高三数学自主招生辅导课件第二讲三角函数

高三数学自主招生辅导课件第二讲三角函数主要内容提炼第2页,共115页，2024年2月25日，星期天定义同角三角函数的基本关系图象性质单位圆与三角函数线诱导公式Cα±βSα±β、Tα±βy=asinα+bcosα的最值形如y=Asin(ωx+φ)+B图象万能公式和差化积公式积化和差公式Sα/2=Cα/2=Tα/2=S2α=C2α=T2α=正弦定理、余弦定理、面积公式降幂公式第3页,共115页，2024年2月25日，星期天第4页,共115页，2024年2月25日，星期天第5页,共115页，2024年2月25日，星期天第6页,共115页，2024年2月25日，星期天第7页,共115页，2024年2月25日，星期天第8页,共115页，2024年2月25日，星期天三角解题常规宏观思路分析差异寻找联系促进转化指角的、函数名称的、运算结构的差异利用有关公式，建立差异间关系活用公式，差异转化，矛盾统一第9页,共115页，2024年2月25日，星期天1、以变角为主线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见“1±cosα”想升幂；6、见sin2α，想拆成2sinαcosα；7、见sinα±cosα或想两边平方或和差化积8、见asinα+bcosα，想化为9、见cosα·cosβ·cosθ····，先若不行，则化和差微观直觉10、见cosα+cos(α+β)+cos(α+2β)····，想乘

sinα+sinβ=pcosα+cosβ=q第10页,共115页，2024年2月25日，星期天一、三角函数的性质及应用三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用．二、三角恒等变形三、三角形内问题四、三角不等式第11页,共115页，2024年2月25日，星期天第一课时商丘市一高奥赛+自主招生+保送生培训专题cherdy第12页,共115页，2024年2月25日，星期天【例1】求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。【例2】若φ∈（0，），比较sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ这三者之间的大小。解：∵在（0，）中，sinx<x<tanx，而0<cosx<1<∴sin(cosφ)<cosφ。∵在（0，）中，y=cosx单调递减，∴cosφ<cos(sinφ)。∴sin(cosφ)<cosφ<cos(sinφ)。原函数的单调增区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）。第13页,共115页，2024年2月25日，星期天【例6】

n∈N，n≥2，求证：cos·cos

·····cos>证明：∵0<<<···<<<1∴0<sin<，cos2=1-sin2>1-=k=2，3，…，n。∴(cos·cos·····cos)2>()·()···()=()>>()2，

∴cos·cos·····cos>第14页,共115页，2024年2月25日，星期天解法一：令β

=-θ，则(1)÷(2)得tan=，cos(α+θ)=，∴sinαcosβ=sinαsinθ=-[cos(α+θ)+cos(α-θ)]=-【例8】若sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，求sinαcosβ的值。解法二：平方相加，平方相减，积化和差可得。第15页,共115页，2024年2月25日，星期天【例9】已知f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，0<θ<π，求θ。解法一：由偶函数的定义，可得(cosθ+sinθ)sinx=0对任意x∈R成立。∴cosθ+sinθ=0，2sin(θ+)=0，∴θ+=kπ，而0<θ<π，∴θ=。解法二：由f(-)=f()，得θ=然后验证f(x)是偶函数。第16页,共115页，2024年2月25日，星期天【例10】方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有相异两根α、β，求实数a的取值范围，以及α+β的值。解：∵sinx+cosx+a=0，∴sin(x+)=-。令t=x+，则t∈(，)，sint=-作出函数y=sint，t∈(，)的图象：，。,由图象可以看出：当-1<-

<1且-≠即-2<a<-或－<a<2时，sint=-

有相异两根t1、t2，原方程有相异两根α、β，并且当-2<a<-时，t1+t2=(α＋）+（β+

)=π，α+β=当-

<a<2时，t1+t2=(α+

)+(β+

)=3π，α+β=第17页,共115页，2024年2月25日，星期天【例11】求cos420°+cos440°+cos480°的值。解：由倍角公式得cos4θ=()2=

