析：首先，将所给的条件代入，转化为基本不等式的结构形式，然后，利用基本不等式进行求解．解答：解：∵x，y∈R+，x+y=1，∴+=+=++1≥2+1=3，故答案为：3．点评：本题重点考查了基本不等式问题，考查等价转化思想的灵活运用，属于中档题．13.已知正方形的中心为且其边长为1，则

．参考答案：114.函数的图像在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，若的值是

。参考答案：21略15.已知函数在一个周期内的图象如图所示，则它的解析式为_

_。参考答案：略16.在等腰△ABC中，D是腰AC的中点，若，则__________．参考答案：【分析】设,可得，，由，可得的值，可得答案.【详解】解：如图设，由题意易得得：，在中，由正弦定理，在中有，两式相除可得，可得,有，可得，可得，可得可得，由，可得，故答案：.【点睛】本题主要考察解三角形中的正弦定理，及两角和的余弦公式等，综合性大，难度较大.17.函数单调增区间为

．参考答案：（﹣∞，﹣2）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：先求原函数的定义域，再将原函数分解成两个简单函数y=、g（x）=x2﹣4，因为y=单调递减，求原函数的单调递增区间，即求g（x）=x2﹣4的减区间（根据同增异减的性质），再结合定义域即可得到答案．解答： 解：∵，∴要使得函数有意义，则x2﹣4＞0，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得，x＜﹣2或x＞2，∴的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），要求函数的单调递增区间，即求g（x）=x2﹣4的单调递减区间，g（x）=x2﹣4，开口向上，对称轴为x=0，∴g（x）=x2﹣4的单调递减区间是（﹣∞，0），又∵的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∴函数，的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．点评：本题主要考查复合函数单调性的问题、函数单调性的应用、一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，求复合函数单调性时注意同增异减的性质即可，求单调区间特别要注意先求出定义域，单调区间是定义域的子集．属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（选修4—4参数方程与极坐标）已知曲线，直线．⑴将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵设点在曲线上，求点到直线距离的最小值．参考答案：解：⑴

------4分⑵设，∴（其中，

当时，，

∴点到直线的距离的最小值为。

------10分略19.（本题满分14分）已知数列、

满足，，。（I）求证数列为等差数列，并写出数列的通项公式；（II）若数列的前项和为，设，求证：。参考答案：（本题满分14分）解：（I）由得

代入，

得，整理得。∵，否则，与

矛盾。从而得，∵

∴数列

是首项为1，公差为1的等差数列。∴，即．---------------------------------7分（II）∵，∴＝＝。证法1：∵

＝

＝∴．------------------------------------------14分证法2：∵，∴，∴。∴．--------------------------------------14分略20.(本小题满分13分)已知函数．（I）当时，求函数的极大值和极小值；（II）当时，试比较与的大小；（III）求证：（）参考答案：解：（1）当时，，定义域是，，令，得或．

…2分当或时，，当时，，

函数在、上单调递增，在上单调递减．

……………4分

所以的极大值是，极小值是．………………5分

（2）当时，，定义域为．

令，

，

在上是增函数．

…………………7分①当时，，即；②当时，，即；③当时，，即．

…………………9分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，，…………11分

以上各式相加，得

……………13分

(法二)当时，．，，即时命题成立．

………………10分设当时，命题成立，即．

时，．根据（2）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．……………12分因此，由数学归纳法可知不等式成立．

………………13分21.坐标系与参数方程 在极坐标系下，已知圆 （I）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系援求圆O和直线l的直角坐标方程； （II）当时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标。参考答案：解：（Ⅰ）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，所以圆O的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．直线，即ρsinθ﹣ρcosθ=，也就是ρsinθ﹣ρcosθ=1．则直线l的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0．-----------------------（5分）（Ⅱ）由，得．故直线l与圆O公共点为（0，1），该点的一个极坐标为．---------------（10分）略22.兰州一中在世界读书日期间开展了“书香校园”系列读书教育活动。为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”。

非读书迷读书迷合计男

15

女

45

（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“读书迷”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、数学期望和方差．附：0.1000.0500.0250.0100.001-k02.7063.8415.0246.63510.