湖南省郴州市小垣瑶族学校高三数学文摸底试卷含解析

湖南省郴州市小垣瑶族学校高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

（）展开式中的系数为10，则实数a等于（

）A．-1

B．

C．

1

D．2参考答案：D2.已知α为第四象限的角，且=(

)

A．

B．

C．一

D．参考答案：A3.在空间中，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（

）A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则参考答案：D若，则位置关系不定；若，则位置关系不定；若，则或若，则，选D.4.若集合，，则等于

（

）A．{1,2,3}

B．{4,5,6}

C．{5,6,7}

D．{3,4,5,6}参考答案：B5.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．

B．+1 C．D．﹣1参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴=，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故选B．6.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如右图）。由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为

(

)

A．20 B．25C．30 D．35参考答案：C略7.在区间[0,2]上任取两个实数，，则函数在区间[－1,1]上有且只有一个零点的概率是（

）A． B． C． D．参考答案：D8.设的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A9.已知为等差数列，则的最大值为

（

）A．

B．

C．1

D．0参考答案：答案：C10.已知函数,g(x)是f(x)的导函数,则下列结论中错误的是（）A.函数f(x)的值域与g(x)的值域相同B.若是函数f(x)的极值点,则是函数g(x)的零点C.把函数f(x)的图象向右平移个单位,就可以得到函数g(x)的图象D.函数f(x)和g(x)在区间上都是增函数参考答案：C【分析】求出导函数,再分别判断,的值域、极值点和零点,再根据图象平移与单调性的判断即可．【详解】由得.对于A,和两函数的值域相同,都是,故A正确；对于B,因为是的导函数,故函数的极值点是函数的零点,故B正确；对于C,把函数的图象向右平移个单位,得,∴C错误；对于D,当时,,单调递增,,也单调递增,故D正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了导数的应用问题,是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数的实部为_________；虚部为___________.参考答案：

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】＝＝.实部为，虚部为.故答案为：(1)；(2).【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12.函数在[1，2]上最大值为4，则实数___________.参考答案：－2略13.在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.参考答案：112

14.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F1B，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：连接AF1，∵OD∥AB，O为F1F2的中点，∴D为BF1的中点，又AD⊥BF1，∴|AF1|=|AB|．∴|AF1|=2|AF2|．设|AF2|=n，则|AF1|=2n，|F1F2|=n，∴e=====．【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值．15.已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________．参考答案：[1/2,1]，所以当时，取最大值1；当时，取最小值；因此取值范围为16.已知锐角满足则_________.参考答案：1略17.若满足约束条件：；则的取值范围为．参考答案：【命题立意】本题考查线性规划知识，会求目标函数的范围。约束条件对应边际及内的区域：，则。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是.(Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及数学期望;(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.参考答案：(Ⅰ)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知X~B(6,).()…………3分X的分布列为:X0123456P…………6分=.或因为X~B(6,),所以.即X的数学期望为4…………7分(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A,则…………11分答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为…………12分19.给定抛物线c∶y2＝4x，Ｆ是c的焦点，过点Ｆ的直线l与c相交于Ａ，Ｂ两点.

(１)设l的斜率为１，求与夹角的余弦值；

(２)设＝，若λ∈［4，9］，求l在y轴上的截距的取值范围.参考答案：解：(１)Ｃ的焦点为Ｆ(１，０)，直线l的斜率为１，所以l的方程为y＝x－1.

将y＝x－1代入方程y2＝4x，

整理得x2－6x＋1＝0.

设Ａ(x1，y1)，Ｂ(x2，y2)，则有x1＋x2＝6，x1x2＝1.

.

所以与的夹角的余弦值为-3／√41

(２)由题设得(x2－1，y2)＝λ(1－x1，－y1)，

即

由②得

∴，

③

联立①、③解得x2＝λ，依题意有λ＞0.

∴B(λ，)，或B(λ，－)，又F(1，0)，得直线l方程为(λ－1)y＝(x－1)或(λ－1)y＝－(x－1)，

当λ∈［４，９］时，l在方程y轴上的截距为或－，把看作函数，设g(λ)＝，λ∈［４，９］，，可知g(λ)＝在［４，９］上是递减的(或用导数g′(λ)＝－＜0，证明g(λ)是减函数).

∴，

即直线l在y轴上截距的变化范围为

.

略20.（13分）已知椭圆E：（a＞b＞0）与双曲线G：x共焦点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是椭圆E与双曲线G的一个交点，O为坐标原点，△PF1F2的周长为4．（1）求椭圆E的方程；（2）已知动直线l与椭圆E恒有两个不同交点A，B，且，求△OAB面积的取值范围．参考答案：【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（I）由双曲线G：知F1（﹣2，0），F2（2，0），可得在椭圆E：中有c=2，又△PF1F2的周长为4+4，可得|PF1|+|PF2|=4=2a，b2=a2﹣c2，解出即可．（II）当直线l的斜率存在时，其方程可设为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△＞0，可得（8k2﹣m2+4）＞0，要使，需使x1x2+y1y2=0，可得3m2﹣8k2﹣8=0，而原点到直线l的距离d=，又|AB|==，对k分类讨论即可得出取值范围，利用S△OAB=，即可得出．解：（I）由双曲线G：知F1（﹣2，0），F2（2，0），∴在椭圆E：中有c=2，又△PF1F2的周长为4+4，∵|PF1|+|PF2|=4=2a，a=2，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆E的方程为，（II）当直线l的斜率存在时，其方程可设为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），解方程组，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，即（8k2﹣m2+4）＞0，∴x1+x2=﹣，，要使，需使x1x2+y1y2=0，即+=0，∴3m2﹣8k2﹣8=0，8k2﹣m2+4＞0对于k∈R恒成立，而原点到直线l的距离d=，d2===，d=，同时有====，∴|AB|===，①当k≠0时，|AB|=，∵，∴，∴≤12，∴＜|AB|≤2，当且仅当k=时取”=”．②当k=0时，|AB|=．当直线l的斜率不存在时，直线为x=与椭圆=1的两个交点为或满足，此时|AB|=，综上，|AB|的取值范围为，∴S△OAB==|AB|∈．因此S△OAE∈．【点评】：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2=2an（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log2an，数列{}的前n项和为Tn，证明：Tn＜1．参考答案：【考点】数列与不等式的综合．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（I）求得数列的首项，将n换为n﹣1，相减可得an=2an﹣1，运用等比数列的通项公式即可得到所求；（Ⅱ）求得bn=log2an=n，=﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质，即可得证．【解答】解：（I）由Sn+2=2an，当n=1时，a1+2=2a1，解得a1=2；当n≥2时，Sn﹣1+2=2an﹣1有an=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，数列{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n．（Ⅱ）证明：由（I）得bn=log22n=n，所以Tn=