辽宁省大连市第一〇八高级中学高三数学文联考试题含解析

辽宁省大连市第一〇八高级中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．解答： 解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），，y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣=，AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．故选A．点评：本题考查直线和圆锥曲线的经综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2.函数的定义域是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.若复数满足，则z为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.下列对应关系：①：的平方根②：的倒数③：④：中的数平方其中是到的映射的是（

）A．①③

B．②④

C．③④

D．②③参考答案：D略5.中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”如图1，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数学九章》中对此类问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，如图2程序框图的算法思路源于“大衍求一术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为20，17，则输出的c=（）A．1 B．6 C．7 D．11参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序运行过程，即可得出程序运行后输出的c值．【解答】解：模拟执行程序运行过程，如下；a=20，b=17，r=3，c=1，m=0，n=1，满足r≠1；a=17，b=3，r=2，q=5，m=1，n=1，c=6，满足r≠1；a=3，b=2，r=1，q=1，m=1，n=6，c=7，满足r=1；输出c=7．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6.（5分）在△ABC中，B（﹣2，0），C（2，0），A（x，y），若△ABC满足条件分别为①周长为10；②∠A=90°；③kABkAC=1．则A的轨迹方程分别是a：x2+y2=4（y≠0）；；c：x2﹣y2=4（y≠0），则正确的配对关系是（）A．①a②b③cB．①b②a③cC．①c②a③bD．①b②c③a参考答案：B△ABC中，∵B（﹣2，0），C（2，0），A（x，y），∴BC=4，=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），kAB=，kAC=，①△ABC的周长为10，即AB+AC+BC=10，而BC=4，所以AB+AC=6＞BC，故动点A的轨迹为椭圆，与b对应；②∠A=90°，故?=（﹣2﹣x，﹣y）（2﹣x，﹣y）=x2+y2﹣4=0，与a对应；③kABkAC=1，故．即x2﹣y2=4，与c对应．故选B．7.点P为双曲线的右支上一点，M，N分别是圆和圆上的点，则的最大值为（

）A．8

B．9

C.10

D．7参考答案：B在双曲线中，为双曲线的右支上一点，所以分别是圆和上的点，则则所以最大值为9.

8.执行如图所示的程序框图输出的结果是（

）A.6 B.7 C.8 D.5参考答案：C【分析】此程序框图是循环结构图，模拟程序逐层判断，得出结果.【详解】解：模拟程序：的初始值分别为1,1，第1次循环：，满足，故；第2次循环：，满足，故；第3次循环：，满足，故；第4次循环：，不满足，故输出；故输出，故选C.

9.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f（x）（当A、O、P三点共线时，记面积为0），则函数f（x）的图象大致为（）A． B．C． D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】由三角形的面积公式，结合图象可知需分类讨论求面积，从而利用数形结合的思想方法求得．【解答】解：由三角形的面积公式知，当0≤x≤a时，f（x）=?x??a=ax，故在[0，a]上的图象为线段，故排除B；当a＜x≤a时，f（x）=?（a﹣x）??a=a（a﹣x），故在（a，a]上的图象为线段，故排除C，D；故选A．10.函数

的图像大致为下图的（

）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在ΔABC中，且AH=1，G为4BC的重心，则=____参考答案：略12.的值为

。参考答案：213.在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若，则________；若，则的最小值为________.参考答案：；

8.【分析】结合已知，直接运用余弦定理，可以求出的大小.根据三角形内角和定理、两角和的正弦公式，可将，化为，最后可化成为，根据，可得，利用基本不等式可以求出的最小值.【详解】由余弦定理可知：，而，所以有.所以有，因为，所以，，，，解得或（舍去），即的最小值为8，当且仅当，即，或,此时角，，为锐角，所以的最小值为8..【点睛】本题考查了余弦定理、综合考查了三角恒等变换，考查了基本不等式的应用、公式的变形能力.

