云南省大理市祥云县祥华中学高三数学理期末试卷含解析

云南省大理市祥云县祥华中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中，一定成立的是（）A．a2＜ab＜b2 B．a2＞ab＞b2 C．a2＜b2＜ab D．a2＞b2＞ab参考答案：B考点： 不等式的基本性质．专题： 不等式的解法及应用．分析： 由于a＜b＜0，利用不等式的基本性质可得a2＞ab＞b2．解答： 解：∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，故选：B．点评： 本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，则下列命题错误的是A．

B．C． D．参考答案：C3.对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi)(i=1，2，…，8)，其回归直线方程是：，且x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6，则实数a的值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B4.若双曲线的左右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此双曲线的离心率为(

)A．

B．

C.

D.参考答案：B5.函数的定义域为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D6.正三棱柱的各棱长都2，E，F分别是的中点，则EF与底面ABC所成角的余弦为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.设集合，则下列关系中正确的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x+y的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]参考答案：C【考点】曲线与方程．【分析】由题意可得z2+3y2=6，解得﹣＜x+y＜，解关于x+y的不等式可得．【解答】解：∵z=x+y，x2+2xy+4y2=6，∴z2+3y2=6，解得﹣＜x+y＜，故x+y的取值范围为[﹣，]故选C．9.已知点(a，b)在函数的图象上，则的最小值是（

）A.6

B.7

C.8

D.9参考答案：D故选D.10.已知m、n是两条不重合的直线，是三个互不重合的平面，则下列命题正确的（

）

A．若则

B．若∥则∥

C．若∥，∥，∥，则∥

D．若∥，∥，⊥，则⊥

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（极坐标与参数方程）在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为___________.参考答案：12.在极坐标系中，曲线ρ3cosθ+1=0上的点到A（1，0）的距离的最小值为

．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线ρ3cosθ+1=0化为（x2+y2）x+1=0，可得y2=﹣，设P（x，y）是曲线上的任意一点，利用两点之间的距离公式可得|PA|=，由y2=﹣≥0，解得﹣1≤x＜0，再利用基本不等式的性质即可得出．解答： 解：曲线ρ3cosθ+1=0化为（x2+y2）x+1=0，解：曲线ρ3cosθ+1=0化为（x2+y2）x+1=0，∴y2=﹣，设P（x，y）是曲线上的任意一点，则|PA|===，由y2=﹣≥0，解得﹣1≤x＜0，由=2，当且仅当x=﹣时取等号．∴|PA|min=．故答案为：．点评：本题考查了把极坐标化为直角坐标、两点之间的距离公式、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．13.已知双曲线的两条渐近线与抛物线分别交于三点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2，的面积为，则

．参考答案：14. 若双曲线的一条渐近线方程是,则此双曲线的离心率为

.参考答案：.而已知是一条渐近线方程，则有，15.已知顶点、、的对边分别为、、，且，，若，则

．参考答案：16.双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为

．参考答案：考点：双曲线的简单性质．分析：因为，所以AF1与BF1互相垂直，结合双曲线的对称性可得：△AF1B是以AB为斜边的等腰直角三角形．由此建立关于a、b、c的等式，化简整理为关于离心率e的方程，解之即得该双曲线的离心率．解答： 解：根据题意，得右焦点F2的坐标为（c，0）联解x=c与，得A（c，），B（c，﹣）∵∴AF1与BF1互相垂直，△AF1B是以AB为斜边的等腰Rt△由此可得：|AB|=2|F1F2|，即=2×2c∴=2c，可得c2﹣2ac﹣a2=0，两边都除以a2，得e2﹣2e﹣1=0解之得：e=（舍负）故答案为：点评：本题给出经过双曲线右焦点并且与实轴垂直的弦，与左焦点构成直角三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．17.实数x,y满足，则x2＋（y+1）2的最大值与最小值的差为；＿＿＿参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.点P到直线y=﹣3的距离比到点F（0，1）的距离大2（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程（Ⅱ）设点A（﹣4，4），过点B（4，5）的直线l交轨迹C于M，N两点，直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求|k1﹣k2|的最小值．参考答案：【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义，得出轨迹方程；（Ⅱ）联立直线MN方程与C的轨迹方程，得出M，N的坐标关系，代入斜率公式化简|k1﹣k2|，利用二次函数的性质求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵点P到直线y=﹣3的距离比到点F（0，1）的距离大2，∴点P到直线y=﹣1的距离等于到点F（0，1）的距离，∴点P的轨迹是以点F（0，1）为焦点的抛物线，方程为x2=4y．（Ⅱ）设过点B的直线方程为y=k（x﹣4）+5，M（x1，），N（x2，）．联立抛物线，得x2﹣4kx+16x﹣20=0，则x1+x2=4k，x1x2=16k﹣20，∵k1=，k2=．∴|k1﹣k2|=|x1﹣x2|==≥1．∴当k=2时，|k1﹣k2|取得最小值1．【点评】本题考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率公式，属于中档题．19.（04年全国卷IV）（12分）已知α为第二象限角，且sinα=求的值.参考答案：解析：

当为第二象限角，且时

，所以=20.本题满分12分）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且△ABC是边长为4的正三角形．（Ⅰ）求与的值；（Ⅱ）若，且，求的值．参考答案：（Ⅰ）解：由已知可得…3分 BC==4，……4分由图象可知，正三角形ABC的高即为函数的最大值，得………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 即∵， ∴∴…8分 ∴………………12分21.已知函数f（x）=ex+a﹣lnx．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）当a≥﹣2时，证明：f（x）＞0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）=0，求出a的值即可；（2）问题转化为证明ex﹣2﹣lnx＞0，令g（x）=ex﹣2﹣lnx（x＞0），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）函数f（x）=ex+a﹣lnx定义域为（0，+∞），，由已知得f′（1）=0，即：ea+1﹣1=0，所以a=﹣1；

（2）由于a≥﹣2，所以ex+a≥ex﹣2，所以只需证明ex﹣2﹣lnx＞0，令g（x）=ex﹣2﹣lnx（x＞0），则g′（x）=ex﹣2﹣，所以g′（x）在（0，+∞）上为增函数，而g′（1）=e﹣1﹣1＜0，g′（2）=1﹣＞0，所以g′（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，且x0∈（1，2），当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，所以g（x）的最小值为g（x0），由g′（x0）=﹣=0，得：=，lnx0=2﹣x0，所以g（x0）=﹣lnx0=+x0﹣2≥0，而x0∈（1，2），所以g（x0）＞0，所以g（x）＞g（x0）＞0，即：ex﹣2﹣lnx＞0，所以，当a≥﹣2时，f（x）＞0．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．22.如图，在三棱锥P-ABC中，G是棱PA的中点，，且,（Ⅰ）求证：直线BG⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角的正弦值.

参考答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【分析】(Ⅰ)先证明与平面内的两