(1+2cos2θ+cos22θ)=+cos2θ+cos4θ，∴cos420°+cos440°+cos480°=×3+(cos40°+cos80°+cos160°)+(cos80°+cos160°+cos320°)=+(cos40°+cos80°+cos160°)=+(2cos60°cos20°-cos20°)=第18页,共115页，2024年2月25日，星期天第二课时商丘市一高奥赛+自主招生+保送生培训专题cherdy第19页,共115页，2024年2月25日，星期天【例12】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tan(x+y+z)+tanxtanytanz的值。解：由已知得，(1)2+(2)2得cos(x-y)=-，同理，cos(y-z)=-，cos(z-x)=-∴x，y，z中任意两角的终边夹角为，不妨设x=y++2mπ,m∈Z，y=z++2nπ,n∈Z，第20页,共115页，2024年2月25日，星期天∴x=z++2(m+n)π，x+y+z=3z+2(m+2n+1)π，∴s=tan(x+y+z)+tanxtanytanz=tan3z+tan(z+)tan(z+)tanz=tan3z+tan(z+)tan(z-)tanz=tan3z-tanztan(+z)tan(-z)=tan3z-tan3z=0。【说明】如能熟练运用下列公式，可对解题带来很大方便：sinαsin(+α)sin(-α)=sin3α，cosαcos(+α)cos(-α)=cos3α，tanαtan(+α)tan(-α)=tan3α。如sin10°sin50°sin70°=sin(3×10°)=

第21页,共115页，2024年2月25日，星期天解法二：令A(cosx,sinx),B(cosy,siny),C(cosz,sinz).则A,B,C三点都在以原点O为圆心的单位园上，依题意，∆ABC得重心坐标为因此，∆ABC的重心与外心重合，故∆ABC为正三角形，O为正三角形中心，于是OA,OB,OC两两夹角为,即有x-y=+2k1,(k1)，y-z=+2k2,(k2)下同解法一，第22页,共115页，2024年2月25日，星期天【例13】已知对任意实数x，均有

求证：证首先，f(x)可以写成

①其中是常数，且，

在①式中，分别令和得

②

③②+③，得

第23页,共115页，2024年2月25日，星期天又在①式中分别令，得

④

⑤

由④+⑤，得第24页,共115页，2024年2月25日，星期天【例14】如果0<,证明第25页,共115页，2024年2月25日，星期天【例15】、求函数的值域．解：显然函数的定义域为[4，6]，可设则．所以函数的值域为．评述：求无理函数的值域，都可用本例的方法．第26页,共115页，2024年2月25日，星期天【例16】、求函数的值域．解：．令1－x=cosθ，θ∈[0，π]，则当时，y取得最大值．当θ=0时，y取得最小值．所以，函数的值域为．第27页,共115页，2024年2月25日，星期天延伸：求值解：第28页,共115页，2024年2月25日，星期天【例21】、求的值解法二：构造配对式，设x=,y=,xy==

第29页,共115页，2024年2月25日，星期天解法四:构造方程：设cosx+cos2x==+2得x2=解法三：构造方程，设x=,显然x<0,平方，第30页,共115页，2024年2月25日，星期天第三课时商丘市一高奥赛+自主招生+保送生培训专题cherdy第31页,共115页，2024年2月25日，星期天【例22】、求证：①

②sin1°sin2°sin3°…sin89°=证明：①cos6°cos42°cos66°cos78° =cos6°cos54°cos66°

第32页,共115页，2024年2月25日，星期天②sin1°sin2°sin3°…sin89°=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°=又

即

所以第33页,共115页，2024年2月25日，星期天【例23】、证明：对任一自然数n及任意实数（k=0，1，2，…，n，m为任一整数），有：．思路分析：本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项．证明：．各项相加，得．评：“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：t第34页,共115页，2024年2月25日，星期天（3）自行探究第35页,共115页，2024年2月25日，星期天【探究】、化简分析：本题目的化简是利用一个递推模型来实现的，即找到这个题目的“源生地”．可先由产生分母cosαcos(α＋β)的正切函数之和入手．得到递推模型：再求和，即得原式．第36页,共115页，2024年2月25日，星期天【例24】、证明：证明：各项相加得所以2n第37页,共115页，2024年2月25日，星期天评述：类似地，有利用上述公式可快速证明下列各式：7第38页,共115页，2024年2月25日，星期天【例25】、不查表，求的值．证法1：第39页,共115页，2024年2月25日，星期天证法2：令M=显然N≠0，所以．第40页,共115页，2024年2月25日，星期天评述：一般地，有另本题证法2利用构造对偶式解题，该法具有一定的普遍性，如可解下题：化简cos2α＋cos2β－2cosαcosβcos(α＋β)．可令上式为M，构造M对偶式M，N=sin2α＋sin2β＋2sinαsinβcos(α＋β)，分别计算M＋N，M－N从而求得M．第41页,共115页，2024年2月25日，星期天(类同例22（1））第42页,共115页，2024年2月25日，星期天第43页,共115页，2024年2月25日，星期天【例26】、设求证：证明：作Rt△ABC，∠C为直角，∠A=θ，AC=cosβ－cosα，如图所示：则由条件知BC=sinαsinβ．所以于是cos第44页,共115页，2024年2月25日，星期天【例27】、证明：（1）；（2）．证明：（1）观察到是tan7θ=0的根，因而也是方程tan4θ=－tan3θ的根．注：一元n次方程得韦达定理1第45页,共115页，2024年2月25日，星期天ax3+bx2+cx+d