14.设数列{}的前n项和

，则

参考答案：15。。15.函数的定义域是

▲

。参考答案：16.已知数列{an}，其前n项和为Sn，给出下列命题：①若{an}是等差数列，则(10，)，(100，)，(110，)三点共线；②若{an}是等差数列，则Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m(m∈N*)；③若a1=1，Sn+1=Sn+2则数列{an}是等比数列；④若=anan+2，则数列{an}是等比数列．其中证明题的序号是

．参考答案：①②【考点】等差关系的确定；等比关系的确定．【分析】①根据等差数列的前n项和公式和和一次函数的性质进行判断；②若{an}是等差数列，利用等差数列前n项和公式，求出Sm、S2m﹣Sm、S3m﹣S2m（m∈N*）即可判断是否是等差数列；③首先，根据所给关系式，得到a2=，a3=，从而很容易判断该数列不是等比数列．④根据等比数列的性质和递推公式进行判断．【解答】解：①∵等差数列{an}前n项和为Sn=na1+，∴=（a1﹣）+n，∴数列{}关于n的一次函数（d≠0）或常函数（d=0），故三点共线，正确；②设等比数列{an}的公差为d，A=Sm，B=S2m﹣Sm，C=S3m﹣S2m则B=S2m﹣Sm=am+1+am+2+…+a2m，C=S3m﹣S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m，则B﹣A=am+1+am+2+…+a2m﹣（a1+a2+…+am）=m2d，C﹣B=a2m+1+a2m+2+…+a3m﹣（am+1+am+2+…+a2m）=m2d，则B﹣A=C﹣B，即A，B，C成等差数列，即成等比数列，正确；③∵Sn+1=Sn+2，a1=1，∴a1+a2=a1+2，解得a2=，∴a1+a2+a3=（a1+a2）+2，即1++a3=（1+）+2，解得a3=，∴≠，∴数列{an}不是等比数列，错误；④当an=0时，成立，但是数列{an}不是等比数列，错误；故答案是：①②．【点评】本题考查等差数列、等比数列的基本性质，通过对数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．17.某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件.制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异.现有甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费情况如下表：

奖品

收费(元／件)工厂一等奖奖品

二等奖奖品甲500

400乙800

600则组委会定做该工艺品的费用总和最低为

元.参考答案：试题分析：设在甲厂做一等奖奖品件，二等奖奖品件，则,组委会定做该工艺品的费用总和为，可行域为一个直角梯形内整数点（包含边界）,其中当直线过点时费用总和取最小值：考点：线性规划求最值三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知向量，记函数.求：（I）函数的最小值及取得小值时的集合；（II）函数的单调递增区间.参考答案：解：（Ⅰ）

…………3分

=，

…………5分

当且仅当,即时，，此时的集合是.

……………8分（Ⅱ）由，所以,

所以函数的单调递增区间为.

……………

12分

略19.(本题满分14分)如图所示,已知椭圆的两个焦点分别为、,且到直线的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若圆的圆心为(),且经过、,是椭圆上的动点且在圆外,过作圆的切线,切点为,当的最大值为时,求的值.参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ).试题分析：(Ⅰ)求椭圆的标准方程，“先定位后定量”，由题知焦点在轴，且，由点到直线的距离求，再由求，进而写出椭圆的标准方程；(Ⅱ)圆的圆心为，半径为，连接，则，设点，在中，利用勾股定理并结合，表示，其中，转化为自变量为的二次函数的最值问题处理.20.（本题满分12分）近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2．5就是其中一个指标。PM2．5指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．

淮北相山区2014年12月1日至I0日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示．（1）期间的某天小刘来此地旅游，求当天PM2．5日均监测数据未超标的概率；（2）陶先生在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2．5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；（3）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列及期望．参考答案：(1)记“恰好赶上PM2.5日均监测数据未超标”为事件A

………………3分(2)记“他这两次此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”

为事件B，………………7分(3)的可能值为0,1,2,3

………………10分

其分布列为：0123P

………………12分21.已知数列{an}满足：a1=2，an+1=an2﹣kan+k，（k∈R），a1，a2，a3分别是公差不为零的等差数列{bn}的前三项．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求证：对任意的n∈N*，bn，b2n，b4n不可能成等比数列．参考答案：考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过a1=2可得a2、a3．利用2a2=a1+a3，即得结论．（Ⅱ）用反证法证明即可．解答： （Ⅰ）解：∵a1=2，∴a2=4﹣k，a3=2k2﹣11k+16．又∵2a2=a1+a3，∴2k2﹣9k+10=0，解得k=2或．又∵{bn}的公差不为零，∴k=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，bn=．假如bn，b2n，