=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)

=a[x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3]

对比系数得

-a(x1+x2+x3)=b

a(x1x2+x2x3+x1x3)=c

a(-x1x2x3)=d

即得

x1+x2+x3=-b/a

x1x2+x2x3+x1x3=c/a

x1x2x3=-d/a

一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的韦达定理的证明证明：第46页,共115页，2024年2月25日，星期天（2）由上可知是方程t3－21t2＋35t－7=0的根．所以．评述：一般地，有【探究】：设n为正整数，求证第47页,共115页，2024年2月25日，星期天第48页,共115页，2024年2月25日，星期天【例28】求证：x为锐角，sinx+tanx＞2x解：故sinx+tanx＞2x第49页,共115页，2024年2月25日，星期天【例29】设，且，求乘积的最大值和最小值。解：由已知条件，x=于是,cosxsinycosz=当且仅当x=,y=z=时，取等号，又cosxsinycosz=当且仅当x=y=时，等号成立。第50页,共115页，2024年2月25日，星期天【例30】若对恒成立，求实数m的取值范围。解;2m(sinθ－1)<2－,2m(sinθ－1)<1+.（1）当sinθ－1＜0时，m>.当sinθ－1=,即sinθ=1－时,得到最大值，

m>1－（2）当sinθ－1=0,即sinθ=1,2m.0<1恒成立，故当m>1－时，原不等式对一切恒成立。第51页,共115页，2024年2月25日，星期天【延伸】：已知，而sinθ,cosθ是方程的两实根，求k和θ的值。解：由已知∆得，又第52页,共115页，2024年2月25日，星期天【例31】已知，求下列各式的最值：（1）S=4x－9y＋3;(2)S=6xy＋x－9y－2。解：已知可化为，故可设即（1）S=4x－9y+3=4cosθ+8－3sinθ+3+3=14－5sin(θ-Ф)，第53页,共115页，2024年2月25日，星期天【延伸】：已知集合，求集合B第54页,共115页，2024年2月25日，星期天第55页,共115页，2024年2月25日，星期天【例32】、设且满足，求证：证明：第56页,共115页，2024年2月25日，星期天【例33】设不等式恒成立，求实数a的取值范围解：原不等式可化为：即：原不等式可化为第57页,共115页，2024年2月25日，星期天【变式】、求实数a范围，使不等式sin2θ-(2+a)sin(θ+)->-3-2a,

恒成立．（2010年清华）对一切第58页,共115页，2024年2月25日，星期天【延伸】：求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意，都有解：原不等式等价于不等式第59页,共115页，2024年2月25日，星期天【例34】

求函数f(x)=׀sinx׀+sin42x+׀cosx׀的最大值和最小值.解：首先证明

是该函数的周期：f(x+)=׀sin(x+)׀+sin42(x+)+׀cos(x+)׀=|cosx׀+sin42x+׀sinx׀,所以

是该函数的周期。所以只需在[0，]上讨论f(x)的最值。当x[0，]时，f(x)=sinx+sin42x+cosx其次证明x=是f(x)的一条对称轴。因为f(+x)=sin(x+)+sin4(2x+)+cos(x+)=cos(-x)+sin4(-2x)+sin(-x)=f(-x)所以x=是f(x)的一条对称轴。所以只需在[0，]上求f(x)的最值。而当x[0，]时，sinx+cosx=单调递增，sin42x在[0，]上单调递增，因此f(x)在[0，]上单调递增,故[f(x)]min=f(0)=1,[f(x)]max=f()=1+.第60页,共115页，2024年2月25日，星期天【例35】已知为锐角，且，求的值。解：由题意，得第61页,共115页，2024年2月25日，星期天【例36】．已知分析：条件涉及到角、，而结论涉及到角，.故可利用消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.证法1：

第62页,共115页，2024年2月25日，星期天证法2：

第63页,共115页，2024年2月25日，星期天【例37】．证明：分析：等号左边涉及角7x、5x、3x、x右边仅涉及角x，可将左边各项步转化为、的表达式，但相对较繁.

观察到右边的次数较高，可尝试降次.证明：因为

从而有

第64页,共115页，2024年2月25日，星期天

【例38】已知圆至少覆盖函数的一个最大值点与一个最小值点，求实数k的取值范围。解因为是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆也关于原点对称，所以，图只需覆盖f(x)的一个最值点即可。令，可解得y=f(x)的图象上距原点最近的一个最大值点，依题意，此点到原点的距离不超过|k|，即综上可知，所求的k为满足的一切实数。第65页,共115页，2024年2月25日，星期天【例39】．已知，且满足：（1）（2）（3）。求f(x)的解析式解．由可得a+2b+4c=1524①

且b>0时，有

此方程组与①联立后无解（2）当且b<0有

此时a=4,b=-40,c=400（3）当a>0且有

此方程组与①联立后无解。（4）当a<0且，有

此方程组与①联立后无解，（1）当综上可知，第66页,共115页，2024年2月25日，星期天【例40】．证明：对任意正实数x,y以及实数均有不等式解：原不等式等价于

若，则若故原不等式成立第67页,共115页，2024年2月25日，星期天【例41】．已知当时，不等式恒成立，求的取值范围。解．令，由条件可得所以在第I象限，

由于结合原不等式对任意x∈[0，1]都成立，可知取最小值亦成立，即

原不等式可化为第68页,共115页，2024年2月25日，星期天【例42】：求出（并予以证明）函数的最小正周期。解：首先，对任意，均有这表明，是函数f(x)的一个周期；其次，设，T是f(x)的一个周期，则对任意，均有在上式中，令x=0，则有两边平方，可知即

sin2T=0，这表明，矛盾。综上可知，函数的最小正周期为。第69页,共115页，2024年2月25日，星期天【例43】在∆ABC中，已知A、B、C成等差数列，且sinAsinC=cos2B,S∆ABC=,求三边a,b,c解：由已知得,B=600，又由得ac=16从而于是,又由第70页,共115页，2024年2月25日，星期天【例44】在∆ABC中，a,b,c分别表示三内角A、B、C的对边，且a,b,3c成等比数列，又A-C=，试求三个内角的值解：由a,b,3c成等比数列，得：b2=3ca第71页,共115页，2024年2月25日，星期天第72页,共115页，2024年2月25日，星期天第73页,共115页，2024年2月25日，星期天第74页,共115页，2024年2月25日，星期天第75页,共115页，2024年2月25日，星期天．第76页,共115页，2024年2月25日，星期天【例49】、已知α、β为锐角，且．求证对一切x≠0，有(cosα)x>(sinβ)x．证明：（1）若x>0，则，由正弦函数的单调性，得，即0<cosα<sinβ<1，(cosα)x>(sinβ)x．（2）若x<0，则所以(cosα)x<(sinβ)x．综上（1）、（2）知，对于一切x≠0，均有(cosα)x<(sinβ)x．评述：三角不等式，首先是一个不等式，因而证明要灵活运用判别式法、单调性，基本不等式法等不等式证明的常用方法，其次含有三角式，因而可能要利用三角函数的性质，如单调性、奇偶性、有界性等．第77页,共115页，2024年2月25日，星期天【例50】、设α、β、γ是一个锐角三角形的三个内角，求证：sinα＋sinβ＋sinγ＋tanα＋tanβ＋tanγ>2α＋2β＋2γ．思路分析：本题等价于证明sinα＋sinβ＋sinγ＋tanα＋tanβ＋tanγ>2α＋2β＋2γ．观察到该式的对称性，尝试证明sinα＋tanα>2α．证明：所以，同理sinβ＋tanβ>2β．sinγ＋tanγ>2γ．三式相加即得所证不等式sinα＋sinβ＋sinγ＋tanα＋tanβ＋tanγ>2α＋2β＋2γ>2π．sinα第78页,共115页，2024年2月25日，星期天【例51】、设0≤a≤1，且0≤x≤π，证明：(2a－1)sinx＋(1－a)sin(1－a)x≥0．证明：显然0≤x≤π，0≤a≤1时，有sinx≥0，sin(1－a)x≥0，因此当2a－1≥0且1－a≥0，即≤a≤1时，(2a－1)sinx＋(1－a)sin(1－a)x≥0．另x=0时，上式也成立．下面证明，x∈(0，π)时的情形．如图所示是函数y=sinx，x∈(0，π)）必在相应弦OA的上方．的图像，图中任一段弧（设A(x1，sinx1)、B(x2，sinx2)，则x2<x1时，kOB>kOA，即因此函数是(0，π)上的减函数．第79页,共115页，2024年2月25日，星期天（严格的代数证明略．）于是有，即．因此．即评述：分类讨论，逐步求解是数学解题的常用策略．时，不等式也成立．第80页,共115页，2024年2月25日，星期天【例52】、已知，求证：证明：要证所以式成立，原不等式得证．第81页,共115页，2024年2月25日，星期天【例53】、在△ABC中，证明：．思路分析：易猜出时，，A、B、C中任两者不等时，．证明：我们先假定C是常量，于是A＋B=π－C也是常量．．显然，当A=B时，上式达到最大值．因此，只要A、B、C中任意两个不等，表达式sinA＋sinB＋sinC就没有达到最大值．因而，当时，sinA＋sinB＋sinC取到最大值，不等式得证．第82页,共115页，2024年2月25日，星期天评述：不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值．类似可证：△ABC中，锐角△ABC中，tanA＋tanB＋tanC≤3．第83页,共115页，2024年2月25日，星期天【例54】、△ABC中，证明：．证明：因有．则第84页,共115页，2024年2月25日，星期天【例55】、△ABC中，已知思路分析：本题条件是两个关于tanA、tanB、tanC的对称式，尝试再构造一对称式并利用韦达定理将tanA、tanB、tanC看成一个三次方程的3个根．解：在△ABC中，有tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC．因为tan3A＋tan3B＋tan3C－3tanAtanBtanC=(tanA＋tanB＋tanC)[(tanA＋tanB＋tanC)2－3(tanAtanB＋tanBtanC＋tanCtanA)]即因此，tanA、tanB、tanC是方程即6x3＋x2－4x＋1=0的三个根．又6x3＋x2－4x＋1=(x＋1)(2x－1)(3x－1)，所以，tanA、tanB、tanC三者为．△ABC的三个角是．第85页,共115页，2024年2月25日，星期天【例56】、在锐角△ABC中，求证：．证明：当a、b∈R＋时，有．又A、B、C为锐角△ABC的内角，于是上面三式相加，即可推得≥4第86页,共115页，2024年2月25日，星期天【例57】、设△ABC的角A、B、C所对的边为a、b、c，S为其面积．求证：思路分析：等式中既有边，又含有角，因此应设法利用正弦定理、余弦定理等使边角统一．证法1：．同理所以．第87页,共115页，2024年2月25日，星期天证法2：如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，L、M、N是3个切点．设AN=AL=x，BL=BM=y，CM=CN=z．则解得（其中r为⊙O的半径），第88页,共115页，2024年2月25日，星期天【例58】、设△ABC的外接圆半径为R，面积为S，角A、B、C所对的边为a、b、c，求证：．证明：（1）因为（2）由上例知第89页,共115页，2024年2月25日，星期天第90页,共115页，2024年2月25日，星期天【例59】、如图所示，P是△ABC内部一点，PD、PE、PF分别是P到三边BC、CA、AB的距离．求证：PA＋PB＋PC≥2(PD＋PE＋PF)．证明：连DF，有于是DF≥PDsinC＋PFsinA．又B、D、P、F四点共圆，且PB为该圆直径，故．即同理所以，≥2(PD＋PE＋PF)．第91页,共115页，2024年2月25日，星期天【例60】、已知a，b，c∈R＋，求证：思路分析：本题若用代数方法将不等式化简，比较繁．观察到上式右端小于等于0时，不等式显然成立．而当右端为正时，以a、b、c边恰好可构成一个三角形，而且右端与求三角形面积的海伦公式很接近．证明：当(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)≤0时，原不等式显然成立．当(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)>0时，以a、b、c为边构成△ABC．要证：，即证：即：，即证：即需证：，即证．

第92页,共115页，2024年2月25日，星期天【例61】、已知函数

，求函数f(x)的最大值.第93页,共115页，2024年2月25日，星期天【例62】、设a、b、c为ΔABC的三条边a≤b≤c,R和r分别为ΔABC的外接圆半径和内切圆半径，令f=a＋b－2R－2r，试用角C的大小来判定f的符号。第94页,共115页，2024年2月25日，星期天【例63】、已知的值.第95页,共115页，2024年2月25日，星期天【例64】计算：解：如图，将边长为1的正七边形的A点与O点重合，并使其图形关于y轴对称，用H（α）表示向量α的水平分量值，例如H（DE）=－1，H（ED）=1，则

第96页,共115页，2024年2月25日，星期天【例65】、不等式对任何实数x均成立，求θ．分析：这是一个关于x的不等式，以解集为全体实数作为背景条件来求参数θ的范围问题．可将θ的正弦（或余弦）值表示成x的函数f(x)，再利用f(